2.5.2 圆与圆的位置关系（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章直线和圆的方程 探究三与圆上的点有关的最值问题 【例题3】已知实数x,y满足方程(x一2)2十y= 3,求兰的最大值和最小值。 解题技巧 与圆上的点(x,y)有关的最值问题的 常见探究及解法 (1)形如1=y二b形式的最值问题，可转化为 x-a 动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a,b) 【变式3】例题3中的条件不变，求y一x的最大 和点(x,y)的直线的斜率的最值。 值和最小值 (2)形如t=a.x十by形式的最值问题，可转化 为动直线截距的最值问题， (3)形如1=(.x-a)2+(y-b)2形式的最值 问题，可转化为动点到定点的距离平方的最 值问题. 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知直线1：x-y十4=0与圆C:(x一1)2+ 4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求 (y一1)=2，则圆C上的点到直线1的距离的 证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 最小值为 一半 A.2 B.√3 C.1 D.3 2.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米 的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷 顶距离地面的高度最高约为 A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 3.已知实数x,y满足方程x2+y一4x一4y+ 7=0,则y一x的最小值是 提示完成P课时作业（二十一） 2.5.2圆与圆的位置关系 [学习目标]L.了解圆与圆的位置关系，培养数学抽象的核心素养，2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法，提升 直观想象的核心素养（重点）.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题，提升数学运算和数学建模的核心素 养（难点. ·69 数学选择性必修第一册课堂学案 必备知识基础落实 答案见P 要点一两圆之间的位置关系 F1=0(D+E-4F>0),C2:x2+y+D2.x+ (1)两圆相交，有两个公共点： Ey十F=0(D房十-4F2>0), (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公 (+y+Dx+Ey+F=0, 联立方程得 共点： x2+y2+D.x+E2y+F2=0, (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 则方程组解的个数与两圆的位置关系如表 >思考：在外离、外切、相交、内切和内含的位置 所示 关系下，两圆的公切线条数分别为多少？ 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 4小4 两圆的位置关系 相交 外切或内切外离或内含 要点二判断圆与圆的位置关系 辨析 1.几何法 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 若两圆的半径分别为，，两圆心连线的长 为d,则两圆的位置关系如表所示. (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组 位置关系 外离 外切 相交 () 内切 内含 实数解，则两圆外切 (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和， 图示 则两圆相交 () (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元 d与r1, d d= 一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 n的关系 n+n () (4)若两圆有公共点，则n一≤d≤r十r2. 2.代数法 () 设两圆的一般方程为C:x2+y+Dx十Ey十 关键能力素养提升 答案见Po 探究一 两圆的位置关系 【例题1】判断下列两圆的位置关系. (1)(x+2)+(y-2)2=1与(x-2)+(y 答题模板 5)2=16: (2)x2+y+6x-7=0与x2+y+6y-27=0. 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系 求参数的取值范国有以下几个步骤： (1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和 半径： (2)计算两圆圆心的距离d: (3)通过d,n十r,n一2的关系来判断两 圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数 形结合 ·70· 第二章直线和圆的方程 【变式1】当a分别满足什么条件时，两圆C: 【变式2】若圆C1:.x2+y=16与圆C:(.x一a)2+ x2+3y2-2a.x+4y+a2-5=0和C:x2+y+ y=1相切，则a的值为 2x-2ay十a2-3=0满足下列位置关系？ A.士3 B.±5 (1)外切：(2)相交：(3)外离. C.3或5 D.士3或士5 探究三 两圆相交的有关问题 规律总结 处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法： 将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的 方程，但必须注意只有当两圈方程中二次项 系数相同时，才能如此求解，否则应先调整 探究二 两圆相切问题 系数 (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方 答题模板 程求出交点坐标，再用距离公式求解：二是先 处理两圆相切问题的两个步骤 求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切， 径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角 若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和 形求解」 外切两种情况讨论 【例题3】已知两圆C1:x2十y2-2x+10y一24=0 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两 圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内 和C2:x2+y2+2.x+2y-8=0. (1)判断两圆的位置关系： 切时)或两圆半径之和（外切时） (2)求公共弦所在的直线方程： 【例题2】求半径为4，与圆x+y2-4x-2y (3)求公共弦的长度. 4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程. 【变式3】若圆.x+y=4与圆x2+y+2y-6=0 (a>0)的公共弦长为2v3,则a= ·71 数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.圆O:x2+y-2x=0和圆O:x2+y-4y=0 x2+y2一4x十2y一11=0，求两圆的公共弦所 的位置关系是 在的直线方程及公共弦长 A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.圆C:x2+y2=1与圆C:x2+(y-3)2=1的 公切线有且仅有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2a.x+a2-1=0 内切，则a= 4.已知圆C:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C: 提示完成P课时作业（二十二）和P培优训练（四） 章未复习方案 知识网络体系构建 除定直线位誉的儿何 罗数点、方问 猴定圆的儿何要 素：同心、中径 百毁的树斜角和斜率 两点问的距离公式 剑的标准方释 甘线的点 白线的两 斜试方程 点式方程 直线的一般式方释 点到直线、叫弟 平行线的射离 圆的一般方释 两条直线的 圆与圆的 位背尖系 位誉关京 出线与网的位省关系 知识整合融会贯通 答案见P 探究一直线斜率的应用 (≠)所连直线的斜率为k=业二出，具有 C2一x1 直线斜率是沟通“数”与“形”的一座桥梁，是实 这种结构的代数表达式均可看成是直线AB 现数形结合的载体.两点A(x,),B(x,2) 的斜率，这样斜率就将代数结构与几何图形有 ·72·解方程得=士√一m, 所以0E√（号空）+（号=+. 不坊设h=一2一m,h=√一m, 剩CD的中点坐标为(m,㎡。P亚 又BC=V+,所以0E1=号BC. 2 即(m,0).故E是CD的中，点 2.5.2圆与圆的位置关系 [例题3]解析原方程表示以点(2,0)为国心，w3为半径的圆， 必备知识·基础落实 设兰=k,则y=kx 要点一 当直线y=kx与圆相切时，率k取最大值和最小值， [思考]提示当两圆外离时，有四条公切线；当两圆外切时，有 此时2k一0=3，解得k=士3 三条公切线：当两圆相交时，有两条公切线：当两圆内切时， √十1 只有一条公切线：当两圆内含时，无公切线， [辨析]解析(1)错误。若只有一组实数解，则两圆可能外切也 故亡的最大值为3，最小值为一. 可能内切： [变式3]解析设y-x=b,则y=x十b. (2)错误.当两圃圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径 当y=x十b与圆相切时，织戴距b取得最大值和最小值， 之差的绝对值时，两圆相交 此时2-0+h=5,即6=一2士6. (3)错误.只有两圃相交时得到的二元一次方程才是公共弦 所在的直线方程 故y一x的最大值为一2+√6，最小值为-2一√⑥. (4)正确.因为两圆有公共点，所以排除了外离和内含，所以 随堂检测·学以致用 两圆圆心距不大于半径之和，也不小于半径之差的绝对值， 即|n-rn≤dn十r. 1,A解扬由题意知，圆C上的点到直线I的距离的最小值为圆 答累(1)×(2)×(3)×(4)√ 心(1,1)到直线1的距离减去圆的半径，即1一1十4 √+(-1) 关键能力·素养提升 √2=√2.故选A项. [例题1门解杨(1)根据题意，得两圆的半径分别为n=1和 2.B解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直 =4,两圆的圆心距=√[2-(-2)+(5-2)F=5. 线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 因为d=n十r,所以两圆图外切. (2)将两闻的方程化为标准方程，得(x十3)2+y=16,x2+ (y十3)2=36.故两圈的半径分别为R=4和r=6,两圆的圆 心距d=√(-3-0)+0-(-3)下=32. 因为R一r<<R十r,所以两圆相交. 易知半圆的方程为x2+y=3.6(y>0),由图可知，当货车 [变式1门解析将两圆方程化为标准方程，则C:(x一a)2十 恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x=0.8或x= (y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4. -0.8,代入x2十y=3.6,得y≈3.5（负值舍去）.故选 所以两圆的圆心和半径分别为C(4,一2)，n=3,C2(一1， B项， a),rn=2. 3.解析由x2+y-4x-4y十7=0，得(x-2)”+(y-2)=1, 设两圆的圆心距为d,则f=(a十1)2+(-2-a)2=2a十6a+5. 它表示以(2,2)为圆心，1为半径的圆.设y一x=b,即y= (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时，两圆外切，此时a=-5 x十b,当y-x十b与圆相切时，纵戴距b取得最大值和最小 或a=2. 值.由2一2+b=1,得6=士2.故y一工的最小值是-2。 (2)当1<d<5,即1<2a+6a十5<25时，两圆相交，此时 2 -5<a<-2或-1<a<2. 答案一√② (3)当d>5,即2a+6a十5>25时，两园外离，此时a>2或 4.正明如图，分别以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,DB a<-5. 所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.设A(a,0), [例题2]解析由题意设所求园的方程为圆C:(x一a)尸+(y B(0,b),C(e,0),D(0,d). b)2=16,因为圆C与直线y=0相切，且半径为4， 所以国心C的坐标为C1(a,4)或C(a,一4). 又因为圆x2十y一4x-2y-4=0的圆心为A(2,1),半径 为3，且两周相切， 所以CA=4十3=7或CA=4-3=1. ①当图心为C(a,4)时，(a-2)2+(4-1)2=7或(a-2)2+ (4-1)2=1(无解)，故可得a=2士20. 过四边形ABCD外接圆的圆心()'分别作AC,BD,AD的垂 ②当圆心为C2(a,一4)时，(a-2)2+(一4-1)2=72或 线，垂足分别为M,N,E,则M,N,E分别是线段AC,BD, (a-2)2+(-4-1)2=1(无解)，故可得a=2±26. AD的中点.由线段的中点坐标公式，得=M=a宁， 2 综上，所求圖的方程为(.x一2一2，√10)2十(y一4)”=16或 w4=d (.x-2+2/0)2+(y-4)=16或(x-2-26)+(y十4)2 16或(x-2+26)2+(y+4)2=16. ·209· [变式2]D解析图C与图C的图心距d-√a+(0-0丽-a. 指曲线上存在个点与坐标原，点连线的斜率相等，即”为 当两圆外切时，有a=4十1=5，所以a=士5：当两圆内切 过原，点的直线与曲线的交点个数，由图可得n可取2,3,4. 时，有a=4一1=3，所以a=士3.故选D项. 故选B项. [例题3]解析(1)将两圆方程配方化为标准方程， 则C:(x-1)2+(y+5)2=50.C:(.x十1)2+(y+1)2=10, 所以圆G的國心坐标为(1，一5)，半径n=52,圆C2的 圆心坐标为(-1，一1)，半径n=√10. [其题2]解析(1)将直线2x一y一3=0化为4x一2y-6=0,则 所以|CC|=25,n+r2=52+√10，|n-2|= 直线2x-y一3=0与直线4x-2y十a=0之间的距离l |5v2-√10l. 所以n一n2<CC2<n十r,所以两圆相交， la-（-6)=la+,根据题意可得=5，即1a十61 16+425 25 (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x一2y十4=0， 10,解得a=4或a=一16.故选C项. (3)方法一 由(2)知，圆C的圆心(1，-5)到直线x一2y十4= (2)由题意可知圆心在第一象限，设为(a,b).因为圆与两坐 0的距离为d=1-2X(-5)+4=35, 标轴均相切，所以a=b,且半径r=a,所以圆的标准方程为 √1+(-2)严 (r-a)2+(y-a)2=d.因为点(2,1)在圃上，所以(2-a)2+ 所以公共弦长为1=2√-正=250-45=25. (1-a)2=d2,所以a2-6a十5=0，解得a=1或a=5.当a=1 方法二设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组 时，国心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x一y一3=0的距 1x-2y+4=0, x2+y2+2x+2y-8=0, y=2, 青是-2，当。-5时，调生标为6 所以|AB=√(-4一0)+(0一2)7=25，即公共弦长为 此时圆心到直线2x-y-3=0的距离d=12X5-5-3 25. √2+(-1) [变式3]解析两圆的公共弦所在的直线方程为2ay-2=0(a> 0),圆x十y=4的圆心为(0,0)，半径为2，圈心到公共弦的 25,综上，国心到直线2江-y一3=0的距离为5北选 B项 距高d=是-所以28-2√一（信），解得a=1 42 答案(1)C(2)B 答累1 [真题3]解粉(1)依题意设圆的方程为x2十)y+Dx十y十F=0. F=0, 随堂检测·学以致用 若过(0,0).(4,0)，(-1,1)，则16十4D+F=0,解得 1.B解析化为标准方程得，圆O:(x一1)2+y2=1,圆O:x2十 1+1-D+E+F=0. (y-2)2=4,则O(1,0).O02(0,2),所以|O01= F=0. √(1-0)+(0-2)=5<n+n,又n-n<5,所以两圆 D=一4，所以圆的方程为.x2十y一4r一6y=0,即(x2)2十 相交.故选B项 E=-6, 2.D解析由圆的方程易知，圆心距为3，半径之和为2，故两 (y-3)=13;若过(0,0)(4,0)，(4,2)，则 圆外离，公切线的条数为4.故选D项. F=0, F=0, 3.解析两圆的回心分别为O(0,0),O2(a,0),半径长分别为 16+4D+F=0, 解得 D=一4，所以圆的方程为 n=2,n=1,由两圃内切可得|OO|=n一n,即a=1,所以 16+4+4D+2E+F=0. E=-2, a=士1. x2十y-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5:若过(0,0)， 俗案士1 F=0, 4解析设两间的交点分别为A,B,则A,B两点的坐标均满足 F=0, 8 x2+y2+2x-6y+1=0, ① (-1,1),(4,2),则1十1-D十E+F=0, 解得 D=- 3所 方程组。 x+y2-4x+2y-11=0. ② 16+4+4D+2E+F=0, E=- ①-②，得3.x-4y+6=0. 3 因为A,B两点坐标都满足此方程，所以3.x一4y十6=0即为 以国的方程为十了-号一兰y=0,即(。一专)厂十 两圆公共弦所在直线的方程 易知圆C的圆心为（一1,3），半径r=3. (-号)}=g:若过(-1,1).(4,0)(4,2，则 又点C到直线AB的距离d=-1X3-4X3+61- /3+(-4)P 1+1-D+E+F=0, 所以1AB=2×vP-正=2X√3-（号）=4，即两国 16+4D+F=0, 解得 D=-16,所以圆的方程 16+4+4D+2E+F=0, 5 的公共弦长为得 E=-2, 为2+y- 9x-2y-9=0,即(x-8)）广+心 5 章未复习方案 [真题1门B器损==…=f2的几何意义是 1-罗 T (2)因为点M在直线2x+y-1=0上.所以设点M为(a, ·210·