（新知衔接）专题01 圆的认识（新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年北师大版小学数学五升六年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题01 圆的认识 （新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：圆的概念及特点 8 考点二：画圆 9 考点三：与圆有关的轴对称图形 10 考点四：欣赏与设计 10 基础达标练 12 能力拔高练 15 1.学习目标描述：在具体的情境中，引导学生认识圆，掌握圆的特征，同时学会画圆，理解并掌握同圆中半径与直径的关系。 2.学习内容分析：这节课主要学习的内容有：画圆的步骤和方法，圆心、半径和直径的认识。教材通过圆的直径和半径以及它们的长度之间的关系，进一步加深对圆的认识。 3.学科核心素养分析：结合具体的情景，体会数学与生活的密切联系，能用圆的知识解释生活中的简单现象，体验圆的美，同时感受数学是一种过程、一种文化。 你们玩过套圈游戏吗？说一说游戏规则是怎样的？ 在套圈游戏中常用的有下面的三种方式。 想一想，在套圈游戏中哪种方式更公平？为什么？ 每人离目标的距离不一样，不公平。 站成圆形时，每人到物体的距离同样远，所以用围成圆的方式进行套圈游戏更公平。 学习任务： 1.利用身边的物体尝试画圆。 2.说说你是怎么画的，用了什么方法。 3.比较一下，谁的方法画出的圆比较好？ 可以用圆形物体直接描圆。 可以用手画。 需要注意：图钉固定的这一点不能动，线绳必须始终拉紧。 圆规是画圆的专用工具。圆规有两只长脚，一只脚装有尖针,另一只脚装有铅笔芯，两只脚能张开或收拢，画出大小不用的圆。 装有铅笔芯的一只脚绕着这个点旋转一圈。 装有尖针的一只脚固定在一个点上。 用圆规画圆，需要注意什么？ 画圆时，圆规的针尖不能动、圆规两脚距离不能变。圆规针尖所在的点叫圆心。 思考：圆心通常用字母O来表示。 如果用一条线段表示圆规两脚间的距离，想一想，应该怎样表示？在圆上画一画。 从圆心到圆上任意一点的线段叫作半径，通常用字母r来表示。 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径通常用字母d来表示。 想一想，半径之间、直径之间、半径与直径之间有什么关系呢？ 探究： 1.在同一个圆中画半径，看看你能画多少条？测量每条半径的长度，说说你的发现。直径呢？ 2.在同一个圆内，半径与直径之间有什么关系？用字母怎么表示？ 同一个圆中有无数条半径、所有的半径都相等。 同一个圆中有无数条直径、所有的直径都相等。 同一个圆里，直径长是半径的2倍，所有半径的长度是直径的一半。 这两幅作品有什么不一样？ 三个圆在纸上的位置不一样。 圆的大小不一样，是同心圆。 想一想，画一画，圆的大小与什么有关系？圆的位置与什么有关系？ 半径决定了圆的大小 圆心确定了圆的位置。 车轮为什么是圆的？ 车轮是圆形，易滚动。 实验要求： 1.分别用硬纸板做成下面的图形，代替车轮。 2.小组合作，将做好的硬纸板“车轮”沿直尺的边滚一滚，描出A点留下的痕迹。 正方形的中心点的痕迹是一条波浪线。 椭圆圆心的痕迹是一条幅度很多的波浪线。 为什么圆心的痕迹是直线？ 因为圆心离地面的距离相等，也就等于它的半径和这条直线段的距离一直相等。 说一说，圆和其他图形有什么不同？ 圆的边是弯曲的，也没有角。圆是由曲线围成的封闭图形。 总结归纳： 同圆内，半径有无数条，长度都相等。 同圆内，直径有无数条，长度都相等。 d=2r 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 知识点01：圆的基本概念 圆的定义：圆是由一条曲线围成的平面封闭图形，其中平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。在同一个圆内，所有的半径都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。在同一个圆内，所有的直径都相等，且直径的长度是半径的2倍，即d=2r。 知识点02：圆的性质 圆是轴对称图形：将圆沿它的直径对折，两边完全重合，所以圆有无数条对称轴。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 圆周率：圆的周长和直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，在计算时，常取近似值3.14。 知识点03：圆的画法 手指画圆法：以拇指为固定点，食指与拇指间的距离不变，将食指绕拇指旋转一周，食指的运动轨迹就形成了一个圆。 实物画圆法：把圆形物体放在纸上固定不动，用笔沿实物的边缘描一周，就画成了一个圆。 系绳画圆法：用一个图钉、一根线（没有弹力）和一支笔画圆的方法：用图钉将线的一端固定在一点上，用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周，就画成了一个圆。 圆规画圆法：根据圆心到圆上任意一点的距离（即半径）都相等，可以用圆规来画圆。 易错知识点01：圆的定义与性质 圆的定义： 易错点：混淆圆的定义，错误地认为圆是由直线围成的封闭图形。 正确理解：圆是由曲线围成的封闭图形，且圆上任意一点到圆心的距离都相等。 圆的对称性： 易错点：认为圆的对称轴是直径，而非直径所在的直线。 正确理解：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线，而非直径本身。 圆心、半径与直径的关系： 易错点：混淆半径与直径的概念，或忘记它们之间的关系。 正确理解：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。直径是半径的2倍，即d=2r。 易错知识点02：圆的周长与面积 圆的周长公式： 易错点：忘记使用π的近似值3.14进行计算，或混淆周长与面积的计算公式。 正确理解：圆的周长公式为C=πd或C=2πr，其中π取近似值3.14进行计算。 圆的面积公式： 易错点：忘记面积公式中的平方运算，或将半径误认为是直径进行计算。 正确理解：圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。 易错知识点03：圆的画法与实际应用 圆的画法： 易错点：使用圆规画圆时，固定点（圆心）或半径（两脚之间的距离）设置不准确。 正确操作：使用圆规画圆时，确保固定点（圆心）稳定，且两脚之间的距离（半径）保持不变。 实际应用中的易错点： 在解决实际问题时，如计算车轮的周长或面积时，容易忽略单位换算或实际情境中的限制条件。 解决方法：在解决实际问题时，注意单位换算和题目中的限制条件，确保计算的准确性。 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】（23-24六年级上·广东湛江·期末）下面的哪种方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径？（    ） A． B． C． D．三种方法都可以测量出圆的直径 【变式演练01】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）在一块长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为1厘米的圆片，最多能剪（    ）个这样的圆片。 A．24 B．27 C．30 D．34 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）看图填空。        圆的半径＝( )         圆的直径＝( )      圆的直径＝( ) 直径＝( )              半径＝( )        半径＝( ) 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）看图在括号里填上合适的数。 圆的直径＝（    ）； 正方形的周长＝（    ）。 圆的直径＝（    ）； 梯形的上底＝（    ）； 梯形的高＝（    ）。 考点二：画圆 【典例精讲】（22-23六年级上·安徽淮北·期末）画一个以O为圆心，直径为4cm的圆。 【变式演练01】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）请以线段为半径在下面用圆规画圆，并用字母标注出圆心、半径和直径。 【变式演练02】（23-24六年级上·广东清远·期末）请你画一个半径为2cm的圆，并用字母O、r标出圆心和半径。 【变式演练03】（2021六年级上·辽宁·专题练习）根据要求画圆，分出半径和直径。 用圆规画一个直径为3cm的圆和一个半径为1cm的圆，使它们的圆心在同一条直线上，且让两个圆紧挨着。 考点三：与圆有关的轴对称图形 【典例精讲】（22-23六年级上·广东湛江·期末）圆与环形都有无数条对称轴。( )（判断对错） 【变式演练01】（16-17六年级上·辽宁阜新·期末）如图，在一个圆里画一个最大的正方形，圆的直径是正方形的（    ）。 A．边长 B．对角线 C．周长 【变式演练02】（23-24六年级上·河南驻马店·阶段练习）画出下列图形的所有对称轴。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）下面的图形是轴对称图形吗？画出轴对称图形的2条对称轴。 考点四：欣赏与设计 【典例精讲】（20-21六年级上·四川甘孜·期末）根据对称轴画出轴对称图形的另外一半。 【变式演练01】（22-23六年级上·辽宁·单元测试）下面的图案漂亮吗？照样子画一画。 【变式演练02】（22-23六年级上·辽宁·课时练习）在下面的图形中涂上颜色，设计出你喜欢的图案。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）你能看懂下面两组图的意思吗？你有什么发现？ 基础达标练 1．下面关于直径的说法：①通过圆心的线段；②两端都在圆上的线段；③圆内最长的直线；④圆的任意一条对称轴；⑤任意两条半径相连；⑥周长与圆周率的比值，其中正确的有（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023六上·化州期中）在下边的长方形里面画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（　　）厘米。 A．7 B．15 C．3.5 D．7.5 3．（2023六上·南和月考）下面三幅图中能用3：2表示的是（　　）。 A． B． C． 4．（2024六上·定州期末）在一个边长是10厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是　 　厘米，圆和正方形组成的图形有　 　条对称轴。 5．（2024六上·象山月考）如图，长方形中有三个大小相同的圆，圆的直径是　 　cm，长方形的周长是　 　cm。 6．（2023六上·七星关月考）如图所示，圆的半径是　 　cm， 其中一个圆的面积是　 　cm2。 7．（2024六上·天台期末）利用圆规和三角尺，在下面的图案中任选一个并画出来。 要求：画出的图案与原图案大小、形状相同，保留画图过程。 8．（2024六上·宝安期末）按要求画图并计算。 （1）先画出一个长为3cm、宽为2cm的长方形。 （2）在画出的长方形内，再画出一个最大的半圆。 （3）算一算，这个半圆的周长是多少厘米？ 9．（2024六上·黔江期末） 在如图的网格图中按要求画图。（每个小正方形的边长表示1厘米） （1）以点O为圆心，画一个半径是3厘米的圆。 （2）在（1）中所画的圆里画一个圆心角是90°的扇形，并将所画扇形涂色。 （3）画一个周长是18厘米的长方形，其长与宽的比是2∶1。 10．（2023六上·威县月考）劳动课上，彤彤用不同的圆制作蜗牛。彤彤在下图的一个长方形纸中剪下来两个圆（如图），大圆半径是小圆半径的2倍，已知这个长方形纸的长是12厘米，这个长方形纸的面积是多少平方厘米？ 11．（2023六上·南和月考）南湖自然公园由三个相连的湖泊组成（如图），镜湖、青羽湖和莲湖的直径分别是400米、600米和300米。镜湖的圆心处有一座小岛A，莲湖的圆心处有一座小岛B，求A、B两座小岛之间的距离是多少米？ 能力拔高练 12．下列关于圆的说法正确的是（ ）。 A．半径确定圆的位置 B．圆是轴对称图形 C．圆周率是周长与半径的比值 D．圆的对称轴是直径 13．（2019六上·麻城期末）在一个长20dm，宽7dm的硬纸板里剪直径为7dm的半圆，最多能剪（　　）个。 A．2 B．4 C．5 14．（2023六上·雷州月考）有一张边长为8厘米的正方形纸，乐乐在这张纸上剪了4个同样大小的圆(如右图)，这4个圆的面积之和占这张纸的　 　%。 15．（2021六上·揭阳期中）在一个长16厘米，宽12厘米的长方形纸片内剪下半径为2厘米的圆，最多可剪　 　个。 16．（2019六上·武昌期末）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取　 　个直径是2分米的圆形铁板． 17．动手画一画。 第1步：画出4条直径把圆平均分成8份。 第2步：分别以8条半径为直径画8个小圆。 第3步：把8个小圆涂上你喜欢的颜色。 18． （2023六上·南和月考）一张长方形红色纸片的长是24厘米，宽是18厘米。李老师准备从上面剪下半径是3厘米的圆形纸片做花瓣，她最多能剪下多少张这样的圆形纸片？ 19．下图是两张圆形纸片，大圆形纸片的直径是小圆形纸片直径的3倍，小圆形纸片的半径是1.5厘米。如果大圆形纸片不动，小圆形纸片沿着大圆形纸片滚动一周后，形成的大圆的半径是多少厘米？ 20．（2020六上·西城期末）在学习了“圆”的知识后，某同学用圆规和直尺设计了一个图案（如图所示）． （1）用圆规和直尺将该同学的设计图案画在方格纸上． （2）该同学设计的图案中，空白部分的面积是多少平方厘米？ 21．（2019六上·龙泉驿期末）画图并按要求填空。 下图中有甲、乙两个大小相同的圆，甲圆中的直径被平均分成了两份，乙圆中的直径被平均分成了三份。 （1）画一画。 请在甲圆中分别以AB和BC为直径画两个小圆；请在乙圆中分别以DE、EF、FG为直径画三个小圆。 （2）填一填，甲圆中的两个小圆周长之和与乙圆中三个小圆周长之和的比是　 　。 （3）填一填，甲圆中的两个小圆面积之和与乙圆中三个小圆面积之和的比是　 　。 22． （1）下图的图案你会画吗？请在空白长方形中画一个。 （2）你能求出这个图案的周长吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的认识 （新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：圆的概念及特点 8 考点二：画圆 10 考点三：与圆有关的轴对称图形 12 考点四：欣赏与设计 13 基础达标练 16 能力拔高练 22 1.学习目标描述：在具体的情境中，引导学生认识圆，掌握圆的特征，同时学会画圆，理解并掌握同圆中半径与直径的关系。 2.学习内容分析：这节课主要学习的内容有：画圆的步骤和方法，圆心、半径和直径的认识。教材通过圆的直径和半径以及它们的长度之间的关系，进一步加深对圆的认识。 3.学科核心素养分析：结合具体的情景，体会数学与生活的密切联系，能用圆的知识解释生活中的简单现象，体验圆的美，同时感受数学是一种过程、一种文化。 你们玩过套圈游戏吗？说一说游戏规则是怎样的？ 在套圈游戏中常用的有下面的三种方式。 想一想，在套圈游戏中哪种方式更公平？为什么？ 每人离目标的距离不一样，不公平。 站成圆形时，每人到物体的距离同样远，所以用围成圆的方式进行套圈游戏更公平。 学习任务： 1.利用身边的物体尝试画圆。 2.说说你是怎么画的，用了什么方法。 3.比较一下，谁的方法画出的圆比较好？ 可以用圆形物体直接描圆。 可以用手画。 需要注意：图钉固定的这一点不能动，线绳必须始终拉紧。 圆规是画圆的专用工具。圆规有两只长脚，一只脚装有尖针,另一只脚装有铅笔芯，两只脚能张开或收拢，画出大小不用的圆。 装有铅笔芯的一只脚绕着这个点旋转一圈。 装有尖针的一只脚固定在一个点上。 用圆规画圆，需要注意什么？ 画圆时，圆规的针尖不能动、圆规两脚距离不能变。圆规针尖所在的点叫圆心。 思考：圆心通常用字母O来表示。 如果用一条线段表示圆规两脚间的距离，想一想，应该怎样表示？在圆上画一画。 从圆心到圆上任意一点的线段叫作半径，通常用字母r来表示。 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径通常用字母d来表示。 想一想，半径之间、直径之间、半径与直径之间有什么关系呢？ 探究： 1.在同一个圆中画半径，看看你能画多少条？测量每条半径的长度，说说你的发现。直径呢？ 2.在同一个圆内，半径与直径之间有什么关系？用字母怎么表示？ 同一个圆中有无数条半径、所有的半径都相等。 同一个圆中有无数条直径、所有的直径都相等。 同一个圆里，直径长是半径的2倍，所有半径的长度是直径的一半。 这两幅作品有什么不一样？ 三个圆在纸上的位置不一样。 圆的大小不一样，是同心圆。 想一想，画一画，圆的大小与什么有关系？圆的位置与什么有关系？ 半径决定了圆的大小 圆心确定了圆的位置。 车轮为什么是圆的？ 车轮是圆形，易滚动。 实验要求： 1.分别用硬纸板做成下面的图形，代替车轮。 2.小组合作，将做好的硬纸板“车轮”沿直尺的边滚一滚，描出A点留下的痕迹。 正方形的中心点的痕迹是一条波浪线。 椭圆圆心的痕迹是一条幅度很多的波浪线。 为什么圆心的痕迹是直线？ 因为圆心离地面的距离相等，也就等于它的半径和这条直线段的距离一直相等。 说一说，圆和其他图形有什么不同？ 圆的边是弯曲的，也没有角。圆是由曲线围成的封闭图形。 总结归纳： 同圆内，半径有无数条，长度都相等。 同圆内，直径有无数条，长度都相等。 d=2r 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 知识点01：圆的基本概念 圆的定义：圆是由一条曲线围成的平面封闭图形，其中平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。在同一个圆内，所有的半径都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。在同一个圆内，所有的直径都相等，且直径的长度是半径的2倍，即d=2r。 知识点02：圆的性质 圆是轴对称图形：将圆沿它的直径对折，两边完全重合，所以圆有无数条对称轴。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 圆周率：圆的周长和直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，在计算时，常取近似值3.14。 知识点03：圆的画法 手指画圆法：以拇指为固定点，食指与拇指间的距离不变，将食指绕拇指旋转一周，食指的运动轨迹就形成了一个圆。 实物画圆法：把圆形物体放在纸上固定不动，用笔沿实物的边缘描一周，就画成了一个圆。 系绳画圆法：用一个图钉、一根线（没有弹力）和一支笔画圆的方法：用图钉将线的一端固定在一点上，用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周，就画成了一个圆。 圆规画圆法：根据圆心到圆上任意一点的距离（即半径）都相等，可以用圆规来画圆。 易错知识点01：圆的定义与性质 圆的定义： 易错点：混淆圆的定义，错误地认为圆是由直线围成的封闭图形。 正确理解：圆是由曲线围成的封闭图形，且圆上任意一点到圆心的距离都相等。 圆的对称性： 易错点：认为圆的对称轴是直径，而非直径所在的直线。 正确理解：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线，而非直径本身。 圆心、半径与直径的关系： 易错点：混淆半径与直径的概念，或忘记它们之间的关系。 正确理解：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。直径是半径的2倍，即d=2r。 易错知识点02：圆的周长与面积 圆的周长公式： 易错点：忘记使用π的近似值3.14进行计算，或混淆周长与面积的计算公式。 正确理解：圆的周长公式为C=πd或C=2πr，其中π取近似值3.14进行计算。 圆的面积公式： 易错点：忘记面积公式中的平方运算，或将半径误认为是直径进行计算。 正确理解：圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。 易错知识点03：圆的画法与实际应用 圆的画法： 易错点：使用圆规画圆时，固定点（圆心）或半径（两脚之间的距离）设置不准确。 正确操作：使用圆规画圆时，确保固定点（圆心）稳定，且两脚之间的距离（半径）保持不变。 实际应用中的易错点： 在解决实际问题时，如计算车轮的周长或面积时，容易忽略单位换算或实际情境中的限制条件。 解决方法：在解决实际问题时，注意单位换算和题目中的限制条件，确保计算的准确性。 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】（23-24六年级上·广东湛江·期末）下面的哪种方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径？（    ） A． B． C． D．三种方法都可以测量出圆的直径 【答案】D 【思路点拨】通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径是圆内最长的一条线段，据此分析。 【规范解答】A．通过转动直尺，量出圆内最长的一条线段是直径，可以； B．两个三角尺之间的距离是圆的直径，可以； C．正方形内最大的圆，圆的直径＝正方形边长，通过测量正方形边长确定圆的直径，可以。 三种方法都可以测量出圆的直径。 故答案为：D 【变式演练01】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）在一块长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为1厘米的圆片，最多能剪（    ）个这样的圆片。 A．24 B．27 C．30 D．34 【答案】A 【思路点拨】直径＝半径×2，长方形纸上剪半径为1厘米的圆片的个数就是剪边长2厘米的正方形的个数，沿着长可以剪（12÷2）个，沿着宽可以剪（9÷2）个（结果用去尾法保留近似数），沿着长剪的个数×沿着宽剪的个数＝总个数，据此列式计算。 【规范解答】1×2＝2（厘米） 12÷2＝6（个） 9÷2≈4（个） 6×4＝24（个） 最多能剪24个这样的圆片。 故答案为：A 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）看图填空。        圆的半径＝( )         圆的直径＝( )      圆的直径＝( ) 直径＝( )              半径＝( )        半径＝( ) 【答案】 1.8cm 6cm 7cm 3.6cm 3cm 3.5cm 【思路点拨】（1）圆心到圆上的距离即为半径，再根据直径＝半径×2求出直径； （2）第二个图形为方中圆，即圆的直径就等于正方形的边长，再根据半径＝直径÷2求出半径； （3）梯形的高即为半圆的半径，再根据直径＝半径×2求出直径。 【规范解答】第一个图圆的半径是1.8cm，圆的直径＝1.8×2＝3.6（cm）； 第二个图圆的直径是6cm，圆的半径＝6÷2＝3（cm）； 第三个图圆的半径是3.5cm，圆的直径＝3.5×2＝7（cm）。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）看图在括号里填上合适的数。 圆的直径＝（    ）； 正方形的周长＝（    ）。 圆的直径＝（    ）； 梯形的上底＝（    ）； 梯形的高＝（    ）。 【答案】6，24；8，8，4 【思路点拨】第一个图形是方中圆，圆的直径等于正方形的边长，用直径＝2×半径求得直径长度，然后再根据正方形周长＝4×边长求出正方形的周长； 第二个图形的半径为4，根据直径＝2×半径可以求得直径长度，直径长度即为此梯形的上底，梯形的高即为圆的半径。 【规范解答】3×2＝6（cm） 4×6＝24（cm） 所以，圆的直径为6cm，正方形的周长为24cm； 4×2＝8（cm） 所以，圆的直径为8cm，梯形的上底为8cm，梯形的高为4cm。 考点二：画圆 【典例精讲】（22-23六年级上·安徽淮北·期末）画一个以O为圆心，直径为4cm的圆。 【答案】图见详解 【思路点拨】用圆规画圆的方法： ①把圆规的两脚分开，定好两脚间距离，直径为4cm，则半径为2cm； ②把有针尖的一只脚固定O点上； ③带有铅笔的那只脚绕点旋转一周，即可得到一个指定直径是4cm的圆。 【规范解答】4÷2＝2（cm） 作图如下： 【变式演练01】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）请以线段为半径在下面用圆规画圆，并用字母标注出圆心、半径和直径。 【答案】见详解 【思路点拨】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】 【变式演练02】（23-24六年级上·广东清远·期末）请你画一个半径为2cm的圆，并用字母O、r标出圆心和半径。 【答案】见详解 【思路点拨】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以O为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。用字母O、r标出圆心和半径。 【规范解答】 【考点评析】本题考查了画圆的方法以及学生的动手操作的能力。画圆有两要素：圆心、半径。 【变式演练03】（2021六年级上·辽宁·专题练习）根据要求画圆，分出半径和直径。 用圆规画一个直径为3cm的圆和一个半径为1cm的圆，使它们的圆心在同一条直线上，且让两个圆紧挨着。 【答案】见详解 【思路点拨】解答此问题可分两种思路：小圆在大圆之外，先画一条长为1＋3÷2＝2.5（cm）的线段，再分别以线段的两个端点为圆心，半径分别为1cm和1.5cm画圆，同理小圆在大圆之内，先画一条长为1.5cm的线段，以一端为圆心，半径为1.5cm画圆，在线段上距离线段另一个端点1cm处为圆心，半径为1cm画圆。以上两种情况只画一种即可。 【规范解答】根据分析画图如下： 【考点评析】此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题。 考点三：与圆有关的轴对称图形 【典例精讲】（22-23六年级上·广东湛江·期末）圆与环形都有无数条对称轴。( ) 【答案】√ 【思路点拨】因为圆和圆环都是轴对称图形，且经过圆心的直线就是其对称轴，而经过圆心可以画出无数条这样的直线，所以圆和圆环就有无数条对称轴。 【规范解答】由分析可知，圆与环形都有无数条对称轴说法正确； 故答案为：√ 【变式演练01】（16-17六年级上·辽宁阜新·期末）如图，在一个圆里画一个最大的正方形，圆的直径是正方形的（    ）。 A．边长 B．对角线 C．周长 【答案】B 【思路点拨】在圆内画最大的正方形，即在圆上画两条互相垂直的直径，然后把与圆相交的四个点顺次连接起来就是得到的最大的正方形，由此可知两条互相垂直的圆的直径即是圆的对称轴，也是圆内最大的正方形的对称轴，也是正方形的对角线；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，如图在一个圆里画一个最大的正方形，圆的直径是正方形的对角线。 故答案为：B 【考点评析】本题考查圆的直径与圆内画最大正方形的对角线的关系。 【变式演练02】（23-24六年级上·河南驻马店·阶段练习）画出下列图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【思路点拨】依据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可进行解答。 【规范解答】画图如下： 。 【考点评析】本题主要考查对称轴的画法及数量。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）下面的图形是轴对称图形吗？画出轴对称图形的2条对称轴。 【答案】都是轴对称图形；图见详解 【思路点拨】轴对称的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；据此解答。 【规范解答】图形都是轴对称图形。 如图： 考点四：欣赏与设计 【典例精讲】（20-21六年级上·四川甘孜·期末）根据对称轴画出轴对称图形的另外一半。 【答案】见详解 【思路点拨】左图先确定上面圆的圆心，以1格为半径画出圆的另一半，再确定下面圆的圆心，以2格为半径画出圆的另一半；右图先确定中间两个小圆的圆心，以2格为半径画出圆的另一半，确定大圆的圆心，以4格为半径画出圆的另一半，据此解答。 【规范解答】画图如下： 【考点评析】画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握轴对称图形的作图方法是解答题目的关键。 【变式演练01】（22-23六年级上·辽宁·单元测试）下面的图案漂亮吗？照样子画一画。 【答案】见详解 【思路点拨】测量图中圆的半径，确定中间圆的圆心，画出该圆外面最小的正方形，以正方形的四个顶点为圆心画出半径相等的四个圆，把外面圆与中间圆重合的部分涂为阴影部分，最后擦掉中间的正方形，据此解答。 【规范解答】 【考点评析】画图时确定圆心和半径是解答题目的关键。 【变式演练02】（22-23六年级上·辽宁·课时练习）在下面的图形中涂上颜色，设计出你喜欢的图案。 【答案】见详解 【思路点拨】涂色之前，先根据所学的平移、旋转或对称的知识，想一想打算设计出什么样的图案，根据自己的喜好进行涂色，设计成自己喜欢的图案，若要涂满，最好用不相同的颜色进行区分。 【规范解答】如图： （答案不唯一） 【考点评析】本题主要考查学生动手操作能力和审美观念，以及平移、旋转、对称的知识。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）你能看懂下面两组图的意思吗？你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路点拨】（1）观察图形可知，把正方形不断旋转可以形成圆形，运用了直线包络画圆的方法。这些正方形的中心点即是旋转中心，而圆上的点都是到旋转中心的距离处处相等的点的集合。 （2）从等边三角形、正方形，到正六边形、正八边形……，可以发现：正多边形的边数越多，越接近圆形。 【规范解答】通过分析可得： （1）把正方形不断旋转可以形成圆形，圆上的点都是到旋转中心的距离处处相等的点的集合。 （2）正多边形的边数越多，越接近圆形。 基础达标练 1．下面关于直径的说法：①通过圆心的线段；②两端都在圆上的线段；③圆内最长的直线；④圆的任意一条对称轴；⑤任意两条半径相连；⑥周长与圆周率的比值，其中正确的有（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【规范解答】解：①通过圆心的线段，两端不在圆上的线段不是直径，原题说法错误； ②两端都在圆上，不通过圆心的线段不是直径，原题说法错误； ③直径是圆内最长的线段，原题说法正确； ④对称轴是直线，直径是线段，说法错误； ⑤任意两条半径相连，原题说法错误； ⑥周长与圆周率的比值不是固定数，是近似于圆的直径，原题说法错误。 故答案为：A。 【思路点拨】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；直径是线段；直径是圆的对称轴所在的线段；据此解答。 2．（2023六上·化州期中）在下边的长方形里面画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（　　）厘米。 A．7 B．15 C．3.5 D．7.5 【答案】C 【规范解答】解：7<15，7÷2=3.5，所以圆规两脚间的距离是3.5cm。 故答案为：A。 【思路点拨】在长方形中画圆时，当长方形的长大于宽时，以长方形的宽为直径；当长方形的长小于宽时，以长方形长为半径。 3．（2023六上·南和月考）下面三幅图中能用3：2表示的是（　　）。 A． B． C． 【答案】A 【规范解答】解：A项：两个圆的直径之比=3：2； B项：两个正方形的面积比=（3×3）：（2×2）=9：4； C项：两个正方体的体积比=（3×3×3）：（2×2×2）=27：8。 故答案为：A。 【思路点拨】A项：两个圆的直径之比=大圆的直径：小圆的直径； B项：两个正方形的面积比=（大正方形的边长×边长）：（小正方形的边长×边长）； C项：两个正方体的体积比=（大正方的棱长×棱长×棱长）：（小正方的棱长×棱长×棱长）。 4．（2024六上·定州期末）在一个边长是10厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是　 　厘米，圆和正方形组成的图形有　 　条对称轴。 【答案】10；4 【规范解答】解：圆的直径是10厘米；圆和正方形组成的图形有4条对称轴。 故答案为：10；4。 【思路点拨】在正方形中画一个最大的圆，圆的直径=正方形的边长； 如图所示：，所以圆和正方形组成的图形有4条对称轴。 5．（2024六上·象山月考）如图，长方形中有三个大小相同的圆，圆的直径是　 　cm，长方形的周长是　 　cm。 【答案】4；32 【规范解答】解：圆的直径：12÷3=4（cm）； 长方形周长：（12+4）×2=32（cm）。 故答案为：4；32。 【思路点拨】长方形的长包括3个直径的长度，因此用12除以3即可求出圆的直径。圆的直径就是长方形的宽，然后根据长方形周长公式计算周长。 6．（2023六上·七星关月考）如图所示，圆的半径是　 　cm， 其中一个圆的面积是　 　cm2。 【答案】4；50.24 【规范解答】解：12÷3=4（cm） 3.14×42 =3.14×16 =50.24（cm2） 故答案为：4；50.24。 【思路点拨】观察图可知，长方形的长是圆半径的3倍，已知长方形的长，可以求出圆的半径，要求圆的面积，应用公式：S=πr2。 7．（2024六上·天台期末）利用圆规和三角尺，在下面的图案中任选一个并画出来。 要求：画出的图案与原图案大小、形状相同，保留画图过程。 【答案】解：。 【思路点拨】根据图形的特征用尺规作图即可。 8．（2024六上·宝安期末）按要求画图并计算。 （1）先画出一个长为3cm、宽为2cm的长方形。 （2）在画出的长方形内，再画出一个最大的半圆。 （3）算一算，这个半圆的周长是多少厘米？ 【答案】（1） （2） （3）解：3×3.14÷2+3 ＝4.71+3 ＝7.71（cm） 答：这个半圆的周长是7.71厘米。 【思路点拨】（1）长方形的对边平行且相等，四个角是直角，由此可以先画一个直角，分别截取3cm为长，2cm为宽，然后做平行线，截取相同的长度，即可得到长方形； （2）在一个长方形内画一个最大的半圆，半圆的直径是长方形的长，据此作图； （3）半圆的周长=圆的周长÷2+直径。 9．（2024六上·黔江期末） 在如图的网格图中按要求画图。（每个小正方形的边长表示1厘米） （1）以点O为圆心，画一个半径是3厘米的圆。 （2）在（1）中所画的圆里画一个圆心角是90°的扇形，并将所画扇形涂色。 （3）画一个周长是18厘米的长方形，其长与宽的比是2∶1。 【答案】（1）解：如图 （2）解：如图： （3）解：如图： ​​​​​​ 【思路点拨】(1)以点O为圆心，以3格长度为半径用圆规画圆即可； (2)每个小方格都是正方形，所以以点O为顶点的小正方形，相邻的两条边所在的半径即可画出圆心角是90°的扇形，并涂色即可； (3)周长是18厘米，那么长宽之和就是18÷2=9(厘米)，长宽比是2：1，所以长方形的长=9×=6(厘米)，长方形宽=9×=3(厘米)，据此画出长方形。 10．（2023六上·威县月考）劳动课上，彤彤用不同的圆制作蜗牛。彤彤在下图的一个长方形纸中剪下来两个圆（如图），大圆半径是小圆半径的2倍，已知这个长方形纸的长是12厘米，这个长方形纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：小圆直径：12÷（1+2） =4 （厘米） 长方形宽：4×2=8 （厘米） 面积：12×8=96 （平方厘米） 答：这个长方形纸的面积是96平方厘米。 【思路点拨】大圆半径是小圆半径的2倍，那么大圆的直径是小圆的直径的2倍，所以小圆的直径=长方形的长÷小圆的直径和大圆的直径占的份数和，长方形的宽=大圆的直径=小圆的半径×2，所以长方形纸的面积=长×宽，据此代入数值作答即可。 11．（2023六上·南和月考）南湖自然公园由三个相连的湖泊组成（如图），镜湖、青羽湖和莲湖的直径分别是400米、600米和300米。镜湖的圆心处有一座小岛A，莲湖的圆心处有一座小岛B，求A、B两座小岛之间的距离是多少米？ 【答案】解：400÷2+600＋300÷2 =200＋600＋150 =800＋150 =950（米） 答：A、B两座小岛之间的距离是950米。 【思路点拨】A、B两座小岛之间的距离=镜湖的直径÷2＋青羽湖的直径＋莲湖的直径÷2。 能力拔高练 12．下列关于圆的说法正确的是（ ）。 A．半径确定圆的位置 B．圆是轴对称图形 C．圆周率是周长与半径的比值 D．圆的对称轴是直径 【答案】B 【规范解答】解：选项A，圆心确定圆的位置，即说法错误； 选项B，圆是轴对称图形，说法正确； 选项C，圆周率=圆的周长÷圆的直径，所以圆周率是周长与直径的比值，即说法错误； 选项D，圆的对称轴是圆的直径所在的直线，即说法错误。 故答案为：B。 【思路点拨】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，据此即可判断选项A； 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，即可判断选项B； 圆的周长=圆周率×圆的直径（2×圆的半径），即可得出圆周率、圆的周长以及圆的直径之间的关系，即可判断选项C； 圆的直径是线段，圆的对称轴是直线，即可判断出选项D。 13．（2019六上·麻城期末）在一个长20dm，宽7dm的硬纸板里剪直径为7dm的半圆，最多能剪（　　）个。 A．2 B．4 C．5 【答案】C 【规范解答】解：7÷7=1（个），20÷7≈2.5（个），2.5×1×2=5（个），最多能剪5个这样的半圆。 故答案为：C。 【思路点拨】直径是7dm，沿着宽剪刚好能剪出一个整圆，沿着长剪能剪出2.5个整圆，一个整圆可以剪出两个半圆，所以用2.5×1×2即可求出剪出半圆的个数。 14．（2023六上·雷州月考）有一张边长为8厘米的正方形纸，乐乐在这张纸上剪了4个同样大小的圆(如右图)，这4个圆的面积之和占这张纸的　 　%。 【答案】78.5 【规范解答】解：8÷2÷2 =4÷2 =2（厘米） （3.14×22×4）÷（8×8） =50.24÷64 =78.5%。 故答案为：78.5。 【思路点拨】这4个圆的面积之和占这张纸的百分率=圆的面积×4÷正方形的面积；其中，圆的面积=π×半径2，正方形的面积=边长×边长。 15．（2021六上·揭阳期中）在一个长16厘米，宽12厘米的长方形纸片内剪下半径为2厘米的圆，最多可剪　 　个。 【答案】12 【规范解答】解：直径：2×2=4（厘米）； （16÷4）×（12÷4） =4×3 =12（个） 故答案为：12。 【思路点拨】先求出圆的直径，然后用长方形的长和宽分别除以直径，再把两个商相乘即可求出剪出圆的个数。 16．（2019六上·武昌期末）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取　 　个直径是2分米的圆形铁板． 【答案】11 【规范解答】解：根据以上分析知：可截取圆的个数是：4+4+3＝11（个），所以最多能截11个直径是2分米的圆形铁板。 故答案为：11。 【思路点拨】在10分米、宽5分米的长方形铁板上，上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形（上下两行共4个圆形之间可以切出一个2分米的圆形，共有3个）。所以，应该可以切4+4+3＝11个。据此作答即可。 17．动手画一画。 第1步：画出4条直径把圆平均分成8份。 第2步：分别以8条半径为直径画8个小圆。 第3步：把8个小圆涂上你喜欢的颜色。 【答案】解：第1步：画出的图形如下： 第2步：如图所示： 第3步：如图所示： 【思路点拨】第1步，先将圆平均分成4份，接下来再将每一份平均分成2份即可； 第2步，第1步即可得出8条半径，接下来找出8条半径的中点，接下来以这个中点为圆心，以半径的一半为半径画圆，第1步中分得8条半径上均画上圆； 第3步，将画出的8个圆分别给它涂上自己喜欢的颜色即可得出答案。 18．（2023六上·南和月考）一张长方形红色纸片的长是24厘米，宽是18厘米。李老师准备从上面剪下半径是3厘米的圆形纸片做花瓣，她最多能剪下多少张这样的圆形纸片？ 【答案】解：3×2=6（厘米） （24÷6）×（18÷6） =4×3 =12（张） 答：她最多能剪下12张这样的圆形纸片。 【思路点拨】她最多能剪下这样圆形纸片的张数=（长方形红色纸片的长÷圆形纸片的直径）×（长方形红色纸片的宽÷圆形纸片的直径）。 19．下图是两张圆形纸片，大圆形纸片的直径是小圆形纸片直径的3倍，小圆形纸片的半径是1.5厘米。如果大圆形纸片不动，小圆形纸片沿着大圆形纸片滚动一周后，形成的大圆的半径是多少厘米？ 【答案】解：1.5×3+1.5×2 =4.5+3 =7.5（厘米） 答：形成的大圆的半径是7.5厘米。 【思路点拨】大圆形纸片的直径是小圆形纸片直径的3倍，那么大圆的半经就是小圆的3倍，即大圆的半经=小圆的半经×3，形成大圆后，大圆形纸片的半经+小圆形纸片的直径，其中直径=半经×2。 20．（2020六上·西城期末）在学习了“圆”的知识后，某同学用圆规和直尺设计了一个图案（如图所示）． （1）用圆规和直尺将该同学的设计图案画在方格纸上． （2）该同学设计的图案中，空白部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）解：设计如下： （2）解： 小圆的半径＝8÷2÷2＝2（厘米） 正方形的面积是有2个底是4厘米高是2厘米的三角形面积组成， （4×2÷2）×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 空白部分的面积 3.14×22﹣8 ＝12.56﹣8 ＝4.56（平方厘米） 答：空白部分的面积是4.56平方厘米。 【思路点拨】（1）首先以4cm为半径画半圆；然后，以垂直于半圆直径的半径的中点为圆心，以半圆的半径为直径画圆；最后在小圆内做两条互相垂直的直径，然后顺次连接这两条直径的各端点，形成所要求的正方形。 （2）首先求出正方形的面积，正方形由两个三角形拼合而成，故先求出三角形面积，然后正方形面积=三角形面积×2。再求出小圆的面积，小圆的面积=πr²。最后，空白部分面积=小圆的面积-正方形的面积。 21．（2019六上·龙泉驿期末）画图并按要求填空。 下图中有甲、乙两个大小相同的圆，甲圆中的直径被平均分成了两份，乙圆中的直径被平均分成了三份。 （1）画一画。 请在甲圆中分别以AB和BC为直径画两个小圆；请在乙圆中分别以DE、EF、FG为直径画三个小圆。 （2）填一填，甲圆中的两个小圆周长之和与乙圆中三个小圆周长之和的比是　 　。 （3）填一填，甲圆中的两个小圆面积之和与乙圆中三个小圆面积之和的比是　 　。 【答案】（1）解： （2）1：1 （3）3：2 【规范解答】（2）假设甲、乙两个圆的直径为12，则甲中两圆的半径为12÷4=3，直径为12÷2=6； 乙图中圆的半径为12÷6=2，直径为12÷3=4； 甲圆中的两个小圆周长之和 ：3.14×6×2 =3.14×12 =37.68； 乙圆中三个小圆周长之和 ：3.14×4×3 =3.14×12 =37.68； 甲圆中的两个小圆周长之和与乙圆中三个小圆周长之和的比=37.68：37.68=1：1； （3） 甲圆中的两个小圆面积之和 ：3.14×32×2 =3.14×9×2 =3.14×18 =56.52； 乙圆中三个小圆面积之和：3.14×22×3 =3.14×4×3 =3.14×12 =37.68； 甲圆中的两个小圆面积之和与乙圆中三个小圆面积之和的比=56.52：37.68=3：2。 故答案为：（2）1：1；（3）3：2。 【思路点拨】（1）确定圆心的位置和半径的长度，画圆即可； （2）根据圆的周长=π×直径，代入数值计算分别求出甲圆中的两个小圆周长之和与乙圆中三个小圆周长之和，再化成最简的整数比即可； （3）根据圆的面积=πr，代入数值计算分别求出 甲圆中的两个小圆面积之和与乙圆中三个小圆面积之和，再化成最简的整数比即可。 22． （1）下图的图案你会画吗？请在空白长方形中画一个。 （2）你能求出这个图案的周长吗？ 【答案】（1） （2）解：由4个 半径为3cm的圆弧组成：4× ×π·d=3.14×6=18.84（cm） 【思路点拨】（1）以任一点为圆心，以3cm为半径画一个半圆，然后以这个圆的圆心到半圆的一个端点的半径为一边向圆弧方向做正方形；最后以与这个圆心相对的正方形的顶点为圆心，以3cm为半径向正方形内部画四分之一圆。以同样的方法做出另一个花瓣形。 （2）这个图形每一个圆弧都是相同的四分之一个圆，4个这个样的圆弧构成了要给完整的圆的周长。圆的周长=2r。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$