2.4.2 圆的一般方程（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 2.4.2圆的一般方程 [学习目标]1，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程，培养直观想象和逻辑推理的核心素养（重点）.2.能根 裾某些其体条件，运用待定系数法求圆的方程，强化数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见Po6 要点圆的一般方程 >思考：若二元二次方程Ax2十Bxy十Cy十Dx十 Ey十F=0表示圆，需满足什么条件？ 1.圆的一般方程 当D十E-4F>0时，二元二次方程 称为圆的一般方程， 2.方程x十y2+Dx十Ey十F=0表示的图形 辨析 条件 图形 判断正误，正确的画“、√”，错误的画“×” D+E-4F<0 不表示任何图形 (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. () D+E-4F=0 表示-个点(-号-)】 (2)二元二次方程x2+y2+Dx十Ey十F=0一 定是某个圆的方程. () 表示以（一号一号）为圆心，以 (3)若方程x2+y2-2.x十Ey十1=0表示圆，则 D+E-4F>0 有E≠0. () D+E一正为半径的圆 (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次 2 方程. () 关键能力素养提升 答案见P6 探究一 圆的一般方程的概念 【例题1】若方程x2十y-21.x十4y十21十7=0表 示圆，则实数1的取值范围是 解题技巧 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2十y十Dx十Ey十F=0 的二元二次方程可以通过配方变形成“标准” 形式后，观察是否表示圆。 【变式1】若方程2x2+2y+2ax-2ay=0(a≠0)表 (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通 示圆，则圆心坐标和半径分别为 过判断DP十E一4F是否为正，确定它是否 表示圆.在利用D十E一4F>0来判断二元 二次方程是否表示圆时，务必注意x及y 的系数， ·62 第二章直线和圆的方程 探究二求圆的一般方程 探究三求动点的轨迹方程 解题技巧 规律总结 求圆的方程的策略 求轨迹方程的三种常用方法 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动 心坐标、半径，得到圆的方程 点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明 (2)待定系数法：选择圈的一般方程或标准方 (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圈的定义 程，根据条件列关于a,b,r或D,E,F的方程 时，可利用定义写出动点的轨透方程】 组解出系数得到方程， (3)代入法：若动，点P(x,y)依赖于某圆上的 一个动点Q(x1,y)而运动，把，y用x,y 【例题2】已知△ABC的三个顶点为A(1,4), 表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程 B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方 中，得点P的轨迹方程。 程、外心坐标和外接圆半径. 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍 在所求的轨迹上，故应排除不合适的点 【例题3】已知点P(10,0),Q为圆x2十y=16上 动点.当Q在圆上运动时，则线段PQ的中 点M的轨迹方程为 【变式3】已知△ABC的边AB长为4，若BC边 上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程， 【变式2】圆心在x轴上，且经过点A(一1,1)， B(1,3)的圆的一般方程是 63 数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.若方程x十y一x十y十m=0表示圆，则实数m 4.如图，已知线段AB的 满足的条件是 ( 中点C的坐标是(4， 3),端点A在圆(x十 Am号 Am>号 1)2+y=4上运动，求 C.m<1 D.m>1 线段AB的端点B的轨迹 2.若直线3xr十y十a=0过圆x2+y+2x-4y 0的圆心，则a的值为 A.-3 B.-1 C.3 D.1 3.(多选)若圆x2十y一2x一4y=0的圆心到直线 z一y十a=0的距离为号，则a的值为 ( A.2 B C.0 D.-2 提示完成Ps课时作业（十九） 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第一课时直线与圆的位置关系 [学习目标]1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，提升逻辑推理的核心素养（重点），2.会 用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系，强化数学运算与逻辑推理的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见P 要点直线Ax+By十C=0与圆(x-a)”+ 位置关系 相交 相切 相离 (y一b)=2的位置关系及判断 几何法：设圆心到直线的 位置关系 相交 相切 相离 距离4=Aa+B6+C √A+B 公共点个数 个 判定方 代数法：联立它们的方程 (Ax+By+C=0. (x-a)2+(y-b)=2 △04 0△ 图形 消元得到一元二次方程 的判别式△ ·64·2.4圆的方程 [例题3]ABC解析如图所示， 2.4.1圆的标准方程 必备知识·基础落实 要点一 1.定长 圆C:(x十3)2十(y-3)2=1的圆心坐标为（一3,3），半径为 2.(x-a)2+(y-b)2=产2x2+y2=2 1,直线y=kx一1过定，点(0，一1).由图可知，圃心C到直线 [思考]提示不一定，圆的半径应为 y=kx-1距离的最大值为√(-3-0)+(3+1)下=5，则 [辨析]解析(1)错误.当m=0时，该方程表示点(a,b) 点P到直线y=kx-1距离的最大值为5十1=6.A,B,C项 (2)正确.如果一个圆的圆心和半径确定了，那么这个圆就 中的值均不大于6，符合题意，只有D项不符合题意.故选 唯一确定了. ABC项. (3)错误.圆心坐标为（一1.一2），半径为2. [变式3]解析设P(x,y),则d=|PA+|PB1=2(.x2+ (4)错误.将(0,0)代入國的方程得(0-1)2十(0-2)>1. y2)+2. 故点在圈外 因为C02=32十42=25，即C)引=5. 答系(1)×(2)√(3)×(4)× 所以(5-1)2≤x2+y≤(5+1)2，即16≤x2+y≤36. 关键能力·素养提升 所以d的最小值为2×16+2=34，最大值为2×36+ [例题1]解析方法一设所求图的标准方程为(x一a)2十(y一 2=74. b)2=2 随堂检测·学以致田 (2-a)2+(-3-b)2=2, 1.AC解析由圆的方程(x十1)2十(y一2)=4可知圆心为 由已知条件得(-2-a)2+(-5-b)”=2, (一1,2)，半径长为2.故选AC项. a-2h-3=0. 2.B解析由圆的方程(.x一a)2十(y一1)=2a,知圆心为(a, a2+-4a+6b=2-13. a=-1, 即a2++4a十106=2-29，解得b=-2, 1),则原点与圆心的距离为√a+1.因为0<a<1,所以 4-2hb-3=0. 2=10. √十>√2a=r,即原点在圆外.故选B项. 所以所求圆的标准方程为(x十1)十(y十2)2=10. 3.解析因为同心在x轴上，所以设园的标准方程为(x一a)严+ 方法二由点A(2,-3),B(-2,一5)得线段AB的中点坐 y=产(r>0).又因为圆经过点A(5,2),B(-1,4),所以 标为(0，-0，ku=号 5-a)2+2=户，解得 a=1, 1(-1-a)2+42=2. 所以圆的标准方程为 r=2V/5. 所以线段AB的垂直平分线'的方程为y十4=一2x,即 (.x-1)2+y2=20. 2x十y十4=0， 答累(x-1)2+y2=20 解方程组 2叶二0得=一 x-2y-3=0,y=-2. 4.服团国为P在国外，所以(5a+1-D+12☑P>l,解得u>品或 所以圆心为(-1，一2)，半径r=√(2+1)+(-3+2)= 品所以a的取值范国为(-一©，一名)U(信十) √10.故所求间的标准方程为(x+1)+(y+2)2=10. [变式1门解析由圆心在直线2x一y一7=0上，可设国心C(a, )U(品+∞) 2a-7).由题意得AC=|BC, 即√0+2a-7-(-40=+2a-7-(-2)7,解得a=2, 2.4.2圆的一般方程 所以圆心坐标为(2，一3)，圆的半径r=√2+（一3+4了=5， 必备知迟·基础落实 所以圈C的标准方程为(x一2)2十(y十3)2=5. 要点 [例题2门解析设圆心C(a,),半径长为r,则由C为线段PP的 1.x2+y+Dr+Ey+F=0 中点得a=35=4.b=84=6,即圆心坐标为C4,6. 2 2 [思考]提示①A=C≠0：②B=0:③D+P-4AF>0. 又由两点间的距离公式得=CP=√(4一3)+(G一8莎=5，故 [辨析]解析(1)正确.将圆的一般方程配方，可以得到国的标 所求圆的标准方程为(x一4)2十(y一6)=5. 准方程 由于(5-4)2+(3-6)=10>5，故点M在国外： (2)错误.当满足D十一4F>0时，此方程才表示圆的 方程 由于(3-4)2+(4-6)2=5，故点V在圆上 (3)正确.由圆的一般方程的定义可知 由于(3一4)2+(5一6)2=2<5，故点P在圆内. [变式2]解析(1)因为点A在圆的内部，所以(1一a)+(2+ (4)正确.由园的一般方程在形式上的特点可知，任何一个 a)2<2a2,且a不为0，解得a<-2.5.所以a的取值范国为 圆的方程都能写成一个二元二次方程， 答案(1)√(2)×(3)√(4)/ (-oo.-2.5). (2)因为点A在圆上，所以(1-a)2十(2十a)2=2a,解得 关键能力·索养提升 a=-2.5.所以a的值为-2.5. [例题1]解析关于x,y的方程.x2+y2-21.x+十4y十21+7=0 (3)因为点A在圆的外邮，所以(1-a)2+(2十a)2>2a2,且 表示圆时，应有4+16-4(21十7)>0，解得1<-1或t> a不为0，解得a>一2.5且a≠0.所以a的取值范围为 3.所以实数t的取值范围是（一oo,一1）U(3,十©). (-2.5,0)U(0,+oo). 累(-o∞，-1)U(3,十∞) ·206- [变式1门解析方程2x2+2y2+2ax一2ay=0(a≠0)，可化为 于是有x=8-x,0=6一以 ① (叶号)广+(0y一号)广-号故国心坐标为(-号，号)半 因为点A在圆(x十1)2十y2=4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x十1)2+y2=4, 径为②a 即(x%十1)2+=4， 2 把①代入②，得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 圈（-台号）， 整理，得(x一9)2十(y一6)=4. 2 所以点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆. [例题2]解析设所求圆的方程为x十y+Dx十Ey十F-0,代 D+4E+F+17=0. (D=-2. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 入各点坐标即得-2D十3E+F+13=0,解得E-2, 4D-5E+F+41=0. F=-23. 2.5.1直线与圆的位置关系 故所求圆的方程为x2+y2-2x十2y一23=0，化为标准方 程得(x-1)2+(y+1)2=25.故外心坐标为(1，一1)，外接 第一课时直线与圆的位置关系 圆半径为5. 必备知识·基础落实 [变式2]解析点A(-1,1),B(1,3)的中点为(0.2)，因为k出= 要点 1户一D1,所以线段AB的中垂线的针率为一1，所以线 3-1 210<=>>= [思考]提示“几何法”侧重于图形的儿何性质，步骤较筒洁： 段AB中垂线的方程为y-2=一x,当y=0时，x=2,所以 “代数法”则侧重于“坐标”与“方程”判断直线与圆的位置 圆心为(2,0)，所以圆的半径为√/(2十1)+(0一1)= 关系，一般用几何法， √10，所以所求圆的方程为(x一2)2十y=10,一般方程为 [辨析]解析(1)错误.直线与圆有公共点，则直线与圆相交或 x2+y2-4x-6=0. 相切. 俗累x2+y-4x-6=0 (2)正确.因为圆x十y=1的图心(0,0)刚好在直线1：x=0 [例题3]解析设点M的坐标是(x,y),点Q的坐标是（功）. 上，所以直线：x=0与圆x2十y=1的位置关系是相交且 因为点P的坐标是(10,0)，且M是线段PQ的中，点，所以 过圆心 x=100y=,即面=2-10%=2 2 ① (3)错误.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 因为，点Q在圆x只十y2=16上运动，所以，点Q的坐标满足 即a=a,解得a=2. 方程x2+y2=16,即x+=16. ② 把①代入②，整理得点M的轨迹方程为(x一5)十y=4. (4)正确.因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线和圆 答系(x-5)2十y=4 的位置关系是相离，没有公共点，因此联立消元后得到的一 [变式3]解析如图，以直线AB为x轴，AB 元二次方程无解 的中垂线为y轴建立直角坐标系， 答累(1)×(2)√(3)×(4)√ 则点A(-2,0),B(2,0),设C(x,y) 关键能力·索养提升 BC的中点D(h), 2十工=0： [例题1门匠团将圆的方程配方，得(x+)广+-3)= 2 所以 0十y=y0… ① 引，故有70>0，解得m<平。 4 2 「x+2y-3=0, 因为AD=3.所以(x十2)十%=9. ② 将直线1与圆C的方程联立，得 x2+y2+x-6y+m=0, 将①代入②，整理得(x十6)2十y=36. 因为点C不能在x轴上，所以y≠0 消去得r+(2)'+r一6×3+m=0. 2 综上，点C的轨迹是以（一6,0）为圆心，6为半径的圆，去掉 整理，得5.z2+10x十4m-27=0. (*) (-12.0)和(0.0)两点. 因为直线1与圆C没有公共，点，所以方程()无解， 所以项点C的轨迹方程为(x十6)2十y=36(y≠0). 故有△=102-4×5(4m-27)<0,解得m>8. 随堂检测·学以致用 1,A解扬由二元二次方程表示圆的充要条件可知，（一1）2十 所以m的取值范国是(8，平)。 1P-4m>0,解得m<受.故选A项。 [变式1]解粉(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得3+02一4× 3=9一12=一3<0，所以，点P(3,0)在圆内.所以过点P的 2.D解析圆x2十y十2x-4y=0的圆心为（一1,2），代入直 直线1必与圆C相交.故选A项， 线方程3z十y十a=0得-3十2十a=0,即a=1.故选D项. (2)由题意得圆心到直线1的距高d”,圆的半径一√m,因 3.AC解析将圃的一般方程化为圆的标准方程为(x-1)炉+ 2 (y一2)2=5，所以圆心(1,2)到直线x-y十a=0的距离= 为dr生”0-m=(m-2vm+=wm-> 2 1--号解得a=0或a=2故选AC项 0,所以d>r,故直线l和O相切或相离.故选AC项. 4.解析设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是（为），因为点 答累(1)A(2)AC C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点， [例题2]解析由(2一1)2+(4十3)2=50>1，得点M在圆外. 所以=3=当， 当切线的斜率存在时，设切线的方程是y一4=k(x一2)， 即kx-y十4-2k=0, ·207·