第04讲 勾股定理的应用（二）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 勾股定理的应用（二）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 【例1】（2023秋•万州区期末）如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•姜堰区期末）如图，有一长方体容器，，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行路程是　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（2023秋•嵩县期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　　米． 【变式3】（2023秋•龙岗区校级期末）如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 　　． 【变式4】（2023秋•峡江县期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为，，两点的距离为．若螳螂想吃掉在点的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【变式5】（2023秋•洛阳期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从点爬行到点，求它走的最短路径是多少？ 经典题型汇编 题型一．平面展开-最短路径问题 1．（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　 A．12 B．15 C．18 D．21 2．（2023秋•清新区期中）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　． 3．（2023秋•红古区期中）如图，正方体的棱长为，已知点与点间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 　　． 4．（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•淅川县期末）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 　　； （2）求该金属丝的长． 6．（2023秋•未央区校级月考）今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用打印机制作了一个底面周长，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？ 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 2．（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 4．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高（　　）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 7．（23-24·山东威海·期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 8．（20-21八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为（）米    A．7 B． C． D． 10．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 二、填空题 11．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    12．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有 千米． 13．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 14．（20-21八年级上·福建三明·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是 m． 15．（23-24八年级上·江苏常州·期中）将一根长为75cm的木棒放入长、宽、高分别是50cm、40cm、40cm 的箱子中（如图），能放进去吗?答： （填“能”或“不能”）．    16．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，尺，尺，则的高为 尺． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为 m．    18．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 三、解答题 19．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面的点处折断倒下，旗杆顶部点落在离旗杆底部点处，旗杆折断之前有多高？ 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    22．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 23．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 24．（22-23八年级上·四川眉山·期末）如图，有一圆柱形物体高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端内侧距上底的点处有一苍蝇，求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长． 25．（22-23八年级上·江苏·周测）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 26．（23-24八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理的应用（二）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 【例1】（2023秋•万州区期末）如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B． C． D． 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长， 【解答】解：如图， 它运动的最短路程． 故选：． 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案． 【变式1】（2023秋•姜堰区期末）如图，有一长方体容器，，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行路程是　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】分三种情况，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图1，， 如图2，， 如图3，， ， 点爬到点的最短爬行路程是10． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题，我们将此类复杂题目转化为用勾股定理解答的题目就很好理解了． 【变式2】（2023秋•嵩县期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　　米． 【分析】解答此题要将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为6米． 于是最短路径为：米． 故答案为： 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 【变式3】（2023秋•龙岗区校级期末）如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 　10　． 【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 底面圆周长为， ， 又， 在中，． 故答案为：10． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 【变式4】（2023秋•峡江县期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为，，两点的距离为．若螳螂想吃掉在点的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【分析】把这段树干看作圆柱，根据题意画出沿高展开图形，进而得出最短路径即可． 【解答】解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从处将它展开如下： 则即为所求的最短距离． 其中，， 在中，． 答：螳螂绕行的最短路程是． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键． 【变式5】（2023秋•洛阳期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从点爬行到点，求它走的最短路径是多少？ 【分析】连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可． 【解答】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点爬到点 处，在侧面展开图上， 则在中，，，， 由勾股定理知：， 若小虫在正面和侧面上沿直线从点爬到点 处，在侧面展开图上， 则在中，，，， 由勾股定理知：， 如图3， 同法可求， ， 小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点爬到点 处，最短路径为． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论． 经典题型汇编 题型一．平面展开-最短路径问题 1．（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　 A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：如图所示： 连接，则即为所用的最短细线长， ，， 由勾股定理得：， 则， 故选：． 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2．（2023秋•清新区期中）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　． 【分析】将三级台阶展开为平面图形如图所示，再根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示， 则的长即为它爬行的最短路程， 由勾股定理得，， 它爬行的最短路程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理的应用，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 3．（2023秋•红古区期中）如图，正方体的棱长为，已知点与点间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 　　． 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将正方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图1， ， 如图2， ， 答：需要爬行的最短距离为， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 4．（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）　　 A． B． C． D． 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开， 作关于的对称点， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 5．（2022秋•淅川县期末）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 　　； （2）求该金属丝的长． 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）因为圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：； （2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为10，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 6．（2023秋•未央区校级月考）今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用打印机制作了一个底面周长，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？ 【分析】将圆柱沿着经过点的母线剪开，根据“两点之间，线段最短”结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：将圆柱沿着经过点的母线剪开，如图所示， 根据“两点之间，线段最短”可知， 当装饰带沿着和时，所需长度最短． 因为圆柱的底面周长为，高为， 所以，． 在中， ， 同理可得，， 则， 所以装饰带的长度最短为． 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，熟知圆柱的侧面展开图是解题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 2．（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 【答案】A 【分析】利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用，把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．圆柱形花器内容下的花茎最长时，花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高， ∴， ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度， ∴． 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为． 故选：B． 5．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方，求出斜边的长，进而可求出树折断之前的长度． 【详解】解：有勾股定理得：∵， ∴（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：D． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过B点作于点E，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意可知，大树高，小树高为， 过B点作于点E，连接， 则四边形是矩形， ， ， 在中， ， 即小鸟至少飞行， 故选：A． 7．（23-24七年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中， ． ∴． 解方程，得． 答：旗杆的长为12米． 故选：B． 8．（20-21八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先将圆柱展开，根据题意求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高，底面圆半径为， ∴， 根据勾股定理得：， 即爬行的最短路程是， 故选：A． 9．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为（）米    A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记勾股定理是解题关键． 在中，由米，米，根据勾股定理求出的值；根据题意可以分析出，的数量关系；在中，应用勾股定理求出的长度最后应用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，    在中，米，米， 在中米 故小巷长为米 故选∶C． 10．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键． 【详解】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A， 由题意得，，(海里)，(海里)， 由勾股定理得，OA(海里)， ∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)． 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，根据即可列出方程． 【详解】解：作，如图所示：    ， ∵ ∴ 故答案为： 12．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有 千米． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是理解题意；由题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：离出发点的距离为（千米）， ∴这时它离出发点有13千米； 故答案为：13． 13．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 14．（20-21八年级上·福建三明·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是 m． 【答案】20 【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可． 【详解】解：，，， ， 即，两点间的距离是． 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏常州·期中）将一根长为75cm的木棒放入长、宽、高分别是50cm、40cm、40cm 的箱子中（如图），能放进去吗?答： （填“能”或“不能”）．    【答案】能 【分析】本题考查了勾股定理的应用．连接、，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后与比较大小即可． 【详解】解：如图，连接、，    由题意得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 能放进去， 故答案为：能． 16．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，尺，尺，则的高为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到关于的方程，求出的长． 【详解】解：尺，尺， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为 m．    【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用．直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 即梯子的顶端距地面为， 故答案为：2． 18．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 三、解答题 19．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面的点处折断倒下，旗杆顶部点落在离旗杆底部点处，旗杆折断之前有多高？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    【答案】此时轮船离A地60海里 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【答案】 【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 22．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】游人在小时内撤离才可脱离危险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算；再根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】解：，， 在中，根据勾股定理，得， 则台风中心经过小时从移动到点； 如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在小时内撤离才可脱离危险． 23．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】距离为73米，速度为24米/秒 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵，则，， ∴在中，， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为3秒， ∴轿车的速度是（米/秒）. 24．（22-23八年级上·四川眉山·期末）如图，有一圆柱形物体高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端内侧距上底的点处有一苍蝇，求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长． 【答案】蜘蛛所走的最短路线的长度是． 【分析】本题考查了有关最短路径的问题，熟练掌握勾股定理，把立体图形展开成平面图形，找出最短路径是解答本题的关键． 根据题意，先展开圆柱的侧面，即是长方形，根据蜘蛛在外侧，苍蝇在内测，利用两点之间线段最短，分析得到即为所求，然后利用勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，如图将圆柱形玻璃容器的侧面展开，线段是蜘蛛由到的最短路程． ，， ． 即蜘蛛所走的最短路线的长度是． 25．（22-23八年级上·江苏·周测）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 26．（23-24八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$