预习04讲 用空间向量研究夹角、距离问题（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习04讲 用空间向量研究夹角、距离问题（精讲+精练） ①利用空间向量求异面直线所成角 ②利用空间向量求线面角 ③利用空间向量求面面角 ④利用空间向量求点到线、点到面距离 一、用向量法求空间距离 1.点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2.点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 二、用向量法求空间角 1.用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2.用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3.用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； ①利用空间向量求异面直线所成角 策略方法 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． ②利用空间向量求线面角 策略方法 利用向量法求线面角的两种方法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 2．（23-24高二下·山西·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． (1)证明：； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 4．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 6．（23-24高二下·山西运城·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 7．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 8．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点.    (1)证明：； (2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为. ③利用空间向量求面面角 策略方法 利用向量计算二面角大小的常用方法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）如图，在中，分别为边的中点，将沿折起到处，为线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点． (1)求证：上存在一点，使得与总垂直； (2)当平面时，求的值； (3)当时，求平面与平面所成角的大小． 3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形为等边三角形分别是和的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若求平面与平面夹角的余弦值. 4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，与交于点，底面，侧棱与底面所成角的余弦值为. (1)求到侧面的距离； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 5．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面与平面均为矩形且相互平行，,设. (1)求证：平面平面； (2)若多面体的体积为： （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 6．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． ④利用空间向量求点到线、点到面距离 策略方法 求点到面的距离 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 2．（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 3．（2024·天津·二模）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)若点到平面的距离为，求的长. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 5．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体中，面且面，，，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到直线的距离. 6．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习04讲 用空间向量研究夹角、距离问题（精讲+精练） ①利用空间向量求异面直线所成角 ②利用空间向量求线面角 ③利用空间向量求面面角 ④利用空间向量求点到线、点到面距离 一、用向量法求空间距离 1.点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2.点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 二、用向量法求空间角 1.用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2.用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3.用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； ①利用空间向量求异面直线所成角 策略方法 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求线线角即可求解. 【详解】 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 得， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 4．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，， 设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C. 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，得出即可求解. 【详解】设菱形对角线相交于点，则为的中点，， 又为矩形的边的中点. 所以， 又面面，，面， 所以面，所以面， 又面， 所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    不妨设，， 则， 所以，所以， 所以直线与的所成的角为. 故选：B. ②利用空间向量求线面角 策略方法 利用向量法求线面角的两种方法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据法向量与向量垂直，即可判断线面平行； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）证明：直三棱柱中，， 以为顶点建立空间坐标系如图， ，， 点，分别为与的中点， 取中点， ，，， 在△中，， 平面，且，平面， 平面，，且，平面， 平面， 为平面的一个法向量， 而，， ， ， 又平面， 平面； （2）易知，， ，， 设是平面的一个法向量， 则， ， 取，则，， 即， 设与平面所成角为， 则 故与平面所成角的正弦值为． 2．（23-24高二下·山西·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及直线的方向向量即可. 【详解】（1）证明：过点D作于N，如图所示 因为，，，， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以 又，，，平面， 所以平面． （2）因为，，所以， 如图，以D为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴， 以过点D且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． (1)证明：； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可证得； （2）法1：由三棱锥的体积最大推理得到最大，利用基本不等式得，作于，可推得平面，得到AC与平面所成的角等于，解三角形即得；法2：依题建系，分别求得和平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以． 又平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为，所以当三棱锥体积最大时，最大． 由（1）可知平面，因为面，所以． 又，所以， 当且仅当时取等号，即当最大时，． 法1：综合法 如图，作于，连结AH. 由（1）可知平面，因为面，所以． 又平面，所以平面． 因此，AC与平面所成的角等于． 因为平面平面，所以． 在Rt中，，所以，因此, 在Rt中，． 所以AC与平面所成角的正弦值． 法2：向量法 在平面内，作交于，因为平面ABC，所以平面ABC． 分别以DC，DA，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.则． 设平面的法向量为，易得， 可取． 因，则， 所以AC与平面所成角的正弦值等于． 4．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用平行四边形截面来证明线线平行，再到线面平行； （2）利用面面垂直证明线面垂直，建立空间直角坐标系来求解线面角的正弦值. 【详解】（1） 取的中点，连接，则且， 又且，则且，即四边形是平行四边形． ，又平面平面， 平面． （2）取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 过点作直线的垂线交于点，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 为直径，． 在等腰梯形中，，所以， ， ． 设平面的一个法向量为，则， ， 令则．， 设直线与平面所成的角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为． 5．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，通过证明平面，证得； （2）以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为，连接. 因为，，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以.① 平面，平面，， 为正方形，，平面中，， 又，即有，所以四边形是矩形. 因为，，所以， 又由已知得，，所以四边形为矩形，所以.② 由①②， 结合， 平面， 所以平面，平面，所以. （2），由（1）可知，又因为，所以. 以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得. 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成的角为. 6．（23-24高二下·山西运城·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 【答案】(1)证明见解析； (2)是棱PD的中点. 【分析】（1）首先利用垂直关系证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用数量积证明线线垂直； （2）首先求平面的法向量，再利用线面角的向量公式，建立方程，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以， 因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形是矩形，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 因为 所以，即； （2）由（1），得 设为平面的法向量， 则，令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以，因为，所以， 即是棱PD的中点. 7．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案． 【详解】（1）作于点O，因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，即为三棱台的高， 又因为平面，所以，连接， 因为，，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，，， 所以，，所以三棱台的高为； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设，则， 设直线与平面所成角为，， 化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以）， 所以． 8．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点.    (1)证明：； (2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）先证明平面，然后根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，表示M点坐标，求出平面ADE的法向量，根据空间角的向量求法，列方程，即可求得答案. 【详解】（1）证明：由图1知：是直角梯形，C、D分别为的中点，则， 故图2中，，，且平面BCF， ∴平面，即是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，且N是的中点，故， 又平面，平面，可得， 而，BC，平面，∴平面， 而平面，∴. （2）因为平面，过点N作的平行线，平面， 故，又， 所以以点N为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，    图1中，是直角梯形，，，，，， 可得； 则空间直角坐标系中，，，，， 设，∴，， ，， 由于，则，∴，. ∴，∴， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为，大于等于小于等于， 由于直线BM与平面ADE所成角的余弦值为， 故直线BM与平面ADE所成角的正弦值为， ∴， ∴，∴或，适合题意， 故或. ③利用空间向量求面面角 策略方法 利用向量计算二面角大小的常用方法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）如图，在中，分别为边的中点，将沿折起到处，为线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，即可求解； （2）以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，即可解出. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，则，且， 由题意知， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 由题意知， 因为分别为的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）解：设，则， 所以，所以， 因为在中，，所以， 所以， 所以两两垂直，故以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，所以 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点． (1)求证：上存在一点，使得与总垂直； (2)当平面时，求的值； (3)当时，求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用线线垂直可证得平面，从而可证结集结； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得，进而可得，进而可求结论； （3）取的中点，连接，可证底面，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面平面的一个法向量为，，利用向量法可求平面与平面所成角的大小. 【详解】（1）取的中点，连接，因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，且侧面底面，， 所以侧面，又侧面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以上存在一点，使得与总垂直； （2）连接交于点，连接， 因为当平面，平面，平面平面， 所以，所以， 在梯形中，，所以； （3），所以， 所以，所以是的中点， 取的中点，连接，则， 又侧面底面，侧面底面， 所以底面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的大小为． 3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形为等边三角形分别是和的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，利用平行四边形判定、性质，线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，证明平面，再以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）取的中点，连结，而为的中点，则，， 在正方形中，由为的中点，得，， 因此，则四边形为平行四边形，于是， 又平面平面， 所以平面.    （2）由正方形，得，又，且平面， 则平面，取的中点，又为的中点，则，有平面， 连接，由为等边三角形，得，即直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标，设， 则， ， 设平面的法向量， 由，令，得， 设平面的法向量， 由，令，得， 则，显然平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，与交于点，底面，侧棱与底面所成角的余弦值为. (1)求到侧面的距离； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得四棱锥为正四棱锥，由侧棱与底面所成角的余弦值求出，即可求出侧棱长，再由等体积法求出点到侧面的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以为，的中点， 因为底面，所以，即四棱锥是正四棱锥， 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，则正弦值为， 所以侧棱与底面所成角的正切值为， 因为正方形的边长为，所以， 在中，，所以， 所以， 由正四棱锥的性质知，到侧面的距离相等， 设到平面的距离为， 由，得， 所以，解得， 所以到侧面的距离为； （2）以为原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知， 因为，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以令，所以，， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以令，所以，， 所以， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 5．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面与平面均为矩形且相互平行，,设. (1)求证：平面平面； (2)若多面体的体积为： （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由线线垂直推出线面垂直，进而得到面面垂直； （2）将多面体的体积分成三部分，包括一个三棱柱和两个完全一样的五面体，再将五面体分成一个三棱柱和一个四棱锥，最终表示出多面体的体积，求得多面体的高，即可得到；在此基础上加建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1） 因为四边形是矩形，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）（i） 因为，所以四边形是等腰梯形， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， 同理，作，则， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，记， 连接，作，则， 由对称性可知，所以， ， ， 所以，所以， 在中，，所以； （ii） 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，则， 设平面的法向量，则，即，得，所以， 设平面的法向量，则，即，得，所以， ， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 6．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设中点为，连接，即可得到四边形为正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）设中点为，连接， 因为，且，故四边形为正方形， 而，，， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，所以，， 设平面的法向量为，则，即，令，所以， 由（1）知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以.    7．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长度为. 【分析】（1）根据余弦定理得到和，再由线面垂直的判定条件得到平面，然后证明平面，进而证明. （2）建立空间直角坐标系，根据点在棱上设出，再求出两个半平面的法向量，根据二面角的大小得到关于的方程，解方程即可求得点的位置. 【详解】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得， 代入数值解得， 所以，所以. 又因为，M是BC的中点， 所以，， 所以在中，，， 解得， 所以，所以. 因为，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）由（1）得，平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知，. 假设存在符合题意的点， 所以设 所以， 设平面的法向量为， 由，得到，取，所以， 所以平面的法向量为 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，所以， 此时，所以. 综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为. 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点在处或在靠近的三等分点处 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【详解】（1）过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. （2）因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． （3）设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得或， 故存在或满足题意，即存在点在处或在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． ④利用空间向量求点到线、点到面距离 策略方法 求点到面的距离 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （2）设，，然后利用空间向量表示出点P到平面的距离，化简后可求出其最小值. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设直线与平面所成的角为，平面的法向量为． 易知，， 由，即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）设，，点P到平面的距离为d，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， ， 当，即点P与点重合时，．    2．（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可得且，从而得到，再根据线面平行的判定定理得到平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，利用点到平面的距离的向量计算公式即可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接，则， 且，所以且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2）直三棱柱中，， 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即令，则，得到平面的一个法向量， 又，， 所以点到平面的距离． 3．（2024·天津·二模）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)若点到平面的距离为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）矩形对角线交点即为线段中点，在内应用中位线定理，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求直线的方向向量，再求平面的法向量，应用线面角的向量求法即可；（3）设定，应用点面距的向量解法求解即可. 【详解】（1）设，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点， 又为中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的正方向分别为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系，    则 ， 设平面的法向量为：， 且，令，解得：； 设直线与平面所成角为，所以. 则直线与平面所成角的正弦值为. （3）， 设 由平面的法向量为：， 点到平面的距离为：. 解得：，且， 所以. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 5．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体中，面且面，，，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明； （2）由题意，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，设，由二面角的余弦值为建立关于的方程，并求解，进而求出点到直线的距离. 【详解】（1）证明：因为面且面， 面且面， 所以且， 在面中，， 同理，在面中,， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 由面，面，知， 又因为，面，面, 所以面. （2）取中点，由题可知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为面，故面， 又因为为正三角形，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， ，，，， 设面的法向量为，则有， 不妨设，得， 又面，故面的法向量不妨设为， 由题意，解得， 于是，，， 所以点到到直线的距离为. 6．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$