3.2.2 双曲线的简单几何性质（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第三章圆锥曲线的方程 随堂检测学以致用 答案见P L.“ab<0”是“方程a.x十by2=c表示双曲线”的 F,F2,点M在双曲线上，且MF⊥x轴，求点 F到直线F,M的距离. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2方程千m产1表示双自线则m的取值 范围是 A.(-2,2) B.(0,+∞) C.[0,+o∞) D.(-o∞，-2]U[2,+o∞) 3.(选)如果在双曲线中，a=5,c=7,那么该双 曲线的标准方程为 ( A员芳-1 c盖云 n号苏 4已知双商线若一苦-1的左，右焦点分别为 -3 提示完成P,课时作业（二十六） 3.2.2双曲线的简单几何性质 第一课时双曲线的简单几何性质 [学习目标]1.掌握双曲线的简单几何性质，培养数学运算的核心素养（重点），2.理解双曲线离心率的定义、取 值范国和渐近线方程，提升直观想象的被心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一 双曲线的性质 (续表) 范围 标准方程 到 总-希 对称性 对称轴：坐标轴：对称中心：原点 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 顶点坐标 A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a) 渐近线 y± 图形 离心率 e∈(1，十) a,b,c间的关系 (c>a>0,c>b>0) ·87· 数学选择性必修第一册课堂学案 >思考：如何用a,b表示双曲线的离心率？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 双曲线芳=1与芳 =1(a>0,b> 0)的形状相同 () 要点二 等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线，它的渐近线方 之)双曲兰线三一器 =1与x 0一存=1(a>0,b> 程是 0)的渐近线相同。 >思考：等轴双曲线的离心率为何值？ (3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围 相同。 () (4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实 轴及虚轴的交点， ( 关键能力素养提升 答案见P 探究一 由双曲线方程研究其几何性质 【变式1】求双曲线9.x2一16y2+144=0的实半轴 长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方 规律总结 程，并画出这个双曲线的草图。 由双曲线的方程研究几何性质：(1)把双曲线 方程化为标准形式是解决此类题的关键： (2)由标准方程确定焦，点位置，确定a,b的 值：(3)由2=a2十求出c的值，从而写出 双曲线的几何性质。 【例题1】求双曲线4.x2-y2=4的顶点坐标、焦点 坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线 方程，并作出草图. 探究二由双曲线的几何性质求标准方程 解题技巧 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的方程的 常用方法 一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线 方程；二是采用待定系数法，首先依据焦点的 位置设出标准方程的形式，再由题目条件确 定参数的值，当焦点位置不确定时，方程可能 有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏 解，为了避免讨论，也可设方程为m2一y 1(mm>0),从而直接求解. 88 第三章圆锥曲线的方程 【变式2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y=士”x的双曲线方程可设为 1)焦点在x轴上，虚轴长为8离心率为 y2 m n =λ（≠0，m>0,n>0):如果两条渐近 2)过点(2,0，与双曲线荒-若-1的离心 线的方程为Ax士By=0,那么双曲线的方程 率相等。 可设为Ax2一By=m(m≠0，A0,B>0). ②与双曲线后-芳=1或号- =1(a>0, a >0)共渐近线的双曲线方程可设为号- =入 号-a≠0. ③与双曲线5-￥=1(a>0,b>0)离心率相 等的双向线方程可设为后一芳 =1(入>0)或 =(入>0)，这是因为离心率不能确定 焦点位置 【例题2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两 顶点和中心四等分： (2)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(5,4). 探究三求离心率 规律总结 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a,c,则直接利用e=二得解. (2)若已知a6,可直接利用e一√1+（白）得解 (3)若得到的是关于a,c的齐次方程p2十 gac十ru2=0(p,q,r为常数，且p≠0).则转 化为关于e的方程pe2十ge十r=0求解. 89 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题3】设双曲线导一芳 =1(0<a<b)的焦距 【变式3】已知双曲线C:号-y=1o>0)的右焦 为2c,直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到 点为F,点A(0,一a),若双曲线的左支上存 直线1的距离为.则双曲线的离心率为 在一点P,使得|PA+|PF=7,则双曲线C 的离心率的取值范围是 ( A(1.] B.(1,3 A.2 C.4 c.+) D.[3,+∞ 随堂检测学以致用 答案见P 1.(9选)已知双曲线方程为x2一8y=32,则 3.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3， 一2)，且一条渐近线的倾斜角为否的双曲线的 A.实轴长为8√2 B.虚轴长为4 方程为 ( C.焦距为6 D.离心率为3y2 4 A营-y=1 B.r'- 31 2.过点P(2,-2)且与 一y=1有相同渐近线 c芳-=l n-苦-1 的双曲线方程是 ( ) 4.(2021·全国甲改编)已知F1,F2是双曲线C 的两个焦点，P为C上一点，且∠F,PF=60°， PF=3PF|,则C的离心率为 提示完成P课时作业（二十七） 第二课时 双曲线的方程及性质的应用 [学习目标]1.理解直线与双曲线的位置关系，培养逻辑推理的核心素养（重点）.2.会求解有关弦长问题，强化 数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一直线与双曲线位置关系的判断 L当-=0，即k=士名时，直线与双曲 设直线l:y=k.x十m(m≠0)， ① 线的 平行，直线与双曲线相交于 双曲线C话一若=1a>0.6>0. ② 一点 将①代人②，得(6-ak)x2-2amkx-a b.当-d20,即k≠士b时.△=(-2mk)y 6=0. 4(-dk)(-d2m-d), ·90· 第三章圆锥曲线的方程 △>0→直线与双曲线有 公共点，此时直 线与双曲线相交； 京Vy十为)-4y(k≠0). △=0→直线与双曲线有 公共点，此时直 辨析 线与双曲线相切： 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” △<0→直线与双曲线 公共点，此时直线 (1)过点A(1,0)作直线1与双曲线x2一y=1 与双曲线相离. 只有一个公共点，则这样的直线可作2条 要点二弦长公式 ( 设弦两端点的坐标分别为A(x1,),B(x (2)直线l:y=x与双曲线C:2.x一y2=2有两 ),直线的斜率为k, () 则弦长AB引=√（一2）+（一）P 个公共点。 (3)当直线与双曲线只有一个交点时，直线与 =√1十k一2 双曲线不一定相切 =√十k√(x1十x2)-4x.x， (4)直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置 或AB=√1+y- 关系。 关键能力素养提升 答案见P 探究一 直线与双曲线的位置关系 【变式1】已知双曲线-￥=1.过点P(1.1)的 规律总结 直线1与双曲线只有一个公共点，求直线！的 斜率k满足的条件」 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要 考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直 线与渐近线平行的特殊情况 (2)双曲线与直线只有一个公共，点的题目，应 分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线 与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论」 【例题1】已知双曲线x一y=4,直线l:y=k(x 1),则k为何值时，下列条件成立？ (1)直线！与双曲线有两个不同的公共点： (2)直线（与双曲线有且只有一个公共点： (3)直线1与双曲线没有公共点. 探究二弦长公式及中点弦问题 规律总结 双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中 类似.解决中，点弦问题常用判别式法和，点差 法，注意所求参数的取值范围 91 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题2】已知双曲线-兰=1，问过点A1,D 【例题3】已知A,B两地相距800米，一炮弹在某 处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处 能否作直线1，使I与双曲线交于P,Q两点， 迟2秒，设声速为340米/秒. 并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直 (1)爆炸点在什么曲线上？ 线（的方程：若不存在，说明理由. (2)求这条曲线的方程。 【变式2】过双曲线2-苦-1的左焦点工，作倾 斜角为的弦AB. (1)求|AB: (2)求AB的垂直平分线方程. 【变式3】若动圆P经过定点A(3,0),且与定圆 B:(x+3)2+y=16外切，试求动圆圆心P 的轨迹。 探究三与双曲线有关的轨迹问题 规律总结 与双曲线有关的轨迹问题的解法 (1)定义法.解决轨迹问题时利用双曲线的定 义，判定动点的轨迹就是双曲线。 (2)直接法.根据点满足的条件直接代入计算。 ·92· 第三章圆锥曲线的方程 随堂检测学以致用 答案见Pw 1.过双曲线x一y=4的焦点且垂直于实轴的 3.直线y=x1被双曲线2x一y=3所截得的 直线与双曲线交于A,B两点，则AB的长为 弦的中点坐标是 () ( A.(1,2) B.(-2,-1) A.2 B.4 C.(-1,-2) D.(2,1) C.8 D.42 4.过双曲线2- -1的右焦点F作直线1交 2.若直线y=kx与双曲线4x2一y2=16相交，则 实数k的取值范围为 ( ) 双曲线于A,B两点，若AB引=4，则满足条件 A.(-2,2) B.[-2,2) 的直线！有 条 C.(-2,2] D.[-2,2] 提示完成P课时作业（二十八）和Pm培优训练（五） 3.3 抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 [学习目标]1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.会求抛物线的标 准方程，并能应用它解决有关问题，提升直观想象和数学运算的核心素养（难点）， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 抛物线的定义 (续表) L.定义：平面内与一个定点F和一条定直线1（不 经过点F)的 的点的轨迹 (o.) 2.焦点：定点F 3.准线：定直线1 (0.-号) >思考：抛物线的定义中，为什么要加条件1不 经过点F? 辨析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x= 要点二 抛物线标准方程的几种形式 一2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线. () 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x十 y一1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛 D F (台o) 物线. () (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=一2 的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.() x=号 (4)抛物线y2-2p.x(p>0)中p是焦点到准线 的距离。 () ·93·(4)错误.双曲线的标准方程中，a,b只满足a>0,b>0,a,b 又因为FF|=10,所以|PF2+|PF2=|F,F22,故 的大小关系不确定 答案(1)×(2)×(3)×(4)× △PF,R为直角三角形，因此可得Sm与=PF,X 关键能力·素养提升 PF|=24.故选B项. [变式3]解杨由双曲线的定义，得1PF|一PF:川=4， [例题1门解析(1)由双曲线的定义，得|PF|一|PF2|=2a= 6,即3-|PFI=6,解得PF,|=9(负值舍去).故选 所以PF1-2PF,IIPF|+PFP=16, B项. 所以PEPE=合PF+PE,P)-8 (2)由双曲线的定义，得1|PF-PF21|=2a=2,又|PF+ 由双曲线的方程，得=4，=1， PFg|=4,所以|PF,|·|PF2|=(4-2)÷4=3.故选 则c=√4+I=√5，即FF1=25. C项. 在Rt△FPF2中，PF,I2+|PFP=FF2=20, 答系(1)B(2)C PM=R+5两式 所以|PF1IPF2=2. [变式1门照玩设动圆的半径是R,由题意知PL=R+1, 所以△FPE,的面积S=PE,IIPF:=1. 相减得PM|一PM|=4<1MM|=5, 随堂检测·学以致用 所以动圃圆心P的轨迹是以点M(一4,0)，M(0,3)为焦 1,A解粉当方程表示双曲线时，一定有a0,反之，当ab0 点的双曲线中靠近焦点M(0,3)的一支， 时，若=0，则方程不表示双曲线.故选A项。 [例题2]解析(1)由题意得双曲线的焦点在x轴上，且c=2√2， 2.A解析因为已知方程表示双曲线，所以(2十m)(2一m)> 以设双曲线的标准方程为号一，喇有。心十：= 0,所以一2<m<2.故选A项. 3.BC解析因为=2一2=24，所以当焦点在x轴上时，方 又双南线过点3V而)，所以是一吕=1，解得。=3= 程为芳兰-1：当焦点在y精上时，方程为芳云-1故 5所以双曲线的标准方程为号一苦-1 选BC项. 4.解析由已知得a=√6，b=√3，则c=3. (2)设双曲线的标准方程为6一。产1（一416）. 所以F(-3,0),F2(3,0). 将点(3√2,2)的坐标代入，得k2+10-56=0,解得k=4 因为MF⊥x轴，所以=一3，代入方程得u= 或=一1〔会去，所以双南线的标准方程为后一普-1 (3)设所求双曲线方程为Ax2十By2=1(AB<0). MF=9所以1M=2a+1MF=55 2 周为点(3，).(-95)在双由线上 设点F,到直线FM的距离为h, A+B=1 则FF·MF,=MF:·h,解得h=号 6 所以这两点的坐标满足方程，由此得 A+25B=1 3.2.2双曲线的简单几何性质 第一课时双曲线的简单几何性质 16 解得 所以双曲线的标准方程为。 916-1. 必备知识·基础落实 B-9 要点一 ra或x≤-ay≤-a或y≥a2=a2+ [变式2]解析若双曲线的焦点在x轴上， 设其标准方程为号-芳-10>0，>0. [思考]提示e= 2 =√1+ 器-1 要点二 等长y=士x 由题意得 812=1 该方程组无解： a+ 16a2F [思考]提示e=￡ a =√②，即等轴双曲线的离心率 若双曲线的焦点在y轴上， 为v②. 设英标准方程为华一 =1(a>0,b>0), [辨析]服团正填双询线号一芳-1与兰-若-1a>0, 329 =1， b>0)的形状相同，但是位置不同. 由题意得 解得a2=16,斤=9. (2)错误.两双曲线的渐近线不同，焦，点在x轴上的渐近线方 2581 a 16=1, 程为)一土么，焦点在y轴上的渐近线方程为y一士分 蜂上，所求双询我的标准方程为荒一号-1 (3)错误.双曲线的离心率的取值范围是(1，十∞)，椭圆的 [例题3)B解析根据题意和双曲线的定义可得|PF| 离心率的取值范国是(0,1). (4)错误.双曲线只有两个顶，点，是双曲线与实轴的交点. PF=3PF=2a=2,解得1PF|=6,故PF,=8. 答率(1)√(2)×(3)×(4)× ·216· 关键能力·素养提升 [例题3]Λ服罚由题意可知，直线1的方程为后十片=1，即 [例题1门解粉将4x2一y=4变形为x2 十ay一a山=0因为原点到直线1的距高为气， 所以a=1,b=2,c=5. 所以b:0+a·0-ab-3。 √a+形 =o,即4ah=32, 因此顶点坐标为A(一1,0)，4(1,0)， 两边平方得16a6=3c,所以16a(2-a2)=3c, 焦点坐标为F(一√5,0)，F(W5,0), 所以3c'-16a2+16a=0,即3e-16e2+16=0,解得 实半轴长a=1,虚半轴长b=2,离心率 =￡-5=5. 2=4或=青因为>a>0,所以号>1 a 1 渐近线方程为y=土bx=士2，草图知图所示。 所以2=口士业=1+三>2.所以心=4，即e=2.故选 a a A项 [变式1门解析把方程9x一16y2+144-0化 [变式3]C解析设双曲线的左焦点为F,因为点P在双曲线 为标准方程得号一后-1由光可知，实中 左支上，所以有PF一|PF,|=2a,即|PF=|PF|+2.由 轴长a=3,虚半轴长b=4,c=√a+形 已知得，存在点P,使得PA+|PF=7,即PA+PF1= √9十16=5，焦点坐标为(0，一5)，(0,5)，离 7-2a,显然7-2a>0,所以a<子.又PA1+PE,≥ 心率一台-号，渐近线方程为)一士号x=士 双曲线 3 |AF=√a十C2,即当点P位于图中P1位置时，等号成 的草图如图所示， 立，所以√a+e≤7-2a,又c2=a2+1,所以√2a+1≤ [例题2]解析(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6,即a=3. 7-2a,整理可得a2-14a十24≥0，解得a≤2或a≥12（舍 由两焦，点的连线被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12, 即c=6,于是有=c2-a2=62-32=27. 去).所以0<a≤2，则0<公<4，则>子，所以号 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程 为号-1我号号1 =1+>≥所以=√层≥√厚-复故选 5 a C项. (2)方法一因为=￡=√2 所以c=√2a,=2-a=a. 又焦点在x轴上， 故可说双南线的标准方程为后一-兰-1@>0》 把点(5,4)的坐标代入方程得-16=1，解得=9. 随堂检测·学以致用 a 故所求双油线的标准方程为写一苦-士 1.ABD解杨双曲线方程？2一8y=32化为标准方程得 32 方法二由离心率为√②知所求双曲线为等物双曲线，设双 ￥-1，可得a=42,6=2=6,所以双尚线的实轴长为8厄， 曲线的方程为x2一y=(k≠0)，把点(5,4)的坐标代入方程 得=9，故所求双向我的特准方程为号一号 虚轴长为4，焦距为12高心率为3平，故选AD项 [变式2]醒团（口)设所求双曲线的标准方程为二-兰 2A匠颈过点P的是A.D项，与号-y-1有相同渐近线 =1(a> 的只有A项.故选A项. 0,b>0),由题意知2b=8e=￡=点 =.从而b=4·c一34： 3D降团易知渐近线方程为y=士。 工，设双曲线的方程为 代入广-十状，得后=，故双南线的标准方程为号一苦- x2一3y2=入.将(3，一2)代入求得A=一3，所以双曲线的方程 (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设共方程为点 为y-亏-1.截选D项 荒=>0)，将点2.0)的坐标代入方程得X=6故所求 4.解析因为PF|=3|PF:|,所以由双曲线的定义可得 IPF-|PF2=21PF|=2a,所以PF=a,PF|=3a, 双曲线的标准方程为片-了=山： 因为∠FPF=60°，所以由余孩定理可得42=9a2十a2 当所求双自线的焦点在y轴上时，可设共方程为益一后 2·3a·a·os60,整理可得4=7u,所以2=二=2， 入>0)，将点2,0)的坐标代入方程得=一}<0会去) 综上可知，所求双曲线的标准方程为号一y=1. 圈号 ·217· 第二课时双曲线的方程及性质的应用 必备知识·基础落实 因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以 x十x=2, 要点一 y十2=2. ⑤ 渐近线两个一个没有 [辨析]解析(1)错误.过A(1,0)作直线1与双曲线只有一个公 将④⑤代入③得一=乞1一为， ⑥ 共点，这样的直线可作3条，两条平行于渐近线，一条与双 根据题意可得≠， 曲线相切 (2)正确.计算可知，直线：y=x与双曲线C:2x-y=2 所以直线1的斜率k=二业=2。 x1一x2 有两个公共点，分别是（√瓦√②）和（一√2，一√2）. 所以若符合题设条件的直线1存在，则其方程为y=2x一1. (3)正确.当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线 (y=2.x-1, 可能相交 而由 -苦-1得2x-4r+3=0. 2 (4)正确.通过画图易知直线和双曲线只有相交，相切、相离 三种位置关系. 因为△=一8<0，所以所求直线不存在 答案(1)×(2)√(3)√(4)W [变式2]解析(1)易知双曲线焦点为F(一2.0)，F(2,0), 关键能力·素养提升 将直线AB的方程)-号+2)代入双南线方程，得8 [例题1门竖团联立方程二，消去，得1一江十 4x-13=0. 1y=k(x-1), 13 2kx-k2-4=0. (￥) 设An),B的，则西十=之= 当1一k2≠0，即k≠±1时，△=(2k2)2-4(1-k)(-k2 所以AB引=1十R·√（十）P一41. 4)=4(4-3k). 0①由4->0·得-2Ek<25,且士1. V1+号·√()-4×(-)=3. 1-k≠0 3 3 此时方程()有两个不同的实数解，即直线【与双曲线有 (2设AB的中点为M),由(1)得五=五=子 两个不同的公共点 4 (2)由 /4-3k2=0, 1-≠0 得长=士2且士 又k题=得，所以AB的垂直平分线方程为) 33 此时方程()有两个相同的实数解，即直线（与双曲线有 且只有一个公共点： (x-}),即x+y-=0 当1一=0，即=士1时，直线【与双曲线的渐近线平行， [例题3]解粉(1)设M为爆炸点，由题意得，MA一|B= 方程（￥）化为2x=5, 680<|AB引， 故方程()只有一个实数解，即直线（与双曲线相交，有且 因此爆炸点离A点比离B点的距离更远， 只有一个公共点 所以爆炸点在以A,B为焦点且距离B较近的双曲线的一 故当k=士2或=士1时，直线1与双曲线有且只有一 支上 3 (2)以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建 个公共点 立直角坐标系xOy (3)由/4-3k<0 得<-23成k>25 1一2≠0 3 3 此时方程(*)无实数解，即直线1与双曲线无公共，点 [变式1门解析当直线（的斜率不存在时，1：x=1与双曲线相 切，符合题意。 当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x一1)十1， 设M(x,y)为曲线上任一点， 代入双曲线方程，得(4一k).x2一(2k一2k)x一k2+2k 由MA-|MB1=680<AB1,得2a=680,即a=340, 5=0. a°=115600， 当4一=0时，k=士2,1与双曲线的渐近线平行，1与双曲 由AB引=800，得2c=800,即c=400, 线只有一个公共，点： 所以序=2-a2=44400. 当4一发00时，令4=0，得=吾 因为MA|-|MB1=680>0,所以x≥340. 综上，k=号成k=士2或k不存在. 所以曲线方程为1560444001(x≥340》. [例题2]解析假设符合题意的直线1存在，并设P(x,), [变式3]解析设动圆圆心P(x,y),半径为r 依题意有PA=r,PB=r十4，故PB一PA=4, ① 即动图圆心P到两个定点B(一3,0)，A(3,0)的距离之差 Q(x业)，则 ② 等于常数4，且4<AB引，因此根据双曲线的定义，知点P 的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支 ·218· 设其方程为号-兰=1a>0.b>0),则c=3,2a=4,所以 关键能力·素养提升 =5, [例题1]解粉(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且 2 所以动国圆心P的轨连方程为二一 =1(x≥2)，轨迹是 导，即=青，所以所求抛物钱的标准方程为=一骨 双线等-号-1的右支。 (2)已知抛物线的焦，点在y轴上，可设方程为x2=2my (m≠0)，由焦，点到准线的距离为5，知m=5,即m=士5， 随堂检测·学以致用 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 1.B解析易知双曲线一y=4的焦点为（士2v2,0),把x= x2=10y和x2=-10y. 22代入得y=士2，所以AB引=2-(-2)=4.故选B项. (3)因为点（一3，一1）在第三象限，所以设所求抛物线的标 2.A解析易知k≠士2，将y=kx代入4r2一y=16得关于x 准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 的一元二次方程(4一：).x2一16=0，由△>0可得-2<k<2故 若抛物线的标准方程为y产=一2px(p>0),则由（一1）= 选A项 -2p×(-3),解得p=名： 3.C解析将y=x-1代入2x2-y=3,得x2+2x一4=0，由 若抛物线的标准方程为2=一2py(p>0),则由（一3）2= 此可得弦的中点的横坐标为十型=，=一1，纵坐标为 2 2 -2pX(-D,解得p=是 -1-1=-2.故选C项. 4,解析设A(,),B(,”),当直线1的斜率不存在时，直 所以所求抛物线的标准方程为y=一子x或=一9以 x=√3， [变式1门解析(1)由题意，设抛物线的标准方程为y=一2x 线的方程为x=3,由 e- ,得y=士2，所以|AB引 (p>0),因为F(-2.0),所以号=2，即p=4 M一边=4，满足题意：当直线1的斜率存在时，设其方程 所以抛物线的标准方程为y=一8x y=k(x-√3)， (②)由逅意，设抛物线的标准方程为广=2p(>0),则号- 为y=k(x一√3)，由 得(2-)2+2x- 2,所以p=4,所以抛物线的标准方程为2=8y (3)因为A(4,一2)在第四象限，所以设抛物线的标准方程 3一2=0.易知2一≠0，所以十= 23k -22 为y=2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 装号，AB=V1HFV+=· 将A4,一2)代入方程=2p(p>0)得p=之： 将A(4,-2)代入方程x2=-2y(p>0)得p=4. /16(k+1)_4(1+k2) 所以抛物线的标准方程为y=x或x2=一8y. -2 k2-2 4,解得=士只故满足条件的直钱1有3条。 [例题2习团(0因为+。=所以6=1.放选A项 2 (2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于 答累3 它到焦点的距离 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 必备知识·基础落实 要点一 由图可知，当点P,点(0,2)和抛物线的焦点F(号，0）三点 1.距离相等 共线时，距离之和最小， [思考]提示若点F在直线1上，则点的轨迹是过点F且垂直 于直线的直线. 所以最小距离d=√(0- +(2-0)=7 2 要点二 y=2h.x(p>0)y=-2p.x(p>0)x=2py(p>0) 答器1)A(2)厘 2 x2=-2py(p>0) [变式2]解析(1)将x=3代入y2=2.x,得y=士V6, [辨析]解析(1)正确.由抛物线的定义可知. 所以点A在抛物线内部。 (2)错误.因为定点F(1,0)在直线x十y一1=0上，所以点 P的轨迹不是抛物线. 设点P为其上一点，点P到准线（设为）.x= 号的距离为 (3)正确.点P到点F(1,0)的距离比到直线x=一2的距离 d,则1PA+|PF=PA+d. 小1，即点P到点F(1,0)的距离和到直线x=一1的距离 相等，所以点P的轨迹是抛物线. (4)正确.抛物线方程中p的几何意义是焦点到准线的 距离 俗累(1)/(2)×(3)√(4)/ ·219·