2.2.3 直线的一般式方程（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章直线和圆的方程 随堂检测学以致用 答案见P 1.经过两点(5,0)，(2，一5)的直线方程为( 3.过点P(4,一3)且在坐标轴上截距相等的直 A.5.x+3y-25=0 线有 () B.5.x-3y-25=0 A.1条 B.2条 C.3x-5y-25=0 C.3条 D.4条 D.5.x-3y+25=0 4.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平 2.在x轴、y轴上的截距分别为4，一3的直线方 分线的方程为 程为 ( A.4.x+2y=5 B.4.x-2y=5 A+芳= C.x+2y=5 D.x-2y=5 c青-常=1 提示完成P课时作业（十四） 2.2.3直线的一般式方程 [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程，培养数学运算的核心素养（重 点)，2.会进行直线方程的五种形式间的转化，提升逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点直线的一般式方程 >思考：当A=0或B=0时，方程Ax十By十 C=0分别表示什么样的直线？ 1.二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面 直角坐标系中一个点的 ,这个方程的 全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方 辨析 程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 条 .在平面直角坐标系中，任意一个 (1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程. () 二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的 (2)当A,B同时为零时，方程Ax十By十C=0 直线：反之，直角坐标平面上的任意一条直线 也可表示为一条直线. () 可以用一个确定的二元一次方程表示 (3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的 任意一条直线。 () 2.一般式方程的概念：把关于x,y的二元一次方 (4)对于二元一次方程Ax十By十C=0,当A 程 (其中A,B不同时为0)叫做 0,B≠0时，方程表示斜率不存在的直线. 直线的 ,简称 ·49· 数学选择性必修第一册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 直线的一般式方程 【变式1】根据下列各条件写出直线的方程，并化 为一般式 规律总结 (1)斜率是-号，且经过点A(8,-6)的直线 直线方程最终都可以转化为一般式，反过来， 方程为 直线的一般式方程也可以向其他形式转化， 但它的参数要有限制. (2)在x轴和y轴上的截距分别是和一3的 (1)若A≠0，B=0,则直线垂直于x轴，它不 直线方程为 能转化为其余的四种形式. (3)经过点P1(3,一2)，P(5,-4)的直线方 (2)若B≠0，A=0,则直线与y轴垂直，它只 程为 能转化为点斜式和斜截式 (3)若AB≠0，C=0,则直线的方程可转化为 点斜式、斜截式和两点式，不能用截距式表示 (4)若ABC≠0，则直线的方程可转化为任何 探究二 利用一般式解决直线的平行与垂直 形式 问题 【例题1】根据下列条件分别写出直线的方程，并 化为一般式方程. 解题技巧 (1)斜率是3，且经过点A(2,3): (1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的 (2)斜率为4，在y轴上的截距为一1： 策略 (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点： 已知直线l1:A1x十By十C=0(A,B不同 (4)在x,y轴上的截距分别是3，一1 时为0)，l2:A2x+B2y十C2=0(A,B2不同 时为0). ①l∥l4台AB-AB=0且BC2-BC≠0 或AC2一A2C≠0. ②l1⊥l2曰A1A2+B1B=0. (2)过一点与已知直线平行（垂直）的直线方 程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直） 的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜 率，由点斜式写方程 ②可利用如下待定系数法：与直线Ax十By十 C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设 为Ax十By十C=0(C≠C),再由直线所过 的点确定C:与直线Ar十By十C=0(A,B不 同时为O)垂直的直线方程可设为B.x一Ay十 C2=0,再由直线所过的点确定C 50 第二章直线和圆的方程 【例题2】判断下列直线的位置关系. 【例题3】设直线1的方程为2x十(k一3)y一2k+ (1)l1:2x-3y+4=0和l2:3.x+2y+4=0: 6=0(k≠3)，分别根据下列条件确定k的值. (2)l1:2x-3y+4=0和l2:-2x+3y+4=0: (1)直线1的斜率为一1： (3)l1:2.x-3y十4=0和l2:-4.x十6y-8=0: (2)直线1在x轴、y轴上的截距之和等于0. (4)l1:(-a一1)x+y=5和2：2x+(2a十2)· y+4=0. 【变式2】已知直线4：ax十2y+6=0和直线l2:x+ (a-1)y+a2-1=0. (1)若l1∥a,求a的值： (2)若1⊥l2,求a的值. 【变式3】直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求α的值： (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围。 探究三直线一般式方程的应用 答题模板 求含参直线方程中参数的步骤 明奈的 它道明确参：个放*、哦的桑盘及份瓷列 1)衰示直线旷，4，不问时为0 2补车为-音50： 列式 3在r上的致距为-号10， 4:在物上的距为- 方(B*0 铛论 解方程或不等式求值检验是否符会遇 念得出参欲的侦花国) ·51· 数学选择性必修第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.直线l的方程为Ax十By十C=0,若l过原点 3.如果两点A(,”)和B(x,2)的坐标分别满足 和第二、四象限，则 () 3一5y+6=0和3x一5y2十6=0，那么经过 A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 这两点的直线方程是 C.C=0,AB<0 D.C=0,AB>0 4.设直线4：(a+1)x+3y+2=0,直线l:x+ 2.直线5x一2y一10=0在x轴上的截距为a,在 2y十1=0.若∥l2,则a= :若1⊥ y轴上的截距为b,则 l2,则a= A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=-5 D.a=-2,b=5 提示完成P课时作业（十五） 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 [学习目标]1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升数学运算的核心素养.2.会根据方程解的个 数判定两条直线的位置关系，培养逻辑推理的核心素养.3，探索并掌握平面上两点问的距离公式并会应用，提 升数学运算的核心素养（重点），4.会用坐标法证明简单的平面几何问题，提升直观想象的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一两条直线的交点 Ax+By+C=0. 方程组 L,两直线的交点 A:+B:y+C=0 一组 无数组 的解 设直线l:A1x十By十C=0(A,B不同时为 直线与：的公共点的个数 一个 零个 0)与直线l2:A2x十B2y十C2=0(A2,B2不同时 直线与的位置关系 重合 为0)的交点为P,则点P既在直线上，也在 >思考：观察下面的图象，发现直线都经过点(4， 直线2上，所以点P的坐标既满足直线，的方 1),怎么表示出经过M点的直线方程？ 程Ax十By十C=0,也满足直线的方程 Ax十By十C=0,即点P的坐标是方程组 Ax+By十C=0, 的解，解这个方程组就可 A2x+By+C=0 以得到这两条直线的交点坐标 2.两直线的位置关系 在同一平面内的两直线L1:A1x十B,y十C,=0, l2:Ax十B2y+C2=0,直线l与l2的位置关 系如表所示： ·52·轴上的戴距为一11，所以直线与坐标轴围成的三角形的面 叔s号×号×1-1川=器. 《③)由两点式方程可知，所农直钱方程为气号 多化为一般式方程为十3y一1=0 随堂检测·学以致用 答3(1)x+2y十4=0(2)2.x-y-3=0(3)x+y-1=0 1.B贤团经址两点(5,0，(2，-5)的直线方程为号号。 [例题2】团(1)由题知，号≠号，故4与长不年行 ,整理得5x一3y-25=0.故选B项 又因为2×3+(-3)×2=0，故4⊥12. 2.C爵团由题意可得直线方程为千十兰3=1，即千- 2由题知，昌=号≠子：故4/ 3 1.故选C项. (3)由题知，乌=弓=4名=宁所以山与6堂合 3.B解析当直线过原，点时，显然符合条件：当直线不过原，点 (4)由题知，当a=一1时，l:y=5,l2:x十2=0，故l4⊥ 时，设所求直线的方程为二十义=1，把点P(4,一3)代入方 当a≠-1时，一21-2十2不成立，故4与6不平标， 程得a=1.因而所求直线有2条.故选B项. 又因为(-a-1)×2+(2a+2)×1=0,所以14⊥l. 4B层团线段AB的中点坐标为(2,2).周为直线AB的针 综上知，⊥l, 单为已昌一·所以线段AB的垂直平分的针率=2，则 [变式2]竖扬1)若4/，则a(a,-1)一1X2=0, a(a2-1)-1×6≠0， 线段AB的垂直平分线的方程为y一 3 =2(x一2)，化简得 心一a一20解得a=-1,故当a=-1时，山/ 即a(a-1)≠6. 4x一2y=5.故选B项 （2)周为1，所以a叶2a-1)=0,解得u=号， 2.2.3直线的一般式方程 故当a=号时h1h. 必备知识·基础落实 [例题3]解析(1)因为≠3，所以直线1的方程可化为y= 2 2 要点 3十2，由题意得一二3一1，解得=5. 1.坐标直线 2.Ax十By十C=0一般式方程一般式 (2)由题意知直线1的方程可化为产3十音=1， [思考]要园0考A=0,此时B0,方程化为y=一后表示 则k一3十2=0，解得k=1. [变式3]解析(1)当a-一1时，直线1的方程为y十3-0，显然 与y轴垂直的一条直线 不符合题意： ②者B=0,此时A0,方程化为=一景，表示与x轴垂 当u≠一1时，令x=0,则y=4-2, 直的一条直线· 令y=0,则x=0二2， a+1 [辨析]解析(1)错误.直线的一般式方程为Ax十By十C=0, 因为【在两坐标轴上的裁距相等， 其中A,B不同时为0，当C=0时，一般式不能化为截距式. 所以4一2-名异解得a=2或4=0 (2)错误.当A,B都同时为零时，若C一0，则方程对任意的 综上，a的值为2或0. x,y都成立，故方程表示整个坐标平面：若C≠0，则方程无 (2)直线l的方程可化为y=一(a十1)x十a一2，故要使l不 解，此时方程Ax十By十C=0不表示任何图形. (3)正确.由一般式方程的概念可知 (4)错误.当A=0,B≠0时，方程表示斜率为0的直线. 是注第二桑限只省后20，解释≤一引所以的 取值范围为（一∞，一1门. 答系(1)×(2)×(3)√(4)× 随堂检测·学以致用 关键能力·素养提升 1.D解析因为直线1过原点，所以C=0,又直线过第二、四象 [例题1]解析(1)由，点式方程可知，所求直线方程为y一3= 限，所以斜率为负值，即飞=一合 B <0,所以AB>0.故选 √3(x一2)，化为一般式方程为v3x-y十3-2√3=0. (2)由斜裁式方程可知，所求直线方程为y=4x一1，化为一 D项. 般式方程为4r-y一1=0. 2.B解析令x=0,得y=一5，令y=0,得x=2.所以a=2, b=一5.故选B项. (③)由两点式方程可知，所求直线方程为已-二 3解析因为两点确定一条直线，所以点A.B均满足的直线方 化为一般式方程为2x十y一3=0. 程是3.x-5y十6=0. 答率3r-5y+6=0 (4)由藏距式方程可得，所求直线方程为号+片=1，化为 4.解析将直线4：(a十1)x+3y+2=0,直线：x+2y+1=0, 一般式方程为x-3y-3=0. 分别化为针黄式方程为y=-告。一号y=一方一宁 [变式1门解析(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y十6= 立(r一8)，化为一般式方程为x十2y+4=0. 若制/k,则-宁=一之解得a=之若4上，则-宁× 3 (2)由藏距式方程可知，所求直线方程为号+点=1，化为 （-）=-1,解得a=-7。 一般式方程为2x一y一3=0. 系一 -7 ·203·