2.4.1 圆的标准方程（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章直线和圆的方程 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.点(2,5)到直线y=2x的距离为 B.(一o∞，-3) 9 R29 C3⑤ D.5 C.(-∞，-3)U(7,+o∞) 5 D.(-3,7) 2.已知直线l1:x十y+1=0,l2:x+y-1=0,则 4.已知两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),则 与之间的距离为 ( 它们之间的距离d满足的条件是 () A.1 B.√2 C.3 D.2 A.0<d≤3 B.0d≤5 3.已知点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离 大于3，则实数a的取值范围为 ( C.0<d<4 D.3≤d≤5 A.(7,+o∞) 提示完成Ps课时作业（十七）和P,培优训练（三） 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 [学习目标]1.回顾确定圆的儿何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，培养直观想象和逻辑推 理的核心素养（重点）.2.会根据已知条件求圆的标准方程，强化数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 圆的定义和标准方程 要点二点与圆的位置关系 1.圆的定义 点M(xa,%)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=P2的 圆是平面上到定点的距离等于 的点 位置关系及判断方法如表所示。 的集合 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 2.圆的标准方程 点M在圆上 CMI=r (.x,-a)2+(为-b)2=r 圆心C, 半径为r】 点M在圆外 CMI>r (x-a)+(%-b)>r 标淮方程为 点M在圆内 CM<r (x-a)2+(%-b)2<7 (网心为原点 辦析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. 涂方社为】 (1)方程(x-a)+(y一b)2=m2一定表示圆. >思考：若圆的方程为(x一a)2十(y一b)=c2, () 则此圆的半径一定等于c吗？ (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径 (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标为(1， 2),半径为4. () (4)(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)”=1上. ·59· 数学选择性必修第一册课堂学案 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 圆的标准方程 【变式1】已知圆心在直线2x一y一7=0上的圆C 与y轴交于两点A(0,一4)，B(0,一2)，求圆 解题技巧 C的标准方程。 (1)用直接法求圆的标准方程的策略 ①确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半 径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先 求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标 准方程。 ②确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、 两点间距离公式，有时还用到平面几何知识， 如“弦的中垂线必过圆心”“两条孩的中垂线 的交点为圆心”等 (2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 探究二 点与圆的位置关系 没方型设所求国的方祝为化-+修b-■ 列方程组油已知条仁述立关于a,的方程如 解题技巧 解方粒如褓方型组求出a,. 判断点与圆位置关系的两种方法 符方程将a代入所设方程，将所求司方招 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径 比较大小， 【例题1】求圆心在直线x一2y一3=0上，且过点 (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程， A(2,一3)，B(一2，一5)的圆的标准方程. 比较式子两边的大小，并作出判断 【例题2】已知两点P,(3,8)和P(5,4),求以线 段PP为直径的圆的标准方程，并分别判断 点M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在圆上、在圆 内、还是在圆外？ 60 第二章直线和圆的方程 【变式2】已知点A(1,2)和圆C:(.x一a)2+(y+ 【例题3】（多选）若P是圆C:(x十3)十(y一3)=1 a)=2a,试分别求满足下列条件的实数a的 上任一点，则点P到直线y=kx一1的距离可 取值范围。 以为 () (1)点A在圆的内部： A.4 B.6 (2)点A在圆上： C.32+1 D.8 (3)点A在圆的外部. 444 【变式3】已知圆C:(x-3)+(y一4)2=1，点 A(0,一1)，B(0,1),设P是圆C上的动点，令 d=PA2+|PB2,求d的最大值及最小值. 探究三与圆有关的简单最值问题 规律总结 一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离 的最值问题，常转化为圆心到定，点或定直线 的距离问题解决，充分体现了转化与化归的 数学思想。 随堂检测学以致用 答案见P 1.(多选)已知圆的方程为(x十1)2+(y一2)2= A.圆内 B.圆外 4,则下列说法正确的是 C.圆上 D.圆上或圆外 A.此圆的圆心为（一1,2） 3.经过A(5,2),B(一1,4)两点，且圆心在x轴上 B.此圆的圆心为(1，一2) 的圆C的标准方程为 C.此圆的半径为2 D.此圆的半径为4 4.若点P(5a十1,12a)在圆(x一1)2+y=1的外 2.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1),则 部，则a的取值范围为 原点O在 ( 提示完成P课时作业（十八） ·61·2.4圆的方程 [例题3]ABC解析如图所示， 2.4.1圆的标准方程 必备知识·基础落实 要点一 1.定长 圆C:(x十3)2十(y-3)2=1的圆心坐标为（一3,3），半径为 2.(x-a)2+(y-b)2=产2x2+y2=2 1,直线y=kx一1过定，点(0，一1).由图可知，圃心C到直线 [思考]提示不一定，圆的半径应为 y=kx-1距离的最大值为√(-3-0)+(3+1)下=5，则 [辨析]解析(1)错误.当m=0时，该方程表示点(a,b) 点P到直线y=kx-1距离的最大值为5十1=6.A,B,C项 (2)正确.如果一个圆的圆心和半径确定了，那么这个圆就 中的值均不大于6，符合题意，只有D项不符合题意.故选 唯一确定了. ABC项. (3)错误.圆心坐标为（一1.一2），半径为2. [变式3]解析设P(x,y),则d=|PA+|PB1=2(.x2+ (4)错误.将(0,0)代入國的方程得(0-1)2十(0-2)>1. y2)+2. 故点在圈外 因为C02=32十42=25，即C)引=5. 答系(1)×(2)√(3)×(4)× 所以(5-1)2≤x2+y≤(5+1)2，即16≤x2+y≤36. 关键能力·素养提升 所以d的最小值为2×16+2=34，最大值为2×36+ [例题1]解析方法一设所求图的标准方程为(x一a)2十(y一 2=74. b)2=2 随堂检测·学以致田 (2-a)2+(-3-b)2=2, 1.AC解析由圆的方程(x十1)2十(y一2)=4可知圆心为 由已知条件得(-2-a)2+(-5-b)”=2, (一1,2)，半径长为2.故选AC项. a-2h-3=0. 2.B解析由圆的方程(.x一a)2十(y一1)=2a,知圆心为(a, a2+-4a+6b=2-13. a=-1, 即a2++4a十106=2-29，解得b=-2, 1),则原点与圆心的距离为√a+1.因为0<a<1,所以 4-2hb-3=0. 2=10. √十>√2a=r,即原点在圆外.故选B项. 所以所求圆的标准方程为(x十1)十(y十2)2=10. 3.解析因为同心在x轴上，所以设园的标准方程为(x一a)严+ 方法二由点A(2,-3),B(-2,一5)得线段AB的中点坐 y=产(r>0).又因为圆经过点A(5,2),B(-1,4),所以 标为(0，-0，ku=号 5-a)2+2=户，解得 a=1, 1(-1-a)2+42=2. 所以圆的标准方程为 r=2V/5. 所以线段AB的垂直平分线'的方程为y十4=一2x,即 (.x-1)2+y2=20. 2x十y十4=0， 答累(x-1)2+y2=20 解方程组 2叶二0得=一 x-2y-3=0,y=-2. 4.服团国为P在国外，所以(5a+1-D+12☑P>l,解得u>品或 所以圆心为(-1，一2)，半径r=√(2+1)+(-3+2)= 品所以a的取值范国为(-一©，一名)U(信十) √10.故所求间的标准方程为(x+1)+(y+2)2=10. [变式1门解析由圆心在直线2x一y一7=0上，可设国心C(a, )U(品+∞) 2a-7).由题意得AC=|BC, 即√0+2a-7-(-40=+2a-7-(-2)7,解得a=2, 2.4.2圆的一般方程 所以圆心坐标为(2，一3)，圆的半径r=√2+（一3+4了=5， 必备知迟·基础落实 所以圈C的标准方程为(x一2)2十(y十3)2=5. 要点 [例题2门解析设圆心C(a,),半径长为r,则由C为线段PP的 1.x2+y+Dr+Ey+F=0 中点得a=35=4.b=84=6,即圆心坐标为C4,6. 2 2 [思考]提示①A=C≠0：②B=0:③D+P-4AF>0. 又由两点间的距离公式得=CP=√(4一3)+(G一8莎=5，故 [辨析]解析(1)正确.将圆的一般方程配方，可以得到国的标 所求圆的标准方程为(x一4)2十(y一6)=5. 准方程 由于(5-4)2+(3-6)=10>5，故点M在国外： (2)错误.当满足D十一4F>0时，此方程才表示圆的 方程 由于(3-4)2+(4-6)2=5，故点V在圆上 (3)正确.由圆的一般方程的定义可知 由于(3一4)2+(5一6)2=2<5，故点P在圆内. [变式2]解析(1)因为点A在圆的内部，所以(1一a)+(2+ (4)正确.由园的一般方程在形式上的特点可知，任何一个 a)2<2a2,且a不为0，解得a<-2.5.所以a的取值范国为 圆的方程都能写成一个二元二次方程， 答案(1)√(2)×(3)√(4)/ (-oo.-2.5). (2)因为点A在圆上，所以(1-a)2十(2十a)2=2a,解得 关键能力·索养提升 a=-2.5.所以a的值为-2.5. [例题1]解析关于x,y的方程.x2+y2-21.x+十4y十21+7=0 (3)因为点A在圆的外邮，所以(1-a)2+(2十a)2>2a2,且 表示圆时，应有4+16-4(21十7)>0，解得1<-1或t> a不为0，解得a>一2.5且a≠0.所以a的取值范围为 3.所以实数t的取值范围是（一oo,一1）U(3,十©). (-2.5,0)U(0,+oo). 累(-o∞，-1)U(3,十∞) ·206-