第06讲 二次函数的图象与系数的关系选填压轴题专训（40道）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第06讲 二次函数的图象与系数的关系选填压轴题专训（40道） 【精选最新浙江地区考试题型】 1．（2024年浙江省宁波市中考数学精准模拟预测题）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024年浙江省宁波市九年级中考数学冲刺演练模拟预测题）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（浙江省杭州市西湖区文华中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24·浙江杭州模拟预测）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24·浙江衢州模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 7．（浙江省杭州市萧山区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点．设，则t值的变化范围是（    ） A． B． C． D． 8．（浙江省宁波市北仑区宁波联合实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，则下列四个结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24·浙江宁波模拟预测）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版））在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（浙江省宁波市镇海区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④对任意实数，都有．其中正确的有（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 12．（23-24·浙江舟山模拟预测）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：    ①；②；③函数的最大值为； ④当时，． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．l C．2 D．3 13．（23-24·浙江丽水模拟预测）如图是二次函数的图象，有如下结论：①；②；③：④．其中正确的结论有（　　）个    A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24·浙江温州模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023年浙江省宁波市艺术实验学校中考一模数学试题）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 16．（【浙江新东方】2023年初三下月考301数学试题）已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24·浙江宁波模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过点，两点，下列五个结论：其中正确的结论有几个（    ） ①一元二次方程的两个根为，； ②若点，在该抛物线上，且，，则； ③若点在抛物线上，则； ④； ⑤对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个． A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2023年浙江省宁波市江北区灵峰学校九年级下学期数学中考复习第一次模拟测试卷）如图，二次函数 与轴交点的横坐标为与轴正半轴的交点为，，，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 19．（浙江省嘉兴市桐乡市求是实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线上； ②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点与点在函数图象上，若，，则； ④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为． 其中错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（浙江省宁波市江北区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b>a+c，③，④，⑤a+b＜m（am+b）（其中m为任意实数）中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（浙江省杭州市临平区树兰实验学校2023-2024学年九年级上学期开学检测数学试题）抛物线的对称轴是直线，经过点，且．下列结论: ①； ②； ③若和是抛物线上的两点，则当时，； ④若抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根其中正确的结论是 （填写序号）． 22．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … n 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ． 23．（23-24·浙江丽水模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 24．（浙江省绍初教育集团（共同体）2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是 ． 25．（23-24·浙江绍兴模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数， （1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ． 26．（浙江省台州市临海市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 27．（23-24·浙江宁波模拟预测）已知函数，下列说法： ①方程必有实数根； ②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位； ③当时，抛物线顶点在第三象限； ④若，则当时，y随着x的增大而增大．其中正确的序号是 ． 28．（浙江省台州市临海市临海中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有 ． 29．（浙江省湖州市南浔区2023-2024学年九年级下学期6月月考数学试题）已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，的值为 ． 30．（浙江省温州市2023-2024学年九年级上学期第一次月考B卷数学试题）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b < 0；②4a + 2b + c < 0；③a - b + c > 0；④（a+c）2 < b2．其中正确的结论是 ．    31．（23-24·浙江宁波模拟预测）如图，已经二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论有 . 32．（23-24·浙江温州模拟预测）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论： ①abc＞0； ②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3； ③2a+b＝0； ④4a2+2b+c＜0， 其中正确结论的序号为 ． 33．（23-24·浙江绍兴模拟预测）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有 个.    34．（23-24·浙江宁波模拟预测）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论： ①ab＜0； ②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3； ③4a+2b+c＜0； ④当x＞1时，y随x值的增大而增大； ⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3； ⑥3a+2c＜0． 其中不正确的有 ． 35．（23-24·浙江杭州模拟预测）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与y轴相交于负半轴.出四个结论：①；②；③；④其中结论正确的是 （填序号）. 36．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图象如图所示.有下列结论：①；②；③有两个不相等的实数根；④有两个不相等的实数根.其中正确的是 37．（浙江省杭州市萧山区城区片六校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数（）图象的顶点在第二象限，且过点（1,0），则 0（用“<、>、、、=”填写）． 38．（23-24·浙江绍兴模拟预测）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 39．（浙江省杭州市萧山区高桥中学教育集团2023-2024学年九年级期中数学试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b，c为常数）的图象如图所示，下列5个结论：�①abc＜0；②�b＜a+c；③�4a+2b+c＞0；④3b＞2c；⑤a+b＞m（am+b）（m为常数，且m≠1），其中正确的结论有 ． 40．（23-24·浙江温州模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，顶点为，有下列结论：①；②；③；④，其中，正确结论有 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数的图象与系数的关系选填压轴题专训（40道） 【精选最新浙江地区考试题型】 1．（2024年浙江省宁波市中考数学精准模拟预测题）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】将代入，得到，进而得到当时，，当时，，当时，，当时，，即可判断， 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是：根据分情况讨论． 【详解】解：∵的图象过点， ∴，整理得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴、、错误，不符合题意，、正确，符合题意， 故选：． 2．（2024年浙江省宁波市九年级中考数学冲刺演练模拟预测题）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下， ， 当时，，由图象可知交轴正半轴一点， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， ， 即，，， ①正确； ②图象过点， 将代入中有， 时，， ， ， ， ， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， ， ③错误； ④，， ，即， ， 时，， ， ，， ， ， ， ④正确； 即①②④正确，共个． 故选：C． 3．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到，与轴交于负半轴，得到， ∵对称轴在轴右侧，且，即， ∴与异号，即， ∴，选项正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，即，选项错误； ∵原点与对称轴的对应点为， ∴时，，即，选项错误； ∵时，， ∴， 把代入得：，选项正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 4．（浙江省杭州市西湖区文华中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向，与轴的交点个数，与轴的交点位置，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下， ∴， 对称轴为直线， ∴， ∴， 抛物线与轴交于点，在正半轴上， ∴， ∴；故A选项错误； ∵图象与轴有两个交点，一个交点为， ∴；故B选项错误； ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∴， ∴，故C选项错误； ∵，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．从函数图象中有效的获取信息，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 5．（23-24·浙江杭州模拟预测）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向及与轴交点的位置，即可得出、，进而可得出，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当时，随的增大而增大，结论②错误；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交点，可得出，结论④错误；由当时，可得出，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ∴， ∴，结论①错误； ∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，结论②错误； 抛物线对称轴为直线1， ∴， ∴， ∴，结论③正确； ∵函数图像与x轴有两个交点， ∴，结论④错误； ∵当时，， ∴，结论⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 6．（23-24·浙江衢州模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴的位置以及图象与轴的交点得到的取值，即可判断①；根据抛物线与轴的交点个数即可判断②；当时，的值最大，从而得到当时，，即可判断③；程有2个根，方程有2个根，由根与系数的关系即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴在轴右侧，即a、b异号， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，的值最大， 当时，， ， ，故③正确，符合题意； 关于的方程有四个根， 方程有2个根，方程有2个根， 抛物线的对称轴为直线， ， 所有根之和为，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 7．（浙江省杭州市萧山区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点．设，则t值的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的解析式可知，当时，，根据图象的顶点在第一象限，且过点画出草图，求a，b的范围，问题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点，如图：    ， ∴由，得到，结合， ，① 由，得到，结合上面， ，② ∴由得， 在不等式两边同时加1，得， 代入得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要结合二次函数的图象和系数，对称轴，特殊点，属于基础题． 8．（浙江省宁波市北仑区宁波联合实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，则下列四个结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置及与y轴的交点判断a、b、c的大小，即可判断选项A；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断选项B；根据对称轴为直线和过点求出抛物线与x轴的另一个交点，当时，二次函数的值，据此判断选项C；根据对称轴得出a、b之间的关系，并代入中，据此判断选项D． 【详解】抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ， 抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故选项A错误； 抛物线与x轴有2个交点， ， ，故选项B错误； 抛物线的对称轴为直线且过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，， 故选项C错误； ，且， ，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（23-24·浙江宁波模拟预测）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版））在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①说法错误， ∵， ∴， ∴， ∴②说法错误， 由图象可知点的对称点为， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴③说法错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴④说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴⑤说法正确， ∴正确的为④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 10．（浙江省宁波市镇海区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像开口方向，对称轴位置，二次函数的图像与轴交点位置判断A，根据二次函数的图像与轴交点个数可得，从而判断B，由可得点坐标为，从而判断C和D． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵二次函数的图像的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图像与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵二次函数的图像与轴有个交点， ∴， ∴，故B选项不符合题意； ∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴，， ∵， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∴，故D选项符合题意； ∵， ∴， 即，故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，函数图像上点的坐标特殊．解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质． 11．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④对任意实数，都有．其中正确的有（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由时及，可判断②；由时及a与b的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，故①错误； ∵时，， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 由图象可得时，， ∴，故③正确； 由时函数取最小值可得， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 12．（23-24·浙江舟山模拟预测）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：    ①；②；③函数的最大值为； ④当时，． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．l C．2 D．3 【答案】D 【分析】由已知可得，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，从而可完成解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴， ∴； 由图象知，抛物线开口向下，则， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴②正确； ∵，， ∴抛物线有最大值，且最大值为， 故③正确； 由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 结合图象知：当时，，故④错误； 即正确的结论有3个； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（23-24·浙江丽水模拟预测）如图是二次函数的图象，有如下结论：①；②；③：④．其中正确的结论有（　　）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵二次函数的图象对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∴，①错误； 当时，，②正确； ∵， ∴，即，③错误； 设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 由图象可得，，， ∴当时，即， ∴， ∴，即，④正确； ∴正确的结论有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析4个结论的正误，解决该题型题目时，根据二次函数的图象找出二次函数系数的正负是关键． 14．（23-24·浙江温州模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为n， ∴对于任意实数m，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下 ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意； 故选：C． 【点睛】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键． 15．（2023年浙江省宁波市艺术实验学校中考一模数学试题）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①；根据图象判断时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴；故①错误； 由图象可知：当时，对应的函数值小于0， 即：， ∴；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同，即：， ∵， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∴，即：；故④错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， ∴， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有个； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 16．（【浙江新东方】2023年初三下月考301数学试题）已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可得到正确的选项． 【详解】解：∵抛物线（是常数，且），当时，则，当时，则， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，则， ∴二次函数的最大值为：， ∵抛物线（是常数，且）过点， ∴抛物线的解析式为：， ∵当时，则， ∴抛物线（是常数，且）过点， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，明确题意是解题的关键． 17．（23-24·浙江宁波模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过点，两点，下列五个结论：其中正确的结论有几个（    ） ①一元二次方程的两个根为，； ②若点，在该抛物线上，且，，则； ③若点在抛物线上，则； ④； ⑤对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系即可判定①；求出对称轴为，进而得到离对称轴越远函数值越小，再由，，即可得点C离对称轴的距离比点D离对称轴的距离远即可判断②；先求出物线的最大值为，再由在抛物线上，得到，即可判断③；根据过点，可得，结合对称轴，根据题意可知，即可判断④；先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可判断⑤． 【详解】解：抛物线（，，为常数，）经过点，两点， ∴一元二次方程的两个根为，，故①错误； ∵抛物线（，，为常数，）经过点，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，即， ∴点C离对称轴的距离比点D离对称轴的距离远， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， ∵在抛物线上， ∴， ∴，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ∵函数开口向下，且经过点，， ∴当时，， ∴，即，故④正确； 将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为 函数对应的一元二次方程为，即 因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或， ∴对应的的值只有三个，故⑤错误； 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，抛物线与坐标轴交点问题，二次函数图象的性质，根据二次函数图象的对称性求解是解题的关键． 18．（2023年浙江省宁波市江北区灵峰学校九年级下学期数学中考复习第一次模拟测试卷）如图，二次函数 与轴交点的横坐标为与轴正半轴的交点为，，，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点判断A选项，根据当时，，判断B选项，根据开口方向以及对称轴，与轴的交点，判断C选项，根据可得对称轴，继而判断D选项，即可求解． 【详解】由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ∴， 故A错误，不符合题意； 由图象可知当时，， 故B错误，不符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ． 抛物线与轴的交点是，和，，其中， 对称轴， ． 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故C错误，不符合题意； ∵，， ， ， ， 即， 故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． 19．（浙江省嘉兴市桐乡市求是实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线上； ②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点与点在函数图象上，若，，则； ④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为． 其中错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可． 【详解】解：二次函数（为常数） ①∵顶点坐标为且当时， ∴这个函数图象的顶点始终在直线上 故结论①正确，不符合题意； ②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令，得，其中 解得：， ∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形 ∴ ∴或 ∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论②正确，不符合题意； ③∵ ∴ ∵二次函数（为常数）的对称轴为直线 ∴点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离 ∵，且 ∴ 故结论③错误，符合题意； ④当时，随的增大而增大，且 ∴的取值范围为 故结论④正确，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题． 20．（浙江省宁波市江北区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b>a+c，③，④，⑤a+b＜m（am+b）（其中m为任意实数）中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：，， ， ，①正确； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②正确； ③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1， 能得到：，， 所以， 所以． ∴③正确； ④∵由①②知且 ∴，④错误； ⑤∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ∴， ∴． ∴⑤错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 21．（浙江省杭州市临平区树兰实验学校2023-2024学年九年级上学期开学检测数学试题）抛物线的对称轴是直线，经过点，且．下列结论: ①； ②； ③若和是抛物线上的两点，则当时，； ④若抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， ∵， ∴，即开口向上， ∵抛物线经过点，则与x轴的另一个交点为， ∴抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点为，则，故②正确； ∵设点，，当时， ∴点P到直线的距离比点Q到直线的距离要大， ∵，开口向上， ∴由抛物线的对称性可知，，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为，即当，函数有最小值，最小值为m， ∴抛物线与直线没有交点， 即无实数根，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 22．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … n 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②/②① 【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，结合的范围，判断③结论． 【详解】解：当时，，当时，， ，抛物线对称轴为直线， 当时，其对应的函数值， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， 二次函数开口向上， ∴． ．①结论符合题意； 时，， 是关于x的方程的根． 对称轴为直线， 和3是关于x的方程的两个根．②结论符合题意； ∵ ∴二次函数解析式： ∵当时，与其对应的函数值． ∴， ∴； ∵当和时的函数值分别为和， ∴， ∴；故③错误 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 23．（23-24·浙江丽水模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据时，一次函数值比二次函数值大可判断①；根据当时，二次函数值小于0可判断②；根据，可判断③；根据当时，二次函数有最大值可判断④． 【详解】∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， ， ∴， ∴， 解得，所以①正确． ∵当时，二次函数值小于0，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，二次函数值小于0， ∴，故②不正确； ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，故③正确； ∵当时，二次函数有最大值， ∴， ∴， 即，故④正确； ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． 24．（浙江省绍初教育集团（共同体）2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线经过点、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即，本小题结论正确； ②∵，， ∴， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小，本小题结论错误； ③∵， ∴， 对于方程，， ∴方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 25．（23-24·浙江绍兴模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数， （1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 -8 【分析】（1）由函数的不动点概念得出2=22+3×2+m，解得即可； （2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+3x+m=x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0，令y=x2+2x+m，则x=1时y＜0，据此列出关于m的不等式组，解之可得． 【详解】（1）由题意得2=22+3×2+m， 解得m=-8， 故答案为-8； （2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根， 且a＜1＜b， 整理，得：x2+2x+m=0， 由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0， 令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得m＜-3， 故答案m＜-3． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于m的不等式． 26．（浙江省台州市临海市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3）， ∴c=3，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵当x=-1时，， ∴即，故③错误， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 27．（23-24·浙江宁波模拟预测）已知函数，下列说法： ①方程必有实数根； ②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位； ③当时，抛物线顶点在第三象限； ④若，则当时，y随着x的增大而增大．其中正确的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】由二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质来逐一判断． 【详解】解：与坐标轴交于 ， ①解得 ，故正确； ②与坐标轴交于 ，向右移动一个单位，或移动个单位皆可，故错误； ③时，，所以对称轴在x轴的左侧，此时开口又向上，与x轴有两个交点，故正确； ④时，开口向上，对称轴为，无法判断与-1的大小，即无法说明当时，y随着x的增大而增大，故错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、图像平移；关键在于要熟悉二次函数的性质，并会根据条件求出字母系数的值． 28．（浙江省台州市临海市临海中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】由二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，由图像可得开口向下，则有，，对称轴为直线，即，由此可进行求解问题． 【详解】解：由二次函数二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，可得抛物线与x的另一个交点坐标为，开口向下，即，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y＜0，故正确； ∵对称轴为直线，即，， ∴，故②错误； 设抛物线的解析式为，则， 令x=0时，则有y=-3a， ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点）， ∴， 解得：，故③正确； ∵，， 由得， ∵， ∴， ∴， ∴，与矛盾，故④错误； 所以正确的结论有①③； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 29．（浙江省湖州市南浔区2023-2024学年九年级下学期6月月考数学试题）已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】首先根据题意确定的符号，然后进一步确定的取值范围，根据为整数确定的值，从而确定答案． 【详解】依题意知，，， 故，且，， 由，得， ∴ 又为整数， ∴的值为：-1或0或1， ∴的值为：或或， ∵，即， ∴的值为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出的取值范围． 30．（浙江省温州市2023-2024学年九年级上学期第一次月考B卷数学试题）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b < 0；②4a + 2b + c < 0；③a - b + c > 0；④（a+c）2 < b2．其中正确的结论是 ．    【答案】①③④ 【分析】利用抛物线对称轴在y轴右侧对①进行判断； 利用x=2时，y>0可对②进行判断； 利用x=-1时，y<0可对③进行判断； 根据x=1和x=-1的值，结合绝对值的意义，则可对④进行判断． 【详解】①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，＞0，则b＜0 正确． ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等， ∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0 错误． ③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， 正确． ④∵a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b ∵当x=1时，y=a+b+c＜0 ∴a+c＜﹣b ∴b＜a+c＜﹣b ∴|a+c|＜|b| ∴（a+c）2＜b2 正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 31．（23-24·浙江宁波模拟预测）如图，已经二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论有 . 【答案】①③④⑤ 【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵图象与x轴交于点，对称轴为x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（2,0）, ∴当x=2时，， ∴，故②错误； ③∵图象与轴的交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点的纵坐标要小于-1， ∴， ∵ ∴，故③正确； ④∵图象与轴的交点在和之间， ∴， ∵图象经过点A（-1,0）与（3,0）, ∴的两根为-1和3， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵对称轴为直线 ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 32．（23-24·浙江温州模拟预测）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论： ①abc＞0； ②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3； ③2a+b＝0； ④4a2+2b+c＜0， 其中正确结论的序号为 ． 【答案】②③． 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的； 当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确； 对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确， ∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0， ∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的， 故答案为：②③． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 33．（23-24·浙江绍兴模拟预测）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有 个.    【答案】 【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为可得出b＝−a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b＝−a可得出a＋b＝0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（,），由此可得出，去分母后即可得出4ac−b2＝4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x＝1与x＝0时y值相等，由此可得出a＋b＋c＝c＞0，④错误．综上即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向下，得；由抛物线对称轴为，得；抛物线与轴交点在轴正半轴，故，正确 ②正确 ③由抛物线的顶点坐标为，得，正确 ④由①得，由②得，，故④错误 正确为：①②③ 故答案为：3. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键． 34．（23-24·浙江宁波模拟预测）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论： ①ab＜0； ②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3； ③4a+2b+c＜0； ④当x＞1时，y随x值的增大而增大； ⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3； ⑥3a+2c＜0． 其中不正确的有 ． 【答案】⑤ 【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab之间关系，再代入a﹣b+c＝0，问题可解．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，﹣ ＞0，c＜0， ∴b＜0， ∴ab＜0，说法①正确； ②二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，说法②正确； ③∵当x＝2时，函数y＜0， ∴4a+2b+c＜0，说法③正确； ④∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵图象开口向上， ∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，说法④正确； ⑤∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上， ∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，说法⑤错误； ⑥∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣， ∴b＝﹣2a， ∴3a+c＝0， ∵c＜0， ∴3a+2c＜0，说法⑥正确． 故答案为⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 35．（23-24·浙江杭州模拟预测）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与y轴相交于负半轴.出四个结论：①；②；③；④其中结论正确的是 （填序号）. 【答案】②③④ 【分析】根据抛物线开口方向确定a的符号，再根据对称轴的位置确定b的符号，然后根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，再根据图象经过点和结合图像对各选项依次判断即可. 【详解】∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴ ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线过点（1，0）， ∴a+b+c=0，所以③正确； ∵抛物线过点（-1，2）， ∴a-b+c=2， ∴2a+2c=2，即a+c=1，所以④正确，故答案为②③④． 【点睛】本题是对二次函数图像的综合考查，熟练掌握二次函数开口方向，对称轴，交点个数及通过坐标计算a，b，c之间的关系是解决本题的关键. 36．（23-24·浙江宁波模拟预测）二次函数的图象如图所示.有下列结论：①；②；③有两个不相等的实数根；④有两个不相等的实数根.其中正确的是 【答案】②③ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知：抛物线与轴有两个交点， △，故①错误； ②由图可知：抛物线对称轴为. ∴故②正确； ③由图象可知：当时，有两个值，故③正确； ④由图象可知抛物线顶点为，最大值为3.6，使y=10的实数x不存在. ∴无实数根.即无实根，故④错误； 故答案为②③． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 37．（浙江省杭州市萧山区城区片六校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数（）图象的顶点在第二象限，且过点（1,0），则 0（用“<、>、、、=”填写）． 【答案】< 【分析】首先根据题意得出抛物线开口向下，对称轴为直线x=-b，与x轴交于负半轴，抛物线与y轴交于正半轴，确定a、b，c的符号，从而确定答案． 【详解】解：∵抛物线（）顶点在第二象限，且过点（1,0） ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-b，且与x轴交于负半轴，抛物线与y轴交于正半轴，故a＜0，b>0, c>0, ∴b+c>0, ∴ < 0 故答案为< 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据顶点在第二象限，且过点（1,0）确定图象的大致位置和对称轴是解题关键. 38．（23-24·浙江绍兴模拟预测）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 【答案】②③④ 【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置可确定a、c的符号，根据图象经过点（-1，2）和（1，0）可知对称轴在y轴右侧，可确定b的符号，可对①进行判断；根据图象与y轴相交于负半轴且过点（1，0）可得对称轴x=<1，可对②进行判断；把（-1，2）、（1，0）分别代入二次函数解析式，所得两个方程相加即可得a+c=1，可得③正确；根据③及a、c的符号即可对④进行判断；根据图象可知x=2时y>0，即4a+2b+c>0，把a+c=1代入即可对⑤进行判断；综上即可得答案. 【详解】∵二次函数的图象开口向上，且与y轴相交于负半轴， ∴a>0，c<0， ∵图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴， ∴对称轴在y轴右侧，即x=>0， ∴b<0， ∴abc>0，故①错误， ∵图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴， ∴对称轴x=<1， ∴2a+b>0，故②正确， ∵图象经过点（-1，2）和（1，0）， ∴a-b+c=2，a+b+c=0， 两方程相加得：2a+2c=2， ∴a+c=1，故③正确， ∵c<0，a+c=1， ∴a>1，故④正确， 由图象知x=2时，y>0， ∴4a+2b+c>0， ∵a+c=1， ∴3a+2b+a+c>0， ∴3a+2b>-1，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有②③④， 故答案为②③④ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 39．（浙江省杭州市萧山区高桥中学教育集团2023-2024学年九年级期中数学试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b，c为常数）的图象如图所示，下列5个结论：�①abc＜0；②�b＜a+c；③�4a+2b+c＞0；④3b＞2c；⑤a+b＞m（am+b）（m为常数，且m≠1），其中正确的结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】根据抛物线开口方向可以判定a的符号,根据对称轴位置和a的符号可以确定b的符号,根据抛物线与y轴交点可确定c的符号,根据韦达定理可确定a与b和a与c的关系,根据二次函数图象与各项系数关系进行解答即可. 【详解】解：由图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则b＞a+c，故②错误， ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确， ∵1，则b＝﹣2a， ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴2a﹣2b+2c＜0，故﹣3b+2c＜0， ∴3b＞2c，故④正确， ∵当x＝1时，此函数取得最大值，此时y＝a+b+c＝1， ∴当x＝m≠1时，am2+bm+c＜a+b+c， ∴m（am+b）＜a+b，故⑤正确， 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答． 40．（23-24·浙江温州模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，顶点为，有下列结论：①；②；③；④，其中，正确结论有 . 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出a、b、c之间的关系，对照4条结论判断其正确与否，由此即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞2， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴结论①不正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点， ∴△=0， 即b2-4ac=0， ∴结论②正确； ∵对称轴x==-1， ∴b=2a， ∵b2-4ac=0， ∴4a2-4ac=0， ∴a=c， ∵c＞2， ∴a＞2， ∴结论③正确； ∵对称轴是x=-1，而且x=0时，y＞2， ∴x=-2时，y＞0， ∴4a-2b+c＞0， ∴结论④正确． 综上，可得 故答案为②③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出a、b、c之间的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$