2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离 （学生用书）【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 [学习目标]1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，强化直观想象和数学运算的 被心素养.2会求点到直线的距离与两平行直线间的葩离，提升数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点点到直线的距离、两条平行线间的距离 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 点到直线的距离 两条平行直线间的牌离 的 夹在两条平行直线 (1)点P(xo,)到直线y=kx十b的距离为 定义 点到直线的 长度 间的 的长 k十b () √1+ g-Yo) (2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值 图示 P 就是点到直线的距离. () (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到 点P(,为)到直线1： 两条平行直线l: Ax+By十C=0的距离 另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上 公式 Ax+By+C=0 (或求 d=lA+B+C.即 与4：Ax十By十C 各取一点的最短距离， () √A+B 0之间的距离d 法)】 P夜=PM,n(M为任 IG-GI (4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线 意一点，n为单位向量) √A+B 间的距离。 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 点到直线的距离 【例题1】求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3, 1)的距离为2的直线方程. 规律总结 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式， 若给出其他形式，应先化成一般式再用公式： 直线方程Ax十By十C=0(A,B不同时为0) 中A=0或B=0时，公式也成立，但由于此 时直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可 采用数形结合法求，点到直线的距离。 ·56· 第二章直线和圆的方程 【变式1】（多选）垂直于直线x十3y一5=0，且与点 【变式2】(1)已知直线5x+12y-3=0与直线 P(-1.0的距离是3的直线1的方程为 10.x十my十20=0平行，则它们之间的距离是 ( A.1 B.2 D.4 A.3x-y+9=0 B.3.x-y-3=0 c司 C.3.x-y-9=0 D.3x-y+3=0 (2)(多选)已知直线m:2x十y-1=0与直线 n平行，且两条直线之间的距离为5，则直线 n的方程可为 ( A.2x+y+4=0 B.2.x+y-4=0 C.2x+y+6=0 D.2x+y-6=0 探究二两平行线间的距离 规律总结 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平 行线间的距离公式.若直线l:y=bx十b, 探究三利用距离公式解决最值问题 l:y=kx十h(h≠b),则d=- :若直 √+I 解题技巧 :Ar+By+C=0,k2:Ar+By+C2=0 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住 A,B不全为0且G≠C),则d=1G-C 题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点 √A+B形 转动，我们很容易直观感受到两平行线间距 必须注意两直线方程中工，y的系数分别对 离的变化情况，从而求出两平行线间的距离 应相等. 的取值范围 【例题2】(1)求两平行直线l4:3x+5y+1=0和 【例题3】已知两条互相平行的直线分别过A(6, l2:6x+10y十5=0间的距离. 2)和B(一3，一1)两点，设两条平行直线间的 (2)求与两条平行直线11：2x一3y十4=0与 距离为d l2:2x一3y-2=0的距离相等的直线1的 (1)求d的取值范围： 方程 (2)当d取最大值时，求两条直线的方程. 57. 数学选择性必修第一册课堂学案 【变式3】(1)已知动点P(x,y)在直线x十y-4 【例题4】已知直线1：y=3x十3. 0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标 (1)求点P(4,5)关于l对称的点的坐标： (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线 (2)求直线41：y=x一2关于（对称的直线的 方程 方程： (3)求直线1关于点A(3,2)对称的直线的方程. 探究四 直线中的对称问题 规律总结 中8 点关于点 对称 中点坐标公乳 方线关下点 点关了直数 是汽平分 方 输对弗 车线关于克找 结形成点是 于克线时乐 几种常用的特殊对称： (1)A(a,b)关于x轴对称的.点为A'(a,一b): 【变式4】与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1) (2)B(a,b)关于y轴对称的点为B(一a,b): 对称的直线方程是 () (3)C(a,b)关于直线y=x对称的.点为C(b,a): A.3.x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 (4)D(a,b)关于直线y=一x对称的点为 C.3x-2y-12=0 D.2.x+3y+8=0 D'(-b.-a): (5)P(a,b)关于直线x=m对称的，点为 P'(2n-a,b): (6)Q(a,b)关于直线y=n对称的，点为Q'(a, 21-b). ·58· 第二章直线和圆的方程 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.点(2,5)到直线y=2x的距离为 B.(一o∞，-3) 9 R29 C3⑤ D.5 C.(-∞，-3)U(7,+o∞) 5 D.(-3,7) 2.已知直线l1:x十y+1=0,l2:x+y-1=0,则 4.已知两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),则 与之间的距离为 ( 它们之间的距离d满足的条件是 () A.1 B.√2 C.3 D.2 A.0<d≤3 B.0d≤5 3.已知点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离 大于3，则实数a的取值范围为 ( C.0<d<4 D.3≤d≤5 A.(7,+o∞) 提示完成Ps课时作业（十七）和P,培优训练（三） 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 [学习目标]1.回顾确定圆的儿何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，培养直观想象和逻辑推 理的核心素养（重点）.2.会根据已知条件求圆的标准方程，强化数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 圆的定义和标准方程 要点二点与圆的位置关系 1.圆的定义 点M(xa,%)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=P2的 圆是平面上到定点的距离等于 的点 位置关系及判断方法如表所示。 的集合 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 2.圆的标准方程 点M在圆上 CMI=r (.x,-a)2+(为-b)2=r 圆心C, 半径为r】 点M在圆外 CMI>r (x-a)+(%-b)>r 标淮方程为 点M在圆内 CM<r (x-a)2+(%-b)2<7 (网心为原点 辦析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. 涂方社为】 (1)方程(x-a)+(y一b)2=m2一定表示圆. >思考：若圆的方程为(x一a)2十(y一b)=c2, () 则此圆的半径一定等于c吗？ (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径 (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标为(1， 2),半径为4. () (4)(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)”=1上. ·59·2.3直线的交点坐标与距离公式 所以PA1=√号+3)+0-4=2. 2.3.1两条直线的交点坐标 (2)由MN|=7√2，得|MN|=√(x-2)+(-4-3)F= 7√2，即2-4x一45=0，解得五1=9或x=一5.故所求x 2.3.2两点间的距离公式 的值为9成一5. [例题3]证明将已知方程(2m一1).x十(m十3)y-(m-11)=0 必备知识·基础落实 整理为(2x十y-1)m+(-x十3y十11)=0. 要点一 2.无解无数个相交平行 由m取雀的任客，得已中0解释2 1y=-3. [思考]提员当斜率存在时，直线方程为y一1=k(x一4)(k∈ 所以无论m取什么实数，直线都经过定点(2，一3). [变式3]证明将直线方程整理为a(3x一y)+(一x十2y-1)=0, R):当斜率不存在时，直线方程为x=4. 要点二 因为直线3x-y=0与x一2y十1=0的交点为（写，号）， V(x-x)+(-y)月 所以直线(a-2)y=(3a一1)x一1恒过第一象限内的定 [思考]提示适用.当两点都在x轴上时，AB=一|：当 两点都在y轴上时，AB=y一. 点（号） [辨析]解析(1)正确.由直线交点坐标的概念可知. 所以无论a为何值，直线总经过第一象限 [例题4幻证明设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平 (2)错误.当m=号时，两直线平行。 面直角坐标系，如图所示，设A(b,c),C(a,0),则B(一a,0). (3)错误.当方程组有无数多组解时，两直线重合。 (4)错误.P1P|=a+F. (5)正确.两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以 位置可以互换，不影响计算结果 0) 答案(1)/(2)×(3)×(4)×(5)√ 因为1AB2=(a十b)2+2,AC=(a-b)2+2,AD12=+ 关键能力·素养提升 2.DC12=a2, 1 所以|ABP+|AC2=2(a2++2),AD2+|DC2=a2+ [例题门解析(1)解方程组 3x十4y一5=0：得1=3'故两 13.x+5y-6=0, +2, y=1, 所以AB+|AC2=2(AD1+|DC2). 直线的交点坐标为（号1），故遮B项。 [变式们证明如图，以A为原，点，AB边所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，其中D,E分别为AC和BC边的中点. ②联立直俄方程符2一叶40：部符二6：所以交高 41 1x-y+5=0, 坐标为(1,6)，直线x一2y=0的斜率为号，所以所求直线 的斜率为一2，所以所求直线的方程为y一6=一2(x一1)， 即2x十y-8=0.故选A项. 设A(0,0),B(c,0),C(m,n),则|AB=c. 答案()B(2)A 又由中点坐标公式，得D(受，受)，E(,受)： 4虹+y=14,得二4。所以两 [变式]解扬1D解方程组21-3y=14,手 ly=-2. 所以DE 空受-引所以DE=AB,即 条直线的交点坐标为(4，一2). 三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。 由题意知点(4，一2)也在直线4x十2y十7=0上， 随堂检测·学以致用 所以a×4+2×(-2)十7=0，解得4=-3 4 1.B解析由题意可以得到P(1,1),Q(5,5),所以PQ|= ②联2经十释释2中两钱的文立为 √（⑤-1）2+(5-1)下=4√2.故选B项. y=2, 2.BC解析在x十4y一5k=0中，令x=y,得x=y=k,将点 (一2,2).由题可设所求直线的方程为7.x十6y十m=0,因为 (k,k)代入x一ky十6=0，解得k=3或k=一2.故选BC项. 此直线过，点（一2,2），所以7×（一2）十6×2十m=0,解得 3.D解析由两，点间的距离公式得（一2一a)2+(一1一3）2 m=2,故所求的直线方程为7x十6y十2=0. 5,所以(a十2)2=3，所以a+2=±3，即a=1或a=-5.故 [例题2]解析(1)AB1=√(2-0)+(0-8)下=2√17. 选D项. 4.解析直线l的方程可化为m(.x十2y十1)一x一3y=0,令 (2)|AB引=√(-2-1)+(1-3F=√13. (3)由于点A,B均在x轴上，故有AB=|一1-5=6. 寸2。解得二.”所以直线1性过定点一3.山 -x-3y=0, (4)由于直线AB⊥x轴，故有|AB1=|一3-3=6. 答累(-3.1) [变式2]解析(1)设点P的坐标为(x,0), 2.3.3点到直线的距离公式 则有PA=√(x+3)+(0-4)F=√C+6x+25, 1PB=√(x-2)+(0-3)'=√/x-4x+7. 2.3.4两条平行直线间的距离 由PA=PB|,得z2+6x+25=x2-4x十7，解得x= 9 必备知识·基础落实 故所求点P的坐标为（一号，0）， 要点 垂线段公垂线段 ·204· [辨析]解杨(1)错误.点P(x0,)到直线y=kx十b的距离 (2)当d取最大值3√I0时，两条平行线都垂直于AB,它们 d=k二山十山，即先将直线方程化为一般式后再运用点 1 √1十 的斜率k= 2-(-1) =一3.故所求的直线方程 到直线的距离公式。 6-(-3) (2)正确.由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最 分别为y一2=一3(x一6)和y十1=一3(x十3)，即3x十y 短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征 20=0和3.x十y十10=0. (3)正确.由平行线间距高的定义可知， [变式3]解析(1)直线上的点到原，点距离的最小值即为原点到 (4)错误.两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并 直线的距离，此时(OP垂直于已知直线，则=1，所以OP 不是两平行直线上任意两点间的距离， 答案(1)×(2)√(3)√(4)× 解得所以点 所在的直线方程为y一x由心， 关键能力·素养提升 P的坐标为(2,2). [例题1门解析①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直 (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线与原，点O的距离 线过原，点时，设直线的方程为y=kr(k≠0)，即kx一y=0.由 已知得361-2，整理得7k一6的-1=0，解得k=一月 最大，因为印=2所以所求直线的斜率为一合，所以所求 √/k+1 直线的方程为y一2=-x-1D,即x+2-5=0, 或1，故所求直线方程为x十7y=0或x一y=0. ②当直线在两坐标轴上的载距相等且不为0时，其斜率为 [例题4幻解析(1)设点P关于直线L对称的点为P'(x',y),则 -1,设直线为x十y+C=0(C≠0)，由已知得4+C=2. 线段PP的中点M在直线I上，且直线PP垂直于直线， y+5=3.t+4+3. 解得C=-6或C=一2.故所求直线方程为x+y一6=0或 2 2 x+y-2=0. y-5 7-1·3=-1, 好22片以成P的坐标 综上，所求直线方程为x十7y=0或x一y=0或x十y一6= 0或x+y-2=0. 为（一2,7）. [变式1门AB解析设与直线x十3y-5=0垂直的直线的方程 为3.x一y十m=0,则由点到直线的距离公式知，点P到直线 (2)由/y=3r+3, 21 得 即直线4与（相交于点 3r-y+m=0的距离d=3X-1）-0+ml=m-3 y=x-2, 9 y=- 21 √3+(-1)7 10 3①，所以一3引=6，即m一3=士6，得m=9或m=一3，故 P(-号，-号）在直线4上取点M1,-1,易来M关于 5 所求直线1的方程为3.x一y+9=0或3.x-y-3=0.故选 直线1时称的点Q的坐标为（一吕，号》， AB项. 5 [例题2]爵团(1)由题意，将6的方程化为3x十5y十号-0， 由两点式可得直线PQ的方程为2 x十2 -165即所 所以d 1一2 3 + 5+2 2 334 /32+5√3468 求直线的方程为7x十y十22=0. (3)设直线1关于点A(3,2)对称的直线为1， (2)由题意设所求直线1的方程为2x一3y十C=0(C≠4且 C≠一2).由直线【与两条平行直线的距离相等，可得 由1∥1可设1'：y=3x十b(b≠3). C-4L=C+2L,即C-4=C+2,解得C=1,故直 由点到直线的距离公式得3X3-2+=13×3-2+3到 V2+3√2+3 √32+(-1)w√3+(-1)2 线1的方程为2x一3y十1=0. 即b+71=10,解得b=-17或b=3(含去)， [变式2习服团1)由两条直线手行可得亮-是解得m=24。 所以直线的方程为y=3x-17,即所求直线的方程为3 y-17=0. 即5.x+12y+10=0,由两条平行线间的距离公式得d= [变式4]D解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线 -3-10=1.故选A项。 2x十3y一6=0平行，则设所求直线方程为2x+3y十C=0. √/5+12 在真线2x十3y-6=0上任取一，点(3,0)，其关于点(1，一1) (2)根据题意可设直线n的方程为2x十y叶入=0，则2士l 对称的点为（一1，一2），而点（一1，一2）必在所求直线上，由 5 2×(-1)+3×(一2)+C=0,得C=8.故所求直钱方程为 5,解得A=4我A=一6，所以直线n的方程为2x十y十4=0 2x+3y十8=0.故选D项. 或2r十y-6=0.故选AD项. 随堂检测·学以致用 俗案(1)A(2)AD [例题3]解析(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直 1.A解析直线y=2x可化为2x一y=0,由点到直线的距离 线间的距离最大，即dx=|AB|=√(6+3)2+(2+1)F= 3√10：当两条平行线各自绕点B,A递时针旋转时，距离逐 公成得部店复收选A项 渐变小，越来越接近于0，所以0d≤3√I0,即所求的d的 2.B解析由题意和距离公式可得d=1一一》=反.故选 1+1 取值范围是(0,310们. B项 3.C解折由题意得3a-6>3,即13a-61>15.故3a-6> √32+42 15或3a-6<-15,即a>7或a<-3.故进C项. 4,B解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大 为AB=5,所以0<d≤5.故选B项. ·205