2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离公式（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.直线l的方程为Ax十By十C=0,若l过原点 3.如果两点A(,”)和B(x,2)的坐标分别满足 和第二、四象限，则 () 3一5y+6=0和3x一5y2十6=0，那么经过 A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 这两点的直线方程是 C.C=0,AB<0 D.C=0,AB>0 4.设直线4：(a+1)x+3y+2=0,直线l:x+ 2.直线5x一2y一10=0在x轴上的截距为a,在 2y十1=0.若∥l2,则a= :若1⊥ y轴上的截距为b,则 l2,则a= A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=-5 D.a=-2,b=5 提示完成P课时作业（十五） 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 [学习目标]1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升数学运算的核心素养.2.会根据方程解的个 数判定两条直线的位置关系，培养逻辑推理的核心素养.3，探索并掌握平面上两点问的距离公式并会应用，提 升数学运算的核心素养（重点），4.会用坐标法证明简单的平面几何问题，提升直观想象的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一两条直线的交点 Ax+By+C=0. 方程组 L,两直线的交点 A:+B:y+C=0 一组 无数组 的解 设直线l:A1x十By十C=0(A,B不同时为 直线与：的公共点的个数 一个 零个 0)与直线l2:A2x十B2y十C2=0(A2,B2不同时 直线与的位置关系 重合 为0)的交点为P,则点P既在直线上，也在 >思考：观察下面的图象，发现直线都经过点(4， 直线2上，所以点P的坐标既满足直线，的方 1),怎么表示出经过M点的直线方程？ 程Ax十By十C=0,也满足直线的方程 Ax十By十C=0,即点P的坐标是方程组 Ax+By十C=0, 的解，解这个方程组就可 A2x+By+C=0 以得到这两条直线的交点坐标 2.两直线的位置关系 在同一平面内的两直线L1:A1x十B,y十C,=0, l2:Ax十B2y+C2=0,直线l与l2的位置关 系如表所示： ·52· 第二章直线和圆的方程 要点二两点间的距离公式 辨析 点P(,M),P(2必)之间的距离公式PP 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线 注意：(1)此公式与两点的先后顺序无关 方程所组成的二元一次方程组的解.() (2)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离 (2)无论m为何值，.x一y十1=0与x一2y+3= IOP|=√x2+y. 0必相交 () >思考：当两点A(xy),B(x22)都在同一坐 (3)若两直线的方程组成的方程组有解，则两 标轴上时，两点间的距离公式还适用吗？ 直线相交 () (4)点P(0,a)和点P2(b,0)之间的距离为 a-b. () (5)在两点间的距离公式中x2与x1与y 的位置可以互换，不影响计算结果.() 关键能力素养提升 答案见P 探究一两直线的交点问题 【变式1】(1)三条直线a.x+2y+7=0,4x+y 14和2x一3y=14相交于一点，求a的值. 规律总结 (2)求过两条直线3x十4y一2=0与2.x十y+ 2=0的交点且垂直于直线6.x一7y-3=0的 (1)求两相交直线的交，点坐标，关键是解方 直线方程， 程组 (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消 元法和加减消元法】 【例题1】(1)已知直线l1:3x十4y-5=0与l2:3x十 5y一6=0相交，则它们的交点坐标为 ( A.（-1,) B(令 c(1,3) D(-1,-3》 (2)经过直线2x-y十4=0与x-y十5=0的 交点，且垂直于直线x一2y=0的直线方程为 ( ) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 ·53 数学选择性必修第一册课堂学案 探究二两点间的距离 探究三直线过定点问题 解题技巧 解题技巧 关于两点间距离公式的应用问题通常有两类： 解含参数的直线恒过定点问题的策略 一类是已知两点求距离，可直接套用两点间的 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到 距离公式；另一类是已知两点间的距离求点的 两条不同的直线，然后验证这两条直线的交 坐标，可设出未知数，逆用两，点间的距离公式 点就是题目中含参数直线所过的定点，从而 列出方程（组）求解.使用公式时常结合根与系 问题得解 数的关系变形应用，要善于从公式到几何意义 (2)含有一个参数的二元一次方程若能整 的逆用，借助数形结合的思想解题 理为A1x十B1y十C1十A(A2.x十By+C)= 0,其中入是参数，这就说明了它表示的直线 【例题2】求下列两点间的距离. 必过定点，并且其定点可以由方程组 (1)A(2,0),B(0,8):(2)A(1,3),B(-2,1): Aix+By+C=0, (3)A(5,0),B(-1,0):(4)A(a,3),B(a,-3). 解得.若整理成y一% A2x+B:y+C=0 k(x一x)的形式，则表示的所有直线必过定 点(xa%). 【例题3】求证：不论m取什么实数，直线(2m 1)x十(m十3)y-(m-11)=0都经过一定 点，并求出这个定点坐标. 【变式2】(1)已知点A(一3,4)，B(2,w3),在x轴 上找一点P,使PA=|PB,并求PA的值 (2)已知点Mx,一4)与点N(2,3)间的距离 为7√2，求x的值 【变式3】已知直线(a-2)y=(3u-1)x-1,求 证：无论a为何值，直线总经过第一象限。 54 第二章直线和圆的方程 探究四运用坐标法解决平面几何问题 【变式4】求证：三角形的中位线长度等于第三边 长度的一半. 答题模板 运用坐标法解决平面几何问题常见的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标 轴上； (2)用坐标表示有关的量： (3)进行有关的代数运算： (4)把代数运算的结果“翻译”成几何结论。 【例题4】在△ABC中，AD是BC边上的中线.求 证：|AB2+|AC=2(AD2+|DC2). 4444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见Pm 1.直线y-x上的两点P,Q的横坐标分别是1， 3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,则a 5,则1PQ= ( 的值为 () A.4 B.4√2C.2 D.22 A.1 B.5 2.(多进)若两直线x十4y一5k=0与x一ky十 C.-1或5 D.1或-5 6=0的交点在直线y=x上，则k的值为 4.不论m为何实数，直线L:(m一1)x十(2n-3)y+ ( m=0恒过定点 A.-3B.-2C.3 D.2 提示完成P:课时作业（十六） ·55·2.3直线的交点坐标与距离公式 所以PA1=√号+3)+0-4=2. 2.3.1两条直线的交点坐标 (2)由MN|=7√2，得|MN|=√(x-2)+(-4-3)F= 7√2，即2-4x一45=0，解得五1=9或x=一5.故所求x 2.3.2两点间的距离公式 的值为9成一5. [例题3]证明将已知方程(2m一1).x十(m十3)y-(m-11)=0 必备知识·基础落实 整理为(2x十y-1)m+(-x十3y十11)=0. 要点一 2.无解无数个相交平行 由m取雀的任客，得已中0解释2 1y=-3. [思考]提员当斜率存在时，直线方程为y一1=k(x一4)(k∈ 所以无论m取什么实数，直线都经过定点(2，一3). [变式3]证明将直线方程整理为a(3x一y)+(一x十2y-1)=0, R):当斜率不存在时，直线方程为x=4. 要点二 因为直线3x-y=0与x一2y十1=0的交点为（写，号）， V(x-x)+(-y)月 所以直线(a-2)y=(3a一1)x一1恒过第一象限内的定 [思考]提示适用.当两点都在x轴上时，AB=一|：当 两点都在y轴上时，AB=y一. 点（号） [辨析]解析(1)正确.由直线交点坐标的概念可知. 所以无论a为何值，直线总经过第一象限 [例题4幻证明设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平 (2)错误.当m=号时，两直线平行。 面直角坐标系，如图所示，设A(b,c),C(a,0),则B(一a,0). (3)错误.当方程组有无数多组解时，两直线重合。 (4)错误.P1P|=a+F. (5)正确.两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以 位置可以互换，不影响计算结果 0) 答案(1)/(2)×(3)×(4)×(5)√ 因为1AB2=(a十b)2+2,AC=(a-b)2+2,AD12=+ 关键能力·素养提升 2.DC12=a2, 1 所以|ABP+|AC2=2(a2++2),AD2+|DC2=a2+ [例题门解析(1)解方程组 3x十4y一5=0：得1=3'故两 13.x+5y-6=0, +2, y=1, 所以AB+|AC2=2(AD1+|DC2). 直线的交点坐标为（号1），故遮B项。 [变式们证明如图，以A为原，点，AB边所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，其中D,E分别为AC和BC边的中点. ②联立直俄方程符2一叶40：部符二6：所以交高 41 1x-y+5=0, 坐标为(1,6)，直线x一2y=0的斜率为号，所以所求直线 的斜率为一2，所以所求直线的方程为y一6=一2(x一1)， 即2x十y-8=0.故选A项. 设A(0,0),B(c,0),C(m,n),则|AB=c. 答案()B(2)A 又由中点坐标公式，得D(受，受)，E(,受)： 4虹+y=14,得二4。所以两 [变式]解扬1D解方程组21-3y=14,手 ly=-2. 所以DE 空受-引所以DE=AB,即 条直线的交点坐标为(4，一2). 三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。 由题意知点(4，一2)也在直线4x十2y十7=0上， 随堂检测·学以致用 所以a×4+2×(-2)十7=0，解得4=-3 4 1.B解析由题意可以得到P(1,1),Q(5,5),所以PQ|= ②联2经十释释2中两钱的文立为 √（⑤-1）2+(5-1)下=4√2.故选B项. y=2, 2.BC解析在x十4y一5k=0中，令x=y,得x=y=k,将点 (一2,2).由题可设所求直线的方程为7.x十6y十m=0,因为 (k,k)代入x一ky十6=0，解得k=3或k=一2.故选BC项. 此直线过，点（一2,2），所以7×（一2）十6×2十m=0,解得 3.D解析由两，点间的距离公式得（一2一a)2+(一1一3）2 m=2,故所求的直线方程为7x十6y十2=0. 5,所以(a十2)2=3，所以a+2=±3，即a=1或a=-5.故 [例题2]解析(1)AB1=√(2-0)+(0-8)下=2√17. 选D项. 4.解析直线l的方程可化为m(.x十2y十1)一x一3y=0,令 (2)|AB引=√(-2-1)+(1-3F=√13. (3)由于点A,B均在x轴上，故有AB=|一1-5=6. 寸2。解得二.”所以直线1性过定点一3.山 -x-3y=0, (4)由于直线AB⊥x轴，故有|AB1=|一3-3=6. 答累(-3.1) [变式2]解析(1)设点P的坐标为(x,0), 2.3.3点到直线的距离公式 则有PA=√(x+3)+(0-4)F=√C+6x+25, 1PB=√(x-2)+(0-3)'=√/x-4x+7. 2.3.4两条平行直线间的距离 由PA=PB|,得z2+6x+25=x2-4x十7，解得x= 9 必备知识·基础落实 故所求点P的坐标为（一号，0）， 要点 垂线段公垂线段 ·204·