（新知衔接）专题06 分数的混合运算（二）（新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年北师大版小学数学五升六年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题06 分数的混合运算（二） （新知讲练+高频易错点+四考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 5 考点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 9 考点03：分数除法相关的简便计算 14 考点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 18 基础达标练 20 能力拔高练 26 1.结合具体情境，会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义。 2.会用分数混合运算解决实际问题，发展应用意识。 3.体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用，并能应用运算律进行运算。 条件：第一天成交50辆，第二天成交量比第一天增加了。第二天的成交量是多少辆？ 你能提出什么问题？ 思考01：第二天的成交量是多少辆呢？说说你是如何思考的 可汽车的成交量怎么可能是 辆呢？ 第二天的成交量是（50+）辆。 思考02：“增加了 ”你是怎样理解的?与同伴说说你的想法。 把第一天的成交量看作单位“1”，平均分成5份，增加的部分相当于这其中的一份。 根据线段图中找出等量关系。 第二天的成交量＝第一天的成交量＋增加的辆数 第二天的成交量=第一天的成交量×（1+） 50×（1+） =50 × =60( 辆）答：第二天的成交量是60辆。 “求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的解题关键是找准单位“1”。 小结：比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量±单位“1”的量×几分之几 比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量×(1±几分之几)。 六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的，男生有多少人？ 读一读，说说已知什么？求什么？ 学习任务：画图表示出男生和女生的人数关系。 先算女生有多少人。 40－40× =40－16 =24( 人）答：男生有24人。 先算男生占全班人数的几分之几。 40×（1－） =40 × =24( 人）答：男生有24人。 算一算，说说你有什么发现。 运用了乘法结合律 运用了乘法分配律 知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算： 确定基数A。确定增减的分数（例如）。 如果要求比A多的数，则计算 A + A ×；如果要求比A少的数，则计算 A - A ×。 知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 :整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。 交换律：a × b = b × a（其中a和b都是分数）。 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分数）。 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分数）。 知识点03：分数除法相关的简便计算 分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分数，且b不为0）。 此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。 知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 :这个知识点主要考察的是对分数应用题的理解。假设我们知道总量为T，其中一部分的分率为p（以分数形式表示），那么这一部分的量就是 T × p。要求另一部分的量，我们可以用总量T减去已知部分的量，即 T - T × p。 易错知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 理解错误：学生可能不理解“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致计算方向错误。 计算错误：在计算增加或减少的部分时，学生可能会忘记乘以基数，或者计算错误。 易错知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 定律混淆：学生可能会混淆交换律、结合律和分配律，导致计算错误。 分数乘法计算错误：在进行分数乘法时，学生可能会忘记约分，或者计算错误。 易错知识点03：分数除法相关的简便计算 忘记转换为乘法：学生可能会忘记将分数除法转换为乘法进行计算。 计算错误：在转换为乘法后，学生可能会忘记乘以除数的倒数，或者计算错误。 易错知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 理解错误：学生可能不理解题目中的“总量”和“一部分分率”的含义，导致计算方向错误。 计算错误：在计算已知部分或未知部分时，学生可能会忘记乘以总量或分率，或者计算错误。 考点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 【典例精讲】（23-24六年级上·广东湛江·期末）六（1）班男生人数比女生人数多，下面的数量关系表示正确的是（    ）。 A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【思路点拨】“男生人数比女生人数多”表示把女生看作单位“1”，平均分成6份，男生人数是女生人数的（1＋），男生有7份；一共有13份，据此判断每个选项即可。 【规范解答】①女生有6份，男生有7份，符合题意； ②女生有5份，男生有6份，不符合题意； ③女生有6份，男生有7份，符合题意； ④全班有13份，女生占6份，男生占7份，符合题意； 所以数量关系表示正确的是①③④。 故答案为：D 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·课后作业） （1）画图表示三人体重之间的关系。 （2）小刚和小明的体重分别是多少千克？算一算。 【答案】（1）见详解 （2）小刚42千克；小明30千克 【思路点拨】（1）先画一条线段表示小华的体重，把它平均分成5份，小刚的体重比小华多一份，据此画出表示小刚体重的线段； 再把小华的体重平均分成7份，小明的体重比小华少一份，据此画出表示小明体重的线段； 并在线段图上标注信息和数据，完成表示三人体重之间关系的线段图。 （2）把小华的体重看作单位“1”，小刚比小华重，则小刚的体重是小华的（1＋），单位“1”已知，用小华的体重乘（1＋），求出小刚的体重。 把小华的体重看作单位“1”，小明的体重比小华轻，则小明的体重是小华的（1－），单位“1”已知，用小华的体重乘（1－），求出小明的体重。 【规范解答】（1）如下图： （2）小刚： 35×（1＋） ＝35× ＝42（千克） 小明： 35×（1－） ＝35× ＝30（千克） 答：小刚的体重是42千克，小明的体重是30千克。 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）夹克比防寒服便宜，夹克是多少元？ 【答案】160.8元 【思路点拨】把防寒服的价格看作单位“1”，夹克比防寒服便宜，则夹克的价格是防寒服的（1－），单位“1”已知，用防寒服的价格乘（1－），即可求出夹克的价格。 【规范解答】268×（1－） ＝268× ＝160.8（元） 答：夹克是160.8元。 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习） 【答案】淘气的体重是45千克；笑笑的体重是40千克 【思路点拨】（1）已知笑笑的体重是40千克，淘气比笑笑重，所以淘气的体重是笑笑的（1＋），把笑笑的体重看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用40×（1＋）即可求出淘气的体重； （2）已知淘气的体重是45千克，笑笑比淘气轻，所以笑笑的体重是淘气的（1－），把淘气的体重看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用45×（1－）即可求出笑笑的体重。 【规范解答】（1）40×（1＋） ＝40× ＝45（千克） 答：淘气的体重是45千克。 （2）45×（1－） ＝45× ＝40（千克） 答：笑笑的体重是40千克。 考点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）计算。 （1）    （2）   （3）   （4） （5）   （6）   （7）  （8） 【答案】（1）；（2）10.5；（3）；（4）5； （5）12.5；（6）；（7）；（8） 【思路点拨】（1）根据运算顺序，先计算括号里的除法，再计算括号外的除法； （2）根据乘法交换律，把式子转化为进行简算； （3）根据运算顺序，从左往右进行计算即可； （4）根据乘法分配律，把式子转化为进行简算； （5）根据运算顺序，先计算括号里的除法，再计算括号外的除法； （6）根据运算顺序，先计算乘法，再计算减法； （7）根据运算顺序，先计算括号里的减法，再计算括号外的乘法； （8）根据运算顺序，先计算乘法，再计算加法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝10.5 （3） ＝ ＝ （4） ＝ ＝1×5 ＝5 （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ （7） ＝ ＝ （8） ＝ ＝ 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说出运算顺序，再计算。                   【答案】26；50；； ；；56 【思路点拨】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法交换律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把98拆分为14×7，然后根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式演练02】（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                       【答案】13； 3；3 【思路点拨】，根据乘法分配律去括号即可简便运算； ，根据分数除法的计算方法，除以一个数等于乘这个数的倒数，即原式变为：，再根据乘法分配律即可简便运算； ，根据运算顺序，按照从左到右的顺序计算即可； ，根据运算顺序，先算括号里的加法，之后再按照除法的性质即可简便运算。 【规范解答】 ＝ ＝4＋9 ＝13 ＝ ＝ ＝×1 ＝ ＝ ＝3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）越野赛跑全程12千米，其中环山路段占，海滨路段占，其余的是公路路段。 （1）环山路段比海滨路段长多少千米？ （2）如果明年把赛跑全程延长，将是多少千米？ 【答案】（1）2千米；（2）17千米 【思路点拨】（1）把全程看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用全程的长度×即可求出环山路段的长度，用全程的长度×即可求出海滨路段的长度，然后用环山路段的长度减去海滨路段的长度即可。 （2）把今年全程看作单位“1”，明年全程的长度是今年的（1＋），根据分数乘法的意义，用今年的长度×（1＋）即可求出明年全程的长度。 【规范解答】（1）12×－12× ＝12×（－） ＝12× ＝2（千米） 答：环山路段比海滨路段长2千米。 （2）12×（1＋） ＝12× ＝17（千米） 答：如果明年把赛跑全程延长，将是17千米。 考点03：分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                    【答案】；； 36； 【思路点拨】第一小题先去括号，括号里面的加法要变为减法，将0.75化为分数，运用加法的交换律、结合律可简便计算得出答案； 第二小题运用分数乘法的交换律、结合律，先计算、，最后作分数乘法得出答案； 第三小题可运用分数乘法的分配律展开括号，再进行分数乘法得出答案； 第四小题先将括号内的化为，计算分数减法，再运用分数除法运算法则计算得出答案。 【规范解答】 【变式演练01】（23-24六年级上·陕西西安·期末）脱式计算。 16÷÷                （1÷－）×0.75 【答案】80；； 【思路点拨】16÷÷，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算； ，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算； （1÷－）×0.75，先算除法，再算减法，最后算乘法。 【规范解答】16÷÷ ＝16÷（×） ＝16÷ ＝16×5 ＝80 （1÷－）×0.75 ＝（1×－）× ＝（－）× ＝× ＝ 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算下列各题。（能简算的要简算）                                      【答案】9； 4； 【思路点拨】（1）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先把除法转化成乘法，再根据乘法交换律a×b＝b×a进行简算。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 考点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 【答案】2.7吨 【思路点拨】将工业污水总吨数看作单位“1”，其中有经过处理，未经处理的污水占（1－），工业污水总吨数×未经处理的对应分率＝未经处理的污水吨数。 【规范解答】27×（1－） ＝27× ＝2.7（吨） 答：未经处理的污水有2.7吨。 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）一本故事书有140页，奇思已经看了这本书的，还剩多少页没有看？ 【答案】60页 【思路点拨】把这本书的总页数看作单位“1”，已知看了这本书的，则剩下这本书的（1－）没看，根据分数乘法的意义，用140×（1－）即可求出有多少页没看。 【规范解答】140×（1－） ＝140× ＝60（页） 答：还剩60页没有看。 【变式演练02】（21-22六年级上·广东湛江·期中）淘气要录入一份2400字的稿件，已经录入了。还剩多少字未录入？ 【答案】900字 【思路点拨】将稿件总字数看作单位“1”，已经录入了，还剩（1－）未录入，稿件总字数×未录入的对应分率＝未录入的字数，据此列式解答。 【规范解答】2400×（1－） ＝2400× ＝900（字） 答：还剩900字未录入。 【变式演练03】（23-24六年级上·陕西西安·期末）一根铁丝长10米，截去它的后，还剩( )米，如果截去米，还剩( )米。 【答案】 6 //9.6 【思路点拨】将铁丝长度看作单位“1”，截去它的后，还剩它的（1－），铁丝长度×还剩的对应分率＝还剩的长度；铁丝长度－截去的长度＝还剩的长度，据此列式计算。 【规范解答】10×（1－） ＝10× ＝6（米） 10－＝（米） 一根铁丝长10米，截去它的后，还剩6米，如果截去米，还剩米。 基础达标练 1．（2023六上·上思） 一根绸带长3米，先剪下它的的，再剪下米，还剩下（　　）米。 A．2 B．1.5 C．1 【答案】C 【规范解答】解：3-3×- =3-（＋） =3-2 =1（米）。 故答案为：C。 【思路点拨】还剩下的米数=这根绸带的总米数-这根绸带的总米数×先剪下的分率-再剪下的长度。 2．（2022六上·鹿城期末）下列问题不能用算式20×(1- )解决的是（　　）。 A．绳操社团购买绳子，绳子长20分米，用去，还剩多少分米 B．书法社团购买的毛笔每支原价20元，降价了，现价每支多少元 C．舞蹈社团人围爵士舞决赛有20人，男生占，那么女生有几人 D．劳动社团需要美化20m2展区．现在已经完成了，已经完成了多少m2 【答案】D 【规范解答】解：A：还剩 20×(1- ) 分米， 能用算式20×(1- )解决 ； B：现价每支20×(1- ) 元， 能用算式20×(1- )解决 ； C：女生有20×(1- ) 人， 能用算式20×(1- )解决 ； D：已经完成的面积是20× ， 不能用算式20×(1- )解决 。 故答案为：D。 【思路点拨】求比一个数少几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1-少的几分之几）；求一个数的几分之几是多少用乘法。 3．（2023六上·临平期中）下面说法中正确的有（　　）句。 ①计算（）×17× 12时可以用乘法分配律进行简算：②一个数乘假分数，积一定不小于这个数；③一台电视机先提价，再降价，则现价与原价一样：④若M×=N÷（M、N均不为0），则M> N。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【规范解答】解：①计算（）×17× 12时可以用乘法交换律和结合律简便计算；原来说法错误； ②一个数乘假分数，积一定不小于这个数；此选项正确； ③一台电视机先提价，再降价，则现价比原价低；此选项错误； ④若M×=N÷（M、N均不为0），则M> N。此选项正确。 故答案为：C。 【思路点拨】①运用乘法交换律和结合律，把分母是17的分数与17相乘，分母是12的分数与12相乘； ②如果这个数不是0且假分数大于1，则积大于这个数；如果这个数是0或者假分数等于1，则积等于这个数；所以积一定不小于这个数； ③把电视机的原价看作“1”，则现价：1×（1+）×（1-）=，所以现价比原价低； ④假设M×=N÷=1，则M=，N=，所以M＞N。 4．（2023六上·兴仁月考）一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，第二周修的更多。（　　）（判断对错） 【答案】错误 【规范解答】解：（1-）× =× = =，两周修的同样多。 故答案为：错误。 【思路点拨】第二周修的分率=（1-第一周修的分率）×余下的分率，然后比较大小。 5．（2023六上·漯河月考）一根长20米的绳子，剪去了它的，剩下米。（　　）（判断对错） 【答案】错误 【规范解答】解：1-=，剩下的占的分率是。原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路点拨】把绳子的总长度看作单位“1”，1-剪去的分率=剩下的分率；如果要求剩下的长度，用绳子的长度×（1-剪去的分率）即可得出。 6．（2023六上·惠阳月考）有200辆自行车，卖出，还剩　 　辆。 【答案】60 【规范解答】解：200×（1-）=60（辆），所以还剩60辆。 故答案为：60。 【思路点拨】还剩的辆数=一共有自行车的辆数×（1-卖出几分之几），据此代入数值作答即可。 7．（2023六上·惠来月考）实验小学四年级向希望小学捐书200本，五年级比四年级多捐，五年级捐书　 　本；四年级比六年级少捐，六年级捐书　 　本。 【答案】240；250 【规范解答】解：五年级：200+200×=200+40=240（本）； 六年级：200÷（1-）=200÷=250（本）。 故答案为：240；250。 【思路点拨】五年级捐书数为单位“1”，根据分数乘法的意义求出五年级比四年级多捐的本数，用四年级捐的本数加上五年级比四年级多捐的本数即可求出五年级捐的本数。以六年级捐的本数为单位“1”，四年级捐的本数是六年级的（1-），根据分数除法的意义求出六年级捐的本数。 8．（2023六上·榆林月考）某工厂9月计划生产电视机400台，结果第一周生产了原计划的，第二周生产了原计划的，第二周比第一周多生产了　 　台电视机。 【答案】25 【规范解答】解：400×（-） =400× =25（台） 故答案为：25。 【思路点拨】以总数为单位“1”，用第二周生产的分率减去第一周生产的分率求出第二周比第一周多生产的占总数的分率，然后根据分数乘法的意义求出第二周比第一周多生产的台数即可。 9．（2023六上·龙岗月考）用你喜欢的方法计算。 【答案】解：＋× =＋ = ×÷× =（÷）×（×） =1× = 12×（-）×7 =12××7-×7×12 =63-24 =39 【思路点拨】先算乘法，再算加法； 应用乘法交换律、乘法结合律简便运算； 应用乘法分配律简便运算。 10．（2023六上·榆林月考）看图列式计算。 （1） （2） 【答案】（1）解：104× +104 =65+104 =169（吨） （2）解：100×（1+ ） =100× =120（台） 【思路点拨】（1）用香蕉的重量乘求出苹果的重量，然后把香蕉和苹果重量相加求出总重量； （2）以冰箱的台数为单位“1”，电视机的台数是冰箱的（1+），根据分数乘法的意义求出电视机的台数即可。 11．（2024六上·惠来期末）一本书有120页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 【答案】解：120×＋120× =15＋70 =85（页） 答：两天一共看了85页。 【思路点拨】两天一共看的页数=这本书的总页数×小明第一天看的分率＋这本书的总页数×小明第二天看的分率。 12．（2023六上·期末）北京颐和园占地约300公顷，其中陆地面积相当于水域面积的，颐和园的陆地面积和水域面积分别是多少公顷？ 【答案】解：300÷（1+） =300÷ =300× =225（公顷） 225×=75（公顷） 答：水域面积是225公顷，陆地面积是75公顷。 【思路点拨】将水域面积看作单位“1”，则颐和园的总面积相当于水域面积的（1+），已知颐和园的总占地面积，颐和园总占地面积÷（1+陆地面积相当于水域面积的分率）=水域面积，水域面积×陆地面积相当于水域面积的分率=陆地面积。 13．（2023六上·杭州）只列式不计算 ①红旗小学有男生360人，女生人数是男生的，红旗小学有学生多少人？ 列式：　 　 ②农场有小牛40头，正好是大牛数量的，小牛比大牛少多少头？ 列式：　 　 ③做一套学生装用布米，现有布240米，用它的做学生装，可以做多少套？ 列式：　 　 ④修一段120千米的公路，由甲独修需8天，乙独修需10天。甲、乙合修3天可修这段公路的几分之几？ 列式：　 　 【答案】360×+360；40÷-40；240×；() ×3 【规范解答】解：①求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，然后把男、女生的人数相加，列式是：360×+360； ②大牛的头数未知，用除法计算，然后再相减，列式是：40÷-40； ③求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，然后再除以每套用布的米数，列式是：240×； ④1÷8= 1÷10= 3天修的分率是：（＋）×3。 故答案为：①360×+360；②40÷-40；③240×；④（＋）×3。 【思路点拨】①红旗小学有学生的人数=男生人数＋女生人数，其中，女生人数=男生人数×； ②小牛比大牛少的头数=大牛的头数-小牛的头数； ③可以做的套数=布的总米数×用去的分率÷平均每套用布的米数； ④甲、乙修3天可修这段公路的分率=工作效率的和×修的天数。 能力拔高练 14．（2023六上·黄岛期末）一箱梨15千克，第一周吃了箱，第二周吃了余下的，还剩（　　）千克。 A．1.5 B．4.5 C．10.5 【答案】B 【规范解答】解：15-15× =15-7.5 =7.5（千克） 7.5×=3（千克） 15-7.5-3 =7.5-3 =4.5（千克）。 故答案为：B。 【思路点拨】还剩下的质量=（一箱梨的总质量-第一周吃的质量-第二周吃的质量）；其中，第一周吃的质量=这箱梨的总质量×第一周吃的分率，第二周吃的质量=（一箱梨的总质量-第一周吃的质量）×吃的分率。 15．（2021六上·信阳月考）两根2米长的绳子，第一根用去米，第二根用去，剩下的绳子相比较，（　　） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 【答案】A 【规范解答】解：2-=（米） 2×（1-） =2× =（米） 米＞米，剩下的绳子第一根长。 故答案为：A。 【思路点拨】第一根剩下的长度=绳子的总长度-用去的长度；第二根剩下的长度=绳子的总长度×（1-用去的分率）。 16．（2020六上·泗洪期末）将一个长6厘米，宽4厘米的长方形长和宽各增加 ，新长方形的面积是原来长方形面积的（　　）。 A．1：2 B．9：4 C．3：2 【答案】B 【规范解答】解：新长方形的长=6+6× =6+3 =9（厘米）； 新长方形的宽=4+4× =4+2 =6（厘米）； 新长方形的面积：原来长方形面积=（9×6）：（6×4） =54：24 =9：4。 故答案为：B。 【思路点拨】新长方形的长（宽）=原来长方形的长（宽）×（1+增加的几分之几）；再根据长方形的面积=长×宽，分别计算出新长方形和原来长方形的面积，再进行相比即可得出答案。 17．（2023六上·巴州月考）《诗经》是中国古代最早的一部诗歌总集，共305篇。诗经在内容上分为《风》《雅》《颂》三个部分，其中《雅》占总篇数的，《风》与《颂》篇数的比为4：1，诗经中的《风》有　 　篇。 【答案】160 【规范解答】解：305×（1-） =305× =200（篇） 200÷（4＋1）×4 =200÷5×4 =40×4 =160（篇）。 故答案为：160。 【思路点拨】诗经中的《风》的篇数=《诗经》总篇数×（1-《雅》占的分率） ÷《风》与《颂》篇数的总份数×《风》占的份数。 18．（2021六上·南召期中）有一批5吨的救灾物资，第一次运走吨，此时还剩　 　吨，第二次运走剩下的，此时剩下　 　吨。 【答案】；3 【规范解答】解：5-=（吨） -× =- =3（吨）。 故答案为：；3。 【思路点拨】第一次运走后还剩下的吨数=一批救灾物资的总吨数-第一次运走的吨数；第二次运走后还剩下的吨数=第一次运走后还剩下的吨数-第一次运走后还剩下的吨数×第二次运走的分率。 19．（2020六上·巴彦淖尔期中）桃树的棵数比梨树少 ，这句话中，把　 　看作单位“1”.数量间的相等关系是　 　×　 　 =　 　 【答案】梨树的棵数；梨树的棵数；（1-）；桃树的棵数 【规范解答】 桃树的棵数比梨树少，这句话中，把梨树的棵数看作单位“1”，数量间的相等关系是梨树的棵数×（1-） = 桃树的棵数。 故答案为：梨树的棵数；梨树的棵数；（1-）； 桃树的棵数。 【思路点拨】桃树的棵数=梨树的棵数×（1-桃树的棵数比梨树少的比份）。 20．张华有180张画片，李明的画片张数比张华的 多一些、 少一些。李明最少有　 　张画片，最多有　 　张画片。 【答案】121；143 【规范解答】解：180×+1 =120+1 =121（张）， 所以李明最少有121张画片； 180×-1 =144-1 =143（张）， 所以李明最多有143张画片。 故答案为：121；143。 【思路点拨】李明最少有画片的张数=李明画片的总张数×+1；李明最多有画片的张数=李明画片的总张数×-1，代入数值计算即可。 21．甲、乙、丙三人共同购买一辆90000元的汽车，甲支付的钱是其余两人的，乙支付的钱是其余两人的，丙应该支付多少钱？ 【答案】解：90000×（1--） =90000× =3000（元） 答：丙应该支付3000元。 【思路点拨】甲支付的钱是三人的几分之几=，乙支付的钱是三人的几分之几=，所以丙应该支付的钱数=甲、乙、丙三人一共花的钱数×（1-甲支付的钱是三人的几分之几-乙支付的钱是三人的几分之几），据此代入数值作答即可。 22．（2023六上·哈尔滨月考）如图，长方形ABCD，点E在边BC上，CE的长度为4厘米，CD的长度为8厘米，BE的长度比CD的长度多。 （1）求长方形的周长。 （2）求图中阴影部分面积？ 【答案】（1）解：BE的长度是8×（1+） =8× =10（厘米） BC的长度10+4=14（厘米） 长方形的周长（14+8）×2 =22×2 =44（厘米） 答：长方形的周长是44厘米。 （2）解：14×8÷2=56（平方厘米） 答：图中阴影部分面积是56平方厘米。 【思路点拨】（1）求比一个数多几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1+多的几分之几）；长方形的周长=（长+宽）×2； （2）三角形面积=底×高÷2。 23．（2023六上·临漳月考）A、B相地相距1080米，甲、乙两人同时从两地相向而行， 6分钟相遇。已知甲的速度比乙的速度慢，相遇时，甲比乙少行多少米？ 【答案】解：1080÷6=180（米/分） 180×=80（米/分） 180×=100（米/分） （100-80）×6 =20×6 =120（米） 答：相遇时，甲比乙少行120米。 【思路点拨】甲的速度比乙的速度慢，把乙的速度看做5，甲的速度就是5-5×=4； 甲乙的速度比是4：5，甲占两人速度和的，乙占两人速度和的， 两人速度和×=甲的速度，两人速度和×=乙的速度， 甲乙两人的速度差×相遇时间=相遇时甲比乙少行的路程。 24．学校在六年级两个班开展古诗文诵读活动，要求每名学生购买一本单价为5元的《古诗文读本》，某书商给予学校大力支持，进行优惠销售。优惠方案：一次购买50本及50本以上，每本优惠；一次购买100本及100本以上，每本优惠。现在六(1)班有48人。六(2)班有49人准备购书。请你设计最佳购买方案，并算一算，按这种方案每人要付多少元钱？ 【答案】解：方案1： 48＋49＝97(本) 5×（1-）×97 =485× ＝436.5(元) 方案2： 5×（1-）×100 =500× ＝425(元) 436.5＞425 425÷97≈4.38(元) 答：最佳购买方案是买100本，每人要付约4.38元。 【思路点拨】方案一：原单价×（1－）=现单价，原单价× （1－）×数量=总价；方案二：原单价×（1－）=现单价，原单价× （1－）×数量=总价。据此关系式计算出两个方案的总价，比较两个方案的总价就可以得出哪个方案最佳，最后再根据总价÷数量=单价，算出每人要付多少钱。 25．水果店运来苹果、香蕉和梨共180筐，其中苹果的筐数是其他两种水果筐数和的，香蕉的筐数是其他两种水果筐数和的，梨有多少筐？ 【答案】解：180× =180×（1--） =180× ＝75(筐) 答：梨有75筐。 【思路点拨】根据题意把三种水果的总筐数看作单位“1”，那么苹果的筐数就是三种水果总筐数的，香蕉的筐数就是三种水果总筐数的，由此可以计算出梨的筐数是三种水果总筐数的1--；最后用三种水果总筐数乘上1--即可求出梨的筐数。 26．王叔叔体重80千克，过春节吃的好，运动少，体重增加了；春节过后，王叔叔经过锻炼，注意饮食，体重减少了。王叔叔现在的体重是多少千克？ 【答案】解：80×（1＋）×（1-） =80×× =88× =79.2（千克） 答：王叔叔现在的体重是79.2千克。 【思路点拨】王叔叔现在的体重=王叔叔原来的体重×（1＋春节时增重的分率）×（1-春节后减少的分率）。 27．社区工作者在端午节前夕开展“端午粽飘香”的活动，组织社区工作人员一共包了640个粽子，端午节当天发放给社区每家每户。上午发放了这些粽子的，下午比上午多发放，还剩下多少个粽子没有发放？ 【答案】解：640×＝160(个) 160×(1+) =160× ＝192(个) 640－160－192 =480-192 ＝288(个) 答：还剩下288个粽子没有发放。 【思路点拨】还剩下没有发放粽子的个数=社区工作人员一共包粽子的个数-上午发放粽子的个数-下午发放粽子的个数；其中，上午发放粽子的个数=社区工作人员一共包粽子的个数×上午发放的分率；下午发放粽子的个数=上午发放粽子的个数×（1＋多的分率）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分数的混合运算（二） （新知讲练+高频易错点+四考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 5 考点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 7 考点03：分数除法相关的简便计算 8 考点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 9 基础达标练 10 能力拔高练 10 1.结合具体情境，会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义。 2.会用分数混合运算解决实际问题，发展应用意识。 3.体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用，并能应用运算律进行运算。 条件：第一天成交50辆，第二天成交量比第一天增加了。第二天的成交量是多少辆？ 你能提出什么问题？ 思考01：第二天的成交量是多少辆呢？说说你是如何思考的 可汽车的成交量怎么可能是 辆呢？ 第二天的成交量是（50+）辆。 思考02：“增加了 ”你是怎样理解的?与同伴说说你的想法。 把第一天的成交量看作单位“1”，平均分成5份，增加的部分相当于这其中的一份。 根据线段图中找出等量关系。 第二天的成交量＝第一天的成交量＋增加的辆数 第二天的成交量=第一天的成交量×（1+） 50×（1+） =50 × =60( 辆）答：第二天的成交量是60辆。 “求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的解题关键是找准单位“1”。 小结：比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量±单位“1”的量×几分之几 比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量×(1±几分之几)。 六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的，男生有多少人？ 读一读，说说已知什么？求什么？ 学习任务：画图表示出男生和女生的人数关系。 算一算，说说你有什么发现。 知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算： 确定基数A。确定增减的分数（例如）。 如果要求比A多的数，则计算 A + A ×；如果要求比A少的数，则计算 A - A ×。 知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 :整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。 交换律：a × b = b × a（其中a和b都是分数）。 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分数）。 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分数）。 知识点03：分数除法相关的简便计算 分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分数，且b不为0）。 此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。 知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 :这个知识点主要考察的是对分数应用题的理解。假设我们知道总量为T，其中一部分的分率为p（以分数形式表示），那么这一部分的量就是 T × p。要求另一部分的量，我们可以用总量T减去已知部分的量，即 T - T × p。 易错知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 理解错误：学生可能不理解“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致计算方向错误。 计算错误：在计算增加或减少的部分时，学生可能会忘记乘以基数，或者计算错误。 易错知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 定律混淆：学生可能会混淆交换律、结合律和分配律，导致计算错误。 分数乘法计算错误：在进行分数乘法时，学生可能会忘记约分，或者计算错误。 易错知识点03：分数除法相关的简便计算 忘记转换为乘法：学生可能会忘记将分数除法转换为乘法进行计算。 计算错误：在转换为乘法后，学生可能会忘记乘以除数的倒数，或者计算错误。 易错知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 理解错误：学生可能不理解题目中的“总量”和“一部分分率”的含义，导致计算方向错误。 计算错误：在计算已知部分或未知部分时，学生可能会忘记乘以总量或分率，或者计算错误。 考点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少 【典例精讲】（23-24六年级上·广东湛江·期末）六（1）班男生人数比女生人数多，下面的数量关系表示正确的是（    ）。 A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·课后作业） （1）画图表示三人体重之间的关系。 （2）小刚和小明的体重分别是多少千克？算一算。 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）夹克比防寒服便宜，夹克是多少元？ 【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习） 考点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）计算。 （1）     （2）   （3）   （4） （5）    （6）   （7）  （8） 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说出运算顺序，再计算。                   【变式演练02】（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                            【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）越野赛跑全程12千米，其中环山路段占，海滨路段占，其余的是公路路段。 （1）环山路段比海滨路段长多少千米？ （2）如果明年把赛跑全程延长，将是多少千米？ 考点03：分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                    【变式演练01】（23-24六年级上·陕西西安·期末）脱式计算。 16÷÷                （1÷－）×0.75 【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算下列各题。（能简算的要简算）                                      考点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）一本故事书有140页，奇思已经看了这本书的，还剩多少页没有看？ 【变式演练02】（21-22六年级上·广东湛江·期中）淘气要录入一份2400字的稿件，已经录入了。还剩多少字未录入？ 【变式演练03】（23-24六年级上·陕西西安·期末）一根铁丝长10米，截去它的后，还剩( )米，如果截去米，还剩( )米。 基础达标练 1．（2023六上·上思） 一根绸带长3米，先剪下它的的，再剪下米，还剩下（　　）米。 A．2 B．1.5 C．1 2．（2022六上·鹿城期末）下列问题不能用算式20×(1- )解决的是（　　）。 A．绳操社团购买绳子，绳子长20分米，用去，还剩多少分米 B．书法社团购买的毛笔每支原价20元，降价了，现价每支多少元 C．舞蹈社团人围爵士舞决赛有20人，男生占，那么女生有几人 D．劳动社团需要美化20m2展区．现在已经完成了，已经完成了多少m2 3．（2023六上·临平期中）下面说法中正确的有（　　）句。 ①计算（）×17× 12时可以用乘法分配律进行简算：②一个数乘假分数，积一定不小于这个数；③一台电视机先提价，再降价，则现价与原价一样：④若M×=N÷（M、N均不为0），则M> N。 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2023六上·兴仁月考）一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，第二周修的更多。（　　） 5．（2023六上·漯河月考）一根长20米的绳子，剪去了它的，剩下米。（　　） 6．（2023六上·惠阳月考）有200辆自行车，卖出，还剩　 　辆。 7．（2023六上·惠来月考）实验小学四年级向希望小学捐书200本，五年级比四年级多捐，五年级捐书　 　本；四年级比六年级少捐，六年级捐书　 　本。 8．（2023六上·榆林月考）某工厂9月计划生产电视机400台，结果第一周生产了原计划的，第二周生产了原计划的，第二周比第一周多生产了　 　台电视机。 9．（2023六上·龙岗月考）用你喜欢的方法计算。 10．（2023六上·榆林月考）看图列式计算。 （1） （2） 11．（2024六上·惠来期末）一本书有120页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 12．（2023六上·期末）北京颐和园占地约300公顷，其中陆地面积相当于水域面积的，颐和园的陆地面积和水域面积分别是多少公顷？ 13．（2023六上·杭州）只列式不计算 ①红旗小学有男生360人，女生人数是男生的，红旗小学有学生多少人？ 列式：　 　 ②农场有小牛40头，正好是大牛数量的，小牛比大牛少多少头？ 列式：　 　 ③做一套学生装用布米，现有布240米，用它的做学生装，可以做多少套？ 列式：　 　 ④修一段120千米的公路，由甲独修需8天，乙独修需10天。甲、乙合修3天可修这段公路的几分之几？ 列式：　 　 能力拔高练 14．（2023六上·黄岛期末）一箱梨15千克，第一周吃了箱，第二周吃了余下的，还剩（　　）千克。 A．1.5 B．4.5 C．10.5 15．（2021六上·信阳月考）两根2米长的绳子，第一根用去米，第二根用去，剩下的绳子相比较，（　　） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 16．（2020六上·泗洪期末）将一个长6厘米，宽4厘米的长方形长和宽各增加 ，新长方形的面积是原来长方形面积的（　　）。 A．1：2 B．9：4 C．3：2 17．（2023六上·巴州月考）《诗经》是中国古代最早的一部诗歌总集，共305篇。诗经在内容上分为《风》《雅》《颂》三个部分，其中《雅》占总篇数的，《风》与《颂》篇数的比为4：1，诗经中的《风》有　 　篇。 18．（2021六上·南召期中）有一批5吨的救灾物资，第一次运走吨，此时还剩　 　吨，第二次运走剩下的，此时剩下　 　吨。 19．（2020六上·巴彦淖尔期中）桃树的棵数比梨树少 ，这句话中，把　 　看作单位“1”.数量间的相等关系是　 　×　 　 =　 　 20．张华有180张画片，李明的画片张数比张华的 多一些、 少一些。李明最少有　 　张画片，最多有　 　张画片。 21．甲、乙、丙三人共同购买一辆90000元的汽车，甲支付的钱是其余两人的，乙支付的钱是其余两人的，丙应该支付多少钱？ 22．（2023六上·哈尔滨月考）如图，长方形ABCD，点E在边BC上，CE的长度为4厘米，CD的长度为8厘米，BE的长度比CD的长度多。 （1）求长方形的周长。 （2）求图中阴影部分面积？ 23．（2023六上·临漳月考）A、B相地相距1080米，甲、乙两人同时从两地相向而行， 6分钟相遇。已知甲的速度比乙的速度慢，相遇时，甲比乙少行多少米？ 24．学校在六年级两个班开展古诗文诵读活动，要求每名学生购买一本单价为5元的《古诗文读本》，某书商给予学校大力支持，进行优惠销售。优惠方案：一次购买50本及50本以上，每本优惠；一次购买100本及100本以上，每本优惠。现在六(1)班有48人。六(2)班有49人准备购书。请你设计最佳购买方案，并算一算，按这种方案每人要付多少元钱？ 25．水果店运来苹果、香蕉和梨共180筐，其中苹果的筐数是其他两种水果筐数和的，香蕉的筐数是其他两种水果筐数和的，梨有多少筐？ 26．王叔叔体重80千克，过春节吃的好，运动少，体重增加了；春节过后，王叔叔经过锻炼，注意饮食，体重减少了。王叔叔现在的体重是多少千克？ 27．社区工作者在端午节前夕开展“端午粽飘香”的活动，组织社区工作人员一共包了640个粽子，端午节当天发放给社区每家每户。上午发放了这些粽子的，下午比上午多发放，还剩下多少个粽子没有发放？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$