专题2-3 高一下期末常考汇总【高一全部内容12类题型】- 2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习核心题型突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一下学期期中期末复习核心题型突破 专题2-3 高一下期末常考题型汇总训练 总览 题型解读 【题型1】不等式 1 【题型2】函数小题（单调性，奇偶性，周期，对称性，恒成立，分段函数） 5 【题型3】指对函数实际应用（小题） 10 【题型4】三角恒等变换（诱导公式，二倍角，拆角与凑角） 12 【题型5】向量（坐标运算，模长，夹角，投影，拆分，极化恒等式） 16 【题型6】立体几何小题（命题判断，锥体台体，线面角，范围，动点，截面） 21 【题型7】概率小题（相互独立，古典概型） 29 【题型8】 三角函数图像问题（求解析式，对称性，周期，值域，平移与伸缩） 33 【题型9】解三角形（周长面积，中线，角平分线，取值范围） 43 【题型10】函数大题 52 【题型11】立体几何大题 60 【题型12】统计与概率大题 75 模块一 选择填空重点题型 【题型1】不等式 一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 二、 “1”的妙用 乘“1”法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 三、 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 1． （2023高一下·广东深圳·期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以，故D错误. 故选：C. 2． （2022高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【详解】解：对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 3． （2021高一下·广东深圳·期末）已知实数满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断 【详解】解：对于A，因为，所以，所以，所以A错误， 对于B，因为， 所以， 所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以C错误， 对于D，当时，，所以D错误， 故选：B 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】 【巩固练习2】下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 【巩固练习3】已知且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8 【巩固练习4】（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确 【题型2】函数小题（单调性，奇偶性，周期，对称性，恒成立，分段函数） 类型一：已知函数的奇偶性求解析式、求值 使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式． 解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x； 第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围； 第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式． 类型二：解奇函数不等式 先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 类型三：解偶函数不等式 利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制 类型四：由分段函数的单调性与最值求参数范围 函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： 1 在上单调递减；②在上单调递减；③． 4． （2022高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断； 【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以，因为是偶函数，所以， 所以， 所以， 函数图象如下所示： 可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确； 由，，即存在实数满足，故D正确； 故选：ACD． 5． （2023高一下·广东深圳·期末）用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（    ） A． B．为奇函数 C．，使得 D．方程所有根的和为 【答案】AD 【分析】代入计算判断A，根据奇函数性质判断B，根据的定义对函数作差判断C，根据求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D. 【详解】对于A，，正确； 对于B，举反例，当时，， 而，所以， 故函数不是奇函数，错误； 对于C，根据的定义，可知对，有， 所以， 所以，错误； 对于D，即，所以，即， 又，所以，解得， 当时，满足方程，即是方程的根， 当时，，方程化为，解得， 故方程所有根的和为，正确. 6． （2021高一下·广东深圳·期末）（多选）已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，令，，，在同一坐标系作出函数图象求解. 【详解】因为， 令，，， 记与交点纵坐标为m，与交点纵坐标为t，      当y＝t时，A正确； 当y＝m时，B错误； 当t ＜y＜m时，C正确 当y＜t时，D正确 故选：ACD 7． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集. 【详解】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 【巩固练习1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 【巩固练习2】已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可. 【详解】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数； ，即，则，即，， 也即，解得. 故选：A. 【巩固练习3】定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【答案】 【分析】根据为R上的奇函数且为减函数，可得出对任意的恒成立，这样求出的最小值，从而可得出的取值范围. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又因在R上单调递减， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 设，对称轴， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 【巩固练习4】已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 【巩固练习5】已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称， ∴时，的最小值为，最大值为， 可得值域为， 又∵，， ∴为单调增函数，值域为， 即， ∵，，使得， ∴，解得：． 【题型3】指对函数实际应用（小题） (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． 8． （2021高一下·广东深圳·期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】构造指数函数模型，计算即可. 【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为，则， 经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： 经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 【巩固练习1】实验开始时某物质的含量为，每经过1小时，该物质的含量都会减少．若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段．实验进入第二阶段至少需要（    ）小时．（需要的小时数取整数，参考数据：，） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由已知列不等式，利用对数式的运算求解. 【详解】依题意，需要的小时数为，有，即， 两边取10为底的对数，得，得， 所以实验进入第二阶段至少需要8小时. 【巩固练习2】党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（    ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】从年起，第该企业人均增加收入超过元，求出第年的人均增加收入，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】从年起，第该企业人均增加收入超过元， 因为从年起，每年将在此基础上以的增长率增长， 所以，第年该企业的人均增加收入为元，由，即， 可得，所以，， 故年开始，该企业每年人均增加收入开始超过元. 【巩固练习3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的进度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ）（结果取整数，参考数据：，） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则， 即， 由于在定义域上单调递减， 所以， ∴他至少经过8小时才能驾驶. 【题型4】三角恒等变换（诱导公式，二倍角，拆角与凑角） 1、和差公式 ①； ②； ③； 要注意的是： 2、二倍角公式 要注意的是有3种表达形式，要结合题目其他式子，选择出合适的那一个 3、二倍角公式变形 完全平方式： 扩角降幂：（可用二倍角公式推导） 4、辅助角公式 ，其中，且与在同一象限 5、解题策略： （1）若题目中出现了角的和差结构比如，一般不拆括号，先尝试进行配凑 （2）对于这类式子，若和在同一象限，则有； 若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有， 若是在三，四象限，则有，所以不能直接去掉sin，要先看和之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到. （3）角的配凑：对于一个题目的条件中出现了多个带括号的角，可以考虑进行换元，优化式子结构 （4）角的拆分：①，②，③ ④，⑤，注意 特殊的角也看成已知角， （5）齐次化：若题目中给了角的tan值，可以尝试把所求的式子齐次化再同除cos 9． （2023高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于的二次齐次式，再化为，代入求值. 【详解】. 故选：A． 10． （2022高一下·广东深圳·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以， 所以 11． （2021高一下·广东深圳·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于化简可得，再由可得的值，从而可求出的值 【详解】解：，， ，. ，. . 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式求出，再利用同角公式计算得解. 【详解】由，得，解得， 两边平方得，所以. 【巩固练习2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解. 【详解】由题意可得：. 【巩固练习3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】设，则，， 所以， 所以. 【巩固练习4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定角度范围得到，变换，展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 可得， 所以 . 【巩固练习5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据，结合二倍角公式和诱导公式即可求解. 【详解】因为，则， 所以 【巩固练习6】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 模块二 解答题重点题型 【题型5】向量（坐标运算，模长，夹角，投影，拆分，极化恒等式） 一、向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． （2）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （3） （4）若，则 向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 二、投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 三、用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 四、极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 12． （2023高一下·广东深圳·期末）在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案. 【详解】由题意，，化简得， 即，则， 故选：A. 13． （2022高一下·广东深圳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为，，且， 所以，解得； 故选：D 14． （2021高一下·广东深圳·期末）已知向量，，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】，，，又因为，所以. 15． （2023高二下·广东深圳·期末）已知，若，则（    ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】运用平面向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得：. 16． （2022高二下·广东深圳·期末）如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可 【详解】因为为的中点，且为边上的中线，故，故 17． （2023高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可. 【详解】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 【巩固练习1】已知向量的方向相同，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理求解即可. 【详解】因为向量的方向相同，所以， 则，解得， 当时，向量的方向相同； 当时，向量的方向相反； 故 【巩固练习2】已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，， 所以向量在方向上的投影向量为. 【巩固练习3】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 【题型6】立体几何小题（命题判断，锥体台体，线面角，范围，动点，截面） 一、求台体体积可以用体积公式或者割补法 名称 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 体积 表面积 二、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 三、平行与垂直相关命题的判断 1、平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 2、垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 四、球的相关计算（表面积与体积以及球的截面问题） 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 18． （2023高一下·广东深圳·期末）已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（    ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】C 【分析】对于由线面平行的性质定理即可判定；对于,可利用排除的思想； 对于,根据条件可直接判定或者与相交，错误； 对于，通过构造平面，利用平面与平面所成角的大小即可判定. 【详解】对于由线面平行的性质定理可知正确； 对于,，，或者，又则，故正确； 对于,由，，，则或者与相交或者异面，则不一定成立，故错误； 对于,若，，，则与一定不平行，否则有，与已知矛盾， 通过平移使与相交，设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为和所成的角， 又，所以与所成的角为，故正确. 19． 已知直线与平面，则能使的充分条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误； 对于B，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B错误； 对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误； 对于D，，存在直线，满足，又，， ，，D正确. 20． 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积. 【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：， 故答案为：. 21． （2023高一下·广东深圳·期末）母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为， 由题意，圆锥的母线长为，且其侧面展开图是圆心角为的扇形， 则底面周长为，解得， 则该圆锥的体积为. 故答案为：. 22． （2021高一下·广东深圳·期末）如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【分析】如图，取中点，连接、，利用，即可得就是直线与平面所成的角，解即可． 【详解】如图，取中点，连接、，则， ∵平面，平面， ，平面， ， 就是直线与平面所成的角， ，． 故答案为：． 23． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（    ）    A． B．三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D. 【详解】连接，如图所示，    直三棱柱中，， 为正方形，， ，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 设，，， ， ， ，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误； 当是的中点时，，，， ， ，， ，设点到平面的距离为，由， 得，， 直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为， 则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确. 【巩固练习1】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 【巩固练习2】（2023·广东广州·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于 cm，该印信的表面积等于 .    【答案】 【分析】求得印信棱数为24的多面体,其顶点是正方体各棱的中点，求得半正多面体的棱长，计算表面积. 【详解】一个棱数为24的印信有12个顶点，14个面； 正方体截去8个一样的四面体之后得到的印信，故其顶点是正方体各棱的中点． 印信的棱长为，则该印信的所有棱长之和等于; 印信是十四面体，共有14个面，8个正三角形6个正方形，则表面积为. 故答案为: ,. 【巩固练习3】（2023·重庆南开中学·期末）如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，可知直线与所成角即为直线与所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点， 连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以直线与所成角即为直线与所成角， ， 由正方体的性质可得：平面，平面， 所以平面，所以，， ，， ， 在中，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B.    【巩固练习4】（2023·广东广州·期末）如图，长方体木块中，，，E，F，G分别是线段，，DC的中点，平面上存在点P，满足平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而平面，又平面，则平面平面，可得，又，则点在上，所以点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面为，计算面积即可. 【详解】如图，连接， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又平面，，平面， ∴平面平面， 又平面平面，平面平面， ∴， ∵E，F分别是线段，的中点，∴，则点在上， ∴点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面为， ∵，的等腰三角形， 边上的高为， ∴． 【题型7】概率小题（相互独立，古典概型） 1、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 2、事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 3、互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 4、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 24． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 【答案】ACD 【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断. 【详解】解：事件A的基本事件有：， 事件B的基本事件有： ， ，， 事件C的基本事件有： ， 事件AC的基本事件有： ， A.事件是必然事件，故正确； B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； C.因为，所以事件包含事件，故正确； D.因为，所以 ， 所以事件与事件是相互独立事件，故正确 25． （2022高一下·广东深圳·期末）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 . 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率 26． （2021高一下·广东深圳·期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为、、，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 . 【答案】 【分析】先求出三人都不中靶的概率，再由对立事件的概率公式即可求解. 【详解】甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为、、， 每人各射击一次，三人都不中靶的概率为， 所以三人中至少有一人中靶的概率为 【巩固练习1】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 【巩固练习2】（多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可. 【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、， 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生， 故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误； 事件包含的基本事件有、、， 事件包含的基本事件有， 当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥， 显然不对立，故B错误； 又事件包含的基本事件有，所以， 所以，故C错误； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 即事件、、两两独立，故D正确. 【巩固练习3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 模块二 解答题重点题型 【题型8】 三角函数图像问题（求解析式，对称性，周期，值域，平移与伸缩） 一、基本知识点 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 递增 递减 递增 递减 递增 对称中心 对称轴 周期 2π 2π π 二、对称性与周期 1.一般情况下，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。 2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。 3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。 4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。 5.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。 6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。 7、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． 8、求函数的对称轴的方法；令得，即三、对称中求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），引入辅助角，化为 （2），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （3），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． 心为 四、函数的平移 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先平移后伸缩． 方法二：．先伸缩后平移． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名 五、由函数图像求解析式 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在增区间还是在减区间)． 2 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 27． （2021高一下·广东深圳·期末）已知函数，则“”是“在处取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先通过辅助角公式化简函数解析式，再求出取得最大值时对应的，再从集合的包含关系角度判断充分必要性. 【详解】， 所以当，时，有最大值2； 所以“”是“在处取得最大值”的的充分不必要条件. 故选：A. 28． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， ，A正确； B项， ∵函数关于对称， ∴在中， ，解得：， 当时，，故B错误. C项， 在函数中，函数关于对称， 在中，，解得： 当时，，C正确； D项， 在函数中，函数在上单调递减， 在中，当函数单调递减时， ，解得：， ∴在上单调递减，在在上单调递增，D错误. 故选：AC. 29． （2022高一下·广东深圳·期末）（多选）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上的最大值为 C．图像的一个对称中心为 D．图像的一条对称轴为直线 【答案】AD 【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 其最小正周期为，A选项正确； 由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误； 令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误； 令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确； 故选：AD. 30． （2021深圳期末）（多选）把函数的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数图象的对称轴 C．函数在区间上的最小值为 D．点为函数的图象的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】由题意知，，再结合余弦函数的周期性、对称轴、对称中心和值域逐一判断选项的正误，即可． 【详解】解：由题意知，， 对于A，最小正周期，即选项A正确； 对于B，令，，则图象的对称轴为，，显然不符合，即选项B错误； 对于C，，，， 当，即时，，即选项C正确； 对于D，令，，则，， 图象的对称中心为，， 当时，图象的对称中心为，，即选项D正确. 31． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数，其中，且. (1)求；(2)若，求的值域. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）代入，即可求的值； （2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域. 【详解】（1），， 得； （2），，，当时，即，函数取得最小值， 当时，即，函数取得最大值，所以函数的值域是. 32． （2022高一下·广东深圳·期末）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的值；(2)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可； （2）整体法求解函数单调递减区间. 【详解】（1）由最小正周期公式得：，故， 所以，所以 （2）令， 解得：， 故函数的单调递减区间.是 【巩固练习1】（23-24高一下·北京·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）    A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据图象求出函数的解析式，由的图象变换规律，得出结论. 【详解】根据函数（其中，，）的部分图象， 可得，，解得， 再根据五点法作图可得，解得，故， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 经检验，其他选项都不正确. 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为最小正周期为且， 由可得， 故， 则． （2）由（1）知， 当时，，则， 故， ， 故在上的值域为． 【巩固练习3】（23-24高一下·广东·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1),(2) 【分析】（1）借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得； （2）由的范围，可得的范围，即可得函数的值域． 【详解】（1）的图象向左平移个单位长度得的图像， 再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图像； （2）设，由，得， 则，即在区间上的值域为． 【巩固练习5】（2023高一下·安徽芜湖·期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象，若，求函数的值域. 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据函数图象可得，，由图象和公式求得，由求得，即可求解； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域. 【详解】（1）根据函数图象可得，， ，， ，得，， 又，，， ，，得，， 又，， ； （2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， ， 当时，， 又函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即的值域为 【巩固练习6】（23-24高一下·广东江门）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间是， (3) 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可； （3）求出，通过的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可． 【详解】（1）由图象可知：，解得：，， 又由于，可得：，所以， 由图象知，，又因为， 所以，．所以． （2）由，，得，． 函数的单调递增区间是，． （3）依题可得，因为， 则，所以， 即的值域为． 【题型9】解三角形（周长面积，中线，角平分线，取值范围） 一、拆角与合角的技巧 1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， （2）， 二、辅助角公式：，注意：，且与在同一象限 三、周长与面积相关计算 完全平方公式与三角形周长与面积计算：，，知二求一. 注意：其中与周长有关，与面积有关，与余弦定理有关. 例：△ABC中，已知． （1）若，面积，求的周长 【简证】，， （2）若时，求的面积. 【简证】， 四、中线相关计算 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 五、角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC． 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法） ，得，注：为A到BC的距离，为D到AB，AC的距离． 证法2（正弦定理） ，，而，整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积得到等式 ，即 策略三：邻角互补： 六、最值问题 （1）结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 （2）与角度相关的最值问题 利用角度间的关系统一角度构造三角函数模型 （3）边化角求最值 利用正弦定理转为三角函数问题：适用于整体结构不对称或者角度有更细致的要求 （4）锐角三角形中求范围 一般通过构造三角函数模型求范围，注意锐三角形中对角度范围的限制 33． （2021高一下·广东深圳·期末）在中，角的对边分别为，. （1）求；（2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）利用三角形面积公式得到，再由余弦定理求出，即可求出三角形的周长； 【详解】解：（1）将展开得 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得因为， 所以 （2）根据余弦定理， 因为的面积为，所以 因为，所以，解得 的周长为 34． （2022高一下·广东深圳·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出； （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得，因为，所以 （2）解：因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 所以. 35． （2023高一下·广东深圳·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角； （2）根据条件结合余弦定理计算边，再代入面积公式计算即可. 【详解】（1）因为中，， 由正弦定理可得， 得， 因为，所以，因为，所以. （2）由余弦定理得， 因为，，所以，所以， 因为，所以，， 所以的面积为. 【巩固练习1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小；(2)若，，求三角形ABC的面积. (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化，即可结合恒等变换求解， （2）根据余弦定理，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理可得, 由于,故， 由于所以， （2）由余弦定理得， 所以， 所以 【巩固练习2】在内，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值；(2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角；（2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长. 【详解】（1）由，得 由正弦定理，得． ． ． 又，． 又，． 又，． （2）由（1）知， ① 又，故， ，② 又，由①②，得，故， ∴，故，周长为. 【巩固练习3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，求边BC的中线AD的长. 【答案】 【详解】因为,所以, 因为余弦定理得,又已知, 可得,即得.因为BC的中线AD,可得, . 【巩固练习4】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)设是边上一点，为角平分线且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）在中，，得到，再由为角平分线，得到，然后利用余弦定理求解. 【详解】（1）解：由正弦定理得， 即， 利用余弦定理可知， 因为，所以； （2）在中，， 所以， 即， 因为为角平分线，所以，所以， 由余弦定理，得， 则，因此． 【巩固练习5】记的内角的对边分别为，已知，， （1）求面积的最大值；（2）求周长的最大值. 【答案】(1)，(2)6 【详解】（1）由余弦定理，得，所以. 由基本不等式知，于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. （2）由余弦定理，得 可得周长最大值为6 【巩固练习6】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为的中点，求线段长度的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为D为AC的中点，所以，则， 由基本不等式得，等号成立当且仅当， 所以，. 故答案为：；. 【巩固练习7】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 【巩固练习8】（角对边型）在锐角中，， (1)求角A；(2)求的周长l的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解; （2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）∵， ， 所以， 所以， 因为，所以， ，所以. （2）， 所以, 所以，， 所以 , 因为是锐角三角形，且， 所以，解得，所以，所以，所以. 【题型10】函数大题 类型一：已知函数的奇偶性求参数 利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力 常见方法： （1）定义法 奇函数：；偶函数： （2）特殊值法 可以取0，±1这类比较好计算的特殊值 （3）函数性质法 ①为偶函数， ②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型 ③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. （4）定义域对称法 若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值 类型二：函数不等式恒成立问题与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 36． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 37． （2022高一下·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)若，求的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即可； （2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，所以， 即，则，符合题意， 又，即，即，即， 即，解得 （2）解：因为， 所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在恒成立， 等价于在上恒成立， 即在上恒成立，即，恒成立， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减，、， 所以，所以，即 【巩固练习1】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 【巩固练习2】已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；猜想函数为上单调递增函数 (2) 【分析】（1）由可求出的值，再根据指数的性质可猜想函数的单调性； （2）利用函数的单调性的定义，先证得为上单调递增，然后结合奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，得，经检验符合题意，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以猜想函数为上单调递增函数； （2）根据（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由函数为上单调递增的奇函数， ，即， 即， 则， 所以对任意实数恒成立， 当时，，显然成立； 当时，，解得， 综上可知，实数的取值范围是. 【巩固练习3】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 【巩固练习4】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上是减函数，答案见解析 (3) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数性质，列式求参数值，即可得答案； （2）将化为，结合指数函数单调性，即可得出结论； （3）结合函数奇偶性以及单调性，将原不等式化简为存在，成立，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以. 又因为，所以， 将代入，整理得， 当时，有，即， 又因为当时，有，所以，所以， 故，满足，符合题意， 所以，. （2）由（1）知：函数， 因为为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数 则函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数， 所以，所以， 令， 由题意可得，又因为， 所以，即的取值范围为. 【巩固练习5】已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若，，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可求解； （2）由，求出的取值范围，判断的单调性，根据的单调性和奇偶性脱去符号“”，参变分离后，求出函数的最小值即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，解得， 当时，，， 为上的奇函数， 故； （2）由（1）知， ，解得， 易知是上的单调递减函数， 又是定义在上的奇函数，由， 故，使得成立， 即，使得成立， ，当且仅当，即时等号成立， . 【题型11】立体几何大题 一、平行与垂直的证明 1、平行关系思维导图 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 2、垂直关系的判断与性质 线线垂直： （1）勾股定理逆定理 （2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直 （4）结合余弦定理得出直角 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 二、二面角与面面角 （1）二面角与面面角的区别：二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC， 则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 38． （2021高一下·广东深圳·期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥. （1）在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由； （2）在图2中求二面角的大小. 【答案】（1）存在，；（2）. 【分析】（1）在边上取点，使得，过作的平行线交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，再利用线面平行的判定定理证出即可. （2）记点在线段上射影为，过点作的垂线，垂足为，连接，得出为二面角的平面角，求即可. 【详解】解：（1）在边上取点，使得， 过作的平行线交于点，连接，. 且， 又且， 且， 故四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）如图，记点在线段上射影为，过点作的垂线， 垂足为，连接， ， ， ，则为二面角的平面角. 在矩形中，如图，，， ，，， 又，    ，  ， ， 则. 二面角的大小为. 39． （2022高一下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直； （2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值. 【详解】（1） 如图所示，取中点，连接， 是正三角形， 又平面平面，且平面平面， 平面，平面,， ，且， 平面； （2） 如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接， 设，，则， 由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角， 平面，， 则，， 解得：， 故，，且，即，解得，，， 又，所以平面，， ，且，即，解得，，， 所以点为线段的中点，故点也为线段中点， 所以，， 所以即为二面角的平面角， . 40． （2023高一下·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2)详见解析，. 【分析】（1）要证明平面平面ABC，只需利用线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解. 解法二：作出二面角的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值. 【详解】（1）因为点C在圆O上，,因此， 又，即，所以是等腰直角三角形， 由平面平面PBC，平面平面， 所以平面PBC，平面PBC，所以可得， 又，平面PAC，平面PAC，平面PAC， 又平面ABC，所以平面平面ABC； （2）取的中点，连接，如下图所示：    又点是的中点，所以，平面，平面，所以平面； 又是的中点，所以，平面，平面，所以平面； 平面，所以可知平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又平面，所以平面，又在平面内， 所以三点共线，即； 所以四边形为直角梯形，易知， 作于点，如下图所示：    则，，所以； 取的中点为，连接，作交于点，连接 由（1）可知平面，平面，所以， 又，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以； 所以即为二面角的平面角，也即的平面角； 在四边形中，交于点，如下图所示：    易知，，， 可得，所以； 又，所以； 即二面角的正切值为. 【巩固练习1】已知如图平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点.          (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理可求解； （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用二面角平面角的定义，结合三角形等面积法即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）如图所示，过点作，垂足为．         由（1）知，平面，因为平面， 所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由（1）知，平面，平面，所以， 在中，因为，， 所以， 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得. 所以与平面所成角的正弦值为.    （3）取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面. 所以，过点作，垂足为，连接，， ，平面，所以平面．平面， 所以，所以为二面角的平面角. 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面， 所以， 在中，， 由（2）知，，即，解得. 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为. 【巩固练习2】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． （2）取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． （3）取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【巩固练习3】已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②． 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直； （2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值. 【详解】（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为,，，平面，所以平面． （2）①过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面．因为平面，所以． ，所以平面， 所以就是与平面所成角的平面角． 由（1）知，平面，平面，所以． 在中，，，， 因为为的中点，所以． 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得． 所以与平面所成角的正弦值为． ②取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面． 所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得． 因为平面，平面，所以． 在中，． ， 所以二面角的平面角的余弦值为． 【题型12】统计与概率大题 一、事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 41． （2023高一下·广东深圳·期末）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.      (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率. 【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可； （2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数 ， 因为前三组的频率之和为， 第四组的频率为，， 所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x，则， 解得，所以第75百分数约为. （2）采用分层抽样的方法， 从技术参数唯一区间，，三组的产品中抽取6件产品， 则从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从这6件产品中任选3件产品，样本空间 ，则， 事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件， 1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件. 则 ，， 所以. 42． （2022高一下·广东深圳·期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体. 分组 频数 频率 15 0.15 40 0.40 30 0.30 10 0.10 5 0.05 合计 100 1.00 (1)根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比； (2)已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生的平均数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比； （2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，即可得解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图可知的频率为， 所以的频率为， 所以估计该校学生为肥胖的百分比为； （2）解：样本的的平均数为， 则， 解得， 所以估计样本中40名女学生的平均数. 50．（2021高一下·广东深圳·期末）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，（时间均在内），已知上述时间数据的第百分位数为. （1）求的值，并估计这位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人，求两个人来自不同组的概率. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）由题知，，进而解得，再估计平均数即可； （2）由题知抽取的个人中，来自第二组共有个人，第四组共有个人，再根据古典概型计算求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以； 又因为时间数据的第百分位数为， 所以，则， 于是， 所以平均值为； （2）由于第二组和第四组的频率之比为：， 那么分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有个人，设为，第四组共有个人，设为， 则从个人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个， 其中人来自不同组的事件有，，，，，，，共个， 故所求概率为. 【巩固练习1】某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：    组数 分组 人数 本组中“H族”的比例 1 200 0.6 2 300 0.65 3 200 0.5 4 150 0.4 5 0.3 6 50 0.3 (1)试补全频率分布直方图，并求与的值： (2)从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率. 【答案】(1)频率分布直方图见解析，， (2) 【分析】（1）求出第二组的频率，即可得到第二组小矩形高，从而补全频率分布直方图，由第一组的频率与频数求出总数，求出第五组的频率，即可求出； （2）按照分层抽样求出、内抽取的人数，再由列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）第二组的频率为， 所以第二组小矩形高为，补全后的频率分布直方图如下：    第一组的频率为，所以． 第五组的频率为，所以． （2）因为分钟的“H族”人数为， 分钟的“H族”人数为，二者比例为， 所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人． 设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q， 在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b， 则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab， 共15种不同的抽取方法， 事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种， 所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为． 【巩固练习2】第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解； （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为，得到第四组应抽取4人，第五组抽取2人，利用古典概型的概率求解； （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，由平均数公式和方差公式求解； 【详解】（1）解：设这人的平均年龄为， 则（岁； （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点． 分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点， 所以； （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10 【巩固练习3】树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.    (1)证明：； (2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5.2；4.7 (3)5.68 【分析】（1）利用平均数和方差计算公式结合完全平方运算化简即可证明； （2）利用平均数计算公式分别计算即可； （3）先求出总样本平均数，根据方差公式结合（1）中结论化简求解即可. 【详解】（1） ， 因为，， 所以，则； （2）因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值， 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为 ， 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为 ； （3）因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以， 估计树人中学学生课外运动时间的平均数为， . 试卷第6页，共18页 第1/84页 学科网（北京）股份有限公司 $$2023-2024学年高一下学期期中期末复习核心题型突破 专题2-3 高一下期末常考题型汇总训练【12类题型】 总览 题型解读 【题型1】不等式 1 【题型2】函数小题（单调性，奇偶性，周期，对称性，恒成立，分段函数） 3 【题型3】指对函数实际应用（小题） 5 【题型4】三角恒等变换（诱导公式，二倍角，拆角与凑角） 6 【题型5】向量（坐标运算，模长，夹角，投影，拆分，极化恒等式） 8 【题型6】立体几何小题（命题判断，锥体台体，线面角，范围，动点，截面） 11 【题型7】概率小题（相互独立，古典概型） 14 【题型8】 三角函数图像问题（求解析式，对称性，周期，值域，平移与伸缩） 16 【题型9】解三角形（周长面积，中线，角平分线，取值范围） 22 【题型10】函数大题 27 【题型11】立体几何大题 31 【题型12】统计与概率大题 41 模块一 选择填空重点题型 【题型1】不等式 一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 二、 “1”的妙用 乘“1”法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 三、 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 1． （2023高一下·广东深圳·期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（    ） A． B． C． D． 2． （2022高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3． （2021高一下·广东深圳·期末）已知实数满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【巩固练习2】下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【巩固练习3】已知且，则的最小值是 ． 【巩固练习4】（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】函数小题（单调性，奇偶性，周期，对称性，恒成立，分段函数） 类型一：已知函数的奇偶性求解析式、求值 使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式． 解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x； 第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围； 第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式． 类型二：解奇函数不等式 先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 类型三：解偶函数不等式 利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制 类型四：由分段函数的单调性与最值求参数范围 函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： 1 在上单调递减；②在上单调递减；③． 4． （2022高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 5． （2023高一下·广东深圳·期末）用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（    ） A． B．为奇函数 C．，使得 D．方程所有根的和为 6． （2021高一下·广东深圳·期末）（多选）已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 7． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【巩固练习4】已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】指对函数实际应用（小题） (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． 8． （2021高一下·广东深圳·期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍 【巩固练习1】实验开始时某物质的含量为，每经过1小时，该物质的含量都会减少．若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段．实验进入第二阶段至少需要（    ）小时．（需要的小时数取整数，参考数据：，） A．7 B．8 C．10 D．11 【巩固练习2】党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（    ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 【巩固练习3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的进度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ）（结果取整数，参考数据：，） A．7 B．8 C．10 D．11 【题型4】三角恒等变换（诱导公式，二倍角，拆角与凑角） 1、和差公式 ①； ②； ③； 要注意的是： 2、二倍角公式 要注意的是有3种表达形式，要结合题目其他式子，选择出合适的那一个 3、二倍角公式变形 完全平方式： 扩角降幂：（可用二倍角公式推导） 4、辅助角公式 ，其中，且与在同一象限 5、解题策略： （1）若题目中出现了角的和差结构比如，一般不拆括号，先尝试进行配凑 （2）对于这类式子，若和在同一象限，则有； 若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有， 若是在三，四象限，则有，所以不能直接去掉sin，要先看和之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到. （3）角的配凑：对于一个题目的条件中出现了多个带括号的角，可以考虑进行换元，优化式子结构 （4）角的拆分：①，②，③ ④，⑤，注意 特殊的角也看成已知角， （5）齐次化：若题目中给了角的tan值，可以尝试把所求的式子齐次化再同除cos 9． （2023高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10． （2022高一下·广东深圳·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11． （2021高一下·广东深圳·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 模块二 解答题重点题型 【题型5】向量（坐标运算，模长，夹角，投影，拆分，极化恒等式） 一、向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． （2）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （3） （4）若，则 向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 二、投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 三、用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 四、极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 12． （2023高一下·广东深圳·期末）在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 13． （2022高一下·广东深圳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．2 14． （2021高一下·广东深圳·期末）已知向量，，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 15． （2023高二下·广东深圳·期末）已知，若，则（    ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 16． （2022高二下·广东深圳·期末）如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（    ） A． B． C． D． 17． （2023高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【巩固练习1】已知向量的方向相同，则 . 【巩固练习2】已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【巩固练习3】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6】立体几何小题（命题判断，锥体台体，线面角，范围，动点，截面） 一、求台体体积可以用体积公式或者割补法 名称 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 体积 表面积 二、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 三、平行与垂直相关命题的判断 1、平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 2、垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 四、球的相关计算（表面积与体积以及球的截面问题） 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 18． （2023高一下·广东深圳·期末）已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（    ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 19． 已知直线与平面，则能使的充分条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 20． 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ． 21． （2023高一下·广东深圳·期末）母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 22． （2021高一下·广东深圳·期末）如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 23． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（    ）   A． B．三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【巩固练习1】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【巩固练习2】（2023·广东广州·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于 cm，该印信的表面积等于 .    【巩固练习3】（2023·重庆南开中学·期末）如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】（2023·广东广州·期末）如图，长方体木块中，，，E，F，G分别是线段，，DC的中点，平面上存在点P，满足平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为 ． 【题型7】概率小题（相互独立，古典概型） 1、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 2、事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 3、互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 4、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 24． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 25． （2022高一下·广东深圳·期末）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 . 26． （2021高一下·广东深圳·期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为、、，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 . 【巩固练习1】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【巩固练习2】（多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【巩固练习3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 模块二 解答题重点题型 【题型8】 三角函数图像问题（求解析式，对称性，周期，值域，平移与伸缩） 一、基本知识点 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 递增 递减 递增 递减 递增 对称中心 对称轴 周期 2π 2π π 二、对称性与周期 1.一般情况下，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。 2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。 3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。 4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。 5.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。 6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。 7、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． 8、求函数的对称轴的方法；令得，即三、对称中求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），引入辅助角，化为 （2），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （3），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． 心为 四、函数的平移 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先平移后伸缩． 方法二：．先伸缩后平移． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名 五、由函数图像求解析式 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在增区间还是在减区间)． 2 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 27． （2021高一下·广东深圳·期末）已知函数，则“”是“在处取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28． （2023高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递减 29． （2022高一下·广东深圳·期末）（多选）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上的最大值为 C．图像的一个对称中心为 D．图像的一条对称轴为直线 30． （2021深圳期末）（多选）把函数的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数图象的对称轴 C．函数在区间上的最小值为 D．点为函数的图象的一个对称中心 31． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数，其中，且. (1)求；(2)若，求的值域. 32． （2022高一下·广东深圳·期末）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的值；(2)求函数的单调递减区间. 【巩固练习1】（23-24高一下·北京·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）    A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数的最小正周期为． (1)求的值；(2)求在上的值域． 【巩固练习3】（23-24高一下·广东·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像． (1)求函数的解析式；(2)若，求函数的值域． 【巩固练习5】（2023高一下·安徽芜湖·期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象，若，求函数的值域. 【巩固练习6】（23-24高一下·广东江门）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【题型9】解三角形（周长面积，中线，角平分线，取值范围） 一、拆角与合角的技巧 1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， （2）， 二、辅助角公式：，注意：，且与在同一象限 三、周长与面积相关计算 完全平方公式与三角形周长与面积计算：，，知二求一. 注意：其中与周长有关，与面积有关，与余弦定理有关. 例：△ABC中，已知． （1）若，面积，求的周长 【简证】，， （2）若时，求的面积. 【简证】， 四、中线相关计算 策略一：倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 五、角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC． 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法） ，得，注：为A到BC的距离，为D到AB，AC的距离． 证法2（正弦定理） ，，而，整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积得到等式 ，即 策略三：邻角互补： 六、最值问题 （1）结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 （2）与角度相关的最值问题 利用角度间的关系统一角度构造三角函数模型 （3）边化角求最值 利用正弦定理转为三角函数问题：适用于整体结构不对称或者角度有更细致的要求 （4）锐角三角形中求范围 一般通过构造三角函数模型求范围，注意锐三角形中对角度范围的限制 33． （2021高一下·广东深圳·期末）在中，角的对边分别为，. （1）求；（2）若，的面积为，求的周长. 34． （2022高一下·广东深圳·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，. (1)求的值；(2)若，，求的值. 35． （2023高一下·广东深圳·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求；(2)若，，求的面积. 【巩固练习1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小；(2)若，，求三角形ABC的面积. 【巩固练习2】在内，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值；(2)若的面积为，，求的周长． 【巩固练习3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，求边BC的中线AD的长. 【巩固练习4】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)设是边上一点，为角平分线且，求的值． 【巩固练习5】记的内角的对边分别为，已知，， （1）求面积的最大值；（2）求周长的最大值. 【巩固练习6】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为的中点，求线段长度的取值范围． 【巩固练习7】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【巩固练习8】（角对边型）在锐角中，， (1)求角A；(2)求的周长l的范围. 【题型10】函数大题 类型一：已知函数的奇偶性求参数 利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力 常见方法： （1）定义法 奇函数：；偶函数： （2）特殊值法 可以取0，±1这类比较好计算的特殊值 （3）函数性质法 ①为偶函数， ②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型 ③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. （4）定义域对称法 若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值 类型二：函数不等式恒成立问题与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 36． （2023高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值；(2)当时，，求实数的取值范围. 37． （2022高一下·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)若，求的值；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习1】已知函数. (1)求不等式的解集；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习2】已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性；(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习3】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【巩固练习4】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【巩固练习5】已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若，，使得不等式成立，求的取值范围. 【题型11】立体几何大题 一、平行与垂直的证明 1、平行关系思维导图 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 2、垂直关系的判断与性质 线线垂直： （1）勾股定理逆定理 （2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直 （4）结合余弦定理得出直角 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 二、二面角与面面角 （1）二面角与面面角的区别：二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC， 则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 38． （2021高一下·广东深圳·期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥. （1）在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；（2）在图2中求二面角的大小. 39． （2022高一下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 40． （2023高一下·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值. 【巩固练习1】已知如图平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点.          (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值. 【巩固练习2】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【巩固练习3】已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 【题型12】统计与概率大题 一、事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 41． （2023高一下·广东深圳·期末）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.      (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率. 42． （2022高一下·广东深圳·期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体. 分组 频数 频率 15 0.15 40 0.40 30 0.30 10 0.10 5 0.05 合计 100 1.00 (1)根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比； (2)已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生的平均数. 50．（2021高一下·广东深圳·期末）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，（时间均在内），已知上述时间数据的第百分位数为. （1）求的值，并估计这位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人，求两个人来自不同组的概率. 【巩固练习1】某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：    组数 分组 人数 本组中“H族”的比例 1 200 0.6 2 300 0.65 3 200 0.5 4 150 0.4 5 0.3 6 50 0.3 (1)试补全频率分布直方图，并求与的值： (2)从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率. 【巩固练习2】第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【巩固练习3】树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.    (1)证明：； (2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 试卷第6页，共18页 第2/47页 学科网（北京）股份有限公司 $$