2.2.2 直线的两点式方程（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 【例题3】(1)当a为何值时，直线l:y=-x十2a 【变式3】求满足下列条件的m的值. 与直线l:y=(a2-2)x十2平行？ (1)直线l1:y=-x十1与直线l2:y=(m2 (2)当a为何值时，直线4：y=(2a-1)x十3 2)x十2m平行； 与直线l:y=4x-3垂直？ (2)直线l:y=-2x+3与直线le:y=(2m 1).x-5垂直. 随堂检测学以致用 答案见P 1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截 4.求证：不论m为何值，直线1：y=(m一1)x十 式方程的是 2m十1总过第二象限. A.x=3 B.y=-5 C.2y=x D.x=4y-1 2.方程y=k(x-2)表示 A.通过点（一2,0）的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 3.已知直线l的方程为y一m=(m一1)(x十1)， 若l在y轴上的截距为7，则m= 提示完成Pm课时作业（十三） 2.2.2 直线的两点式方程 [学习目标]1.根据确定直线位置的儿何要素，探索并掌握直线的两点式方程，掌握数学运算的核心素养（重 点)，2.了解直线的戴距式方程的形式特征及适用范围，培养数学抽象的核心素养。 ·46· 第二章 直线和圆的方程 必备知识基础落实 答案见P 要点 直线的两点式方程和截距式方程 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 名称 两点式 截距式 (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式 两点P(·) 在r·y轴上的截 方程表示. () 条件 P2(x2,3为)（无1≠2， 距分别为a,b ”≠为》 (a≠0.b≠0) (2)方程y二业=二4和方程(y一y)(2 y%一y12一x1 x)=(x一x)(一y)适用的范围相同. 示意图 () (3)不经过原点的直线都可以用截距式方程 表示 () 方程 y-yx一 y-y x-a +=1 a (4)过点(1,3)和(1,5)的直线可以用两点式方 适用范围 程来表示 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 直线的两点式方程 【变式1】过点A(2,1)和点B(a,2)的直线方程为 答题模板 求过已知两点的直线方程的步骤： (1)设已知的两点P(,M),P(x2,),看 是否满足卡2，y≠2，若满足则转入步骤 (2),否则不能写出两点式方程： (2)代入两点式方程公式y出=二4，即 探究二 直线的截距式方程 得所求直线的方程 【例题1】已知三角形的顶点是A(0,4),B(一2， 规律总结 6),C(一8,0)，求AC边所在直线的方程，以 求直线的戴距式方程的方法和注意点： 及该边的中线所在直线的方程. (1)由已知条件确定横、纵裁距； (2)若两裁距为零，则直线过原，点，直接写出方程 即可（此种情形极易遗漏）：若两截距不为零，则代 入公式话十疗1中，可得所求的直线方程： a (3)如果题目中出现直线在两坐标轴上的截 距相等，截距互为相反数或在一坐标轴上的 截距是另一坐标轴上的裁距的多少倍等条件 时，采用截距式求直线方程一定要注意“零截 距”的情况 47 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题2】求过点(4，一3)且在两坐标轴上的截距 【例题3】已知△ABC的一个顶点是A(3,一1)， 的绝对值相等的直线1的方程。 ∠ABC,∠ACB的平分线方程分别是x=0, y=x. (1)求直线BC的方程： (2)求直线AB的方程，并求直线AB与坐标 轴围成的三角形的面积. 【变式2】求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和 为0的直线方程 【变式3】已知△ABC中，A(1,-4),B(6,6), C(-2,0). (1)求△ABC中平行于BC边的中位线所在 探究三直线方程的综合应用 直线的方程并化为截距式方程： (2)求BC边的中线所在直线的方程，并求出 解题技巧 此直线与坐标轴围成的三角形的面积. 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程， 一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直 线的斜率 (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的，点斜 式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的 一个点或者截距 (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两，点式 方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式 方程.若解决直线与坐标轴围成的三角形的 面积问题时，一般选用截距式方程，设直线在 x,y轴上的截距为a,b,则三角形的面积S 合ao1. ·48· 第二章直线和圆的方程 随堂检测学以致用 答案见P 1.经过两点(5,0)，(2，一5)的直线方程为( 3.过点P(4,一3)且在坐标轴上截距相等的直 A.5.x+3y-25=0 线有 () B.5.x-3y-25=0 A.1条 B.2条 C.3x-5y-25=0 C.3条 D.4条 D.5.x-3y+25=0 4.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平 2.在x轴、y轴上的截距分别为4，一3的直线方 分线的方程为 程为 ( A.4.x+2y=5 B.4.x-2y=5 A+芳= C.x+2y=5 D.x-2y=5 c青-常=1 提示完成P课时作业（十四） 2.2.3直线的一般式方程 [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程，培养数学运算的核心素养（重 点)，2.会进行直线方程的五种形式间的转化，提升逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点直线的一般式方程 >思考：当A=0或B=0时，方程Ax十By十 C=0分别表示什么样的直线？ 1.二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面 直角坐标系中一个点的 ,这个方程的 全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方 辨析 程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 条 .在平面直角坐标系中，任意一个 (1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程. () 二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的 (2)当A,B同时为零时，方程Ax十By十C=0 直线：反之，直角坐标平面上的任意一条直线 也可表示为一条直线. () 可以用一个确定的二元一次方程表示 (3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的 任意一条直线。 () 2.一般式方程的概念：把关于x,y的二元一次方 (4)对于二元一次方程Ax十By十C=0,当A 程 (其中A,B不同时为0)叫做 0,B≠0时，方程表示斜率不存在的直线. 直线的 ,简称 ·49·由题意知，l在y轴上的哉距为一2，所以直线I在y轴上 整理得x+(2-a)y十a-4=0, () 的截距为一2. 当a=2时，(*)式可化为x一2=0 由斜载式可得直线1的方程为y=一2x一2. 综合①②可知，所求直线方程为x十(2一a)y十a一4=0. [变式2]解析图为h⊥1，直线l:y=一2x十3， 答案x十(2-a)y十a一4=0 所以1的斜率为号 [例题]解析设直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b 因为1与：在y轴上的载距互为相反数，直线l:y=4x ①当u≠0，b-0时，设1的方程为后+若=l 2,所以1在y轴上的截距为2. 所以直线1的方程为y=之十2 因为点一3》在直线上，所以合十房-1 因为l=b,所以若a=b,则a=b=1,直线方程为x十y=1: [例题3]解析(1)由a2-2=一1，且2a≠2，解得a=一1.故当 若a=一b,则a=7,b=一7，直线方程为x一y=7. a=-1时，l∥l. ②当d==0时，直线过原点，且过，点(4，一3)， （2)由4(2a-)=-1,解得a=冬故当a=音时h上h: 所以直线方程为3x十4y=0. [变式3]解析(1)因为∥2，所以两直线的斜率相等.所以 综上可知，所求直线1的方程为x十y一1=0或x一y一7=0 m2-2=-1且2m≠1，所以m=±1. 或3x+4y=0. (2)因为4⊥1，所以(-2)×(21-1)=-1，所以m= 3 [变式2]解析①当直线的截距均不为0时，设直线的方程为 随堂检测·学以致用 十品。=1，将点2，)代入得a=-2,此时直线方程为 a 1.B解析直线的斜截式方程为y=kx十b,只有B项符合.故 y+2=0: 选B项， ②当直线的栽距均为0时，直线过原点，且过点(2,4)， 2.C解析由方程可知，直线通过点(2,0)，且直线斜率存在， 故直线方程为2.x一y=0. 故直线不垂直于x轴.故选C项. 综上知，所求直线方程为2x一y=0或x一y十2=0. 3.解析因为直线1的方程可化为y=(m一1)x十2m-1,所以 [例题3]解析△ABC的示意图如图所示. 2n一1=7，解得m=4. (I)因为∠ABC,∠ACB的平分线方程分 答率4 别是x=0,y=x, 4.证明因为直线1的点斜式方程为y一3=(m-1)(x十2)，所 所以AB与BC关于x=0对称，AC与B( 以直线1过定点（一2,3）.由于点（一2.3）在第二象限，故直 关于y=x对称 线l总过第二象限。 因为点A(3,一1)关于x=0的对称点A'(一3，一1)在直 2.2.2直线的两点式方程 线BC上，A关于y=x的对称点A(一1,3)也在直线BC上 所以由两点式求得直线BC的方程为y=2+5. 必备知识·基础落实 (2)因为直线AB与直线BC关于x=0对称，所以直线AB 要点 与BC的斜率互为相反数， 斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点 由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为一2， [辨析]解析(1)正确.能用两点式方程表示的直线必不垂直于 又因为点A的坐标为(3，一1)， 坐标轴，从而斜率一定存在，即可用点斜式方程表示 所以直线AB的方程为y-(-1)=-2(.x-3),即2+y-5=0 (2)错误.方程二业=二成立的前提是y≠”且 2一y川x生一x 所以直线AB在x轴上的裁距为号，在y轴上的藏距为5， 1≠x. (3)错误.垂直于坐标轴的直线不可以用藏距式方程表示， 所以直线AB与坐标轴国成的三角形的面积为S=号× (4)错误.因为1一1=0不能作分母，故不能用两点式方程 来表示 5×号-9 一4 答案(1)/(2)×(3)×(4)× [变式3]解析(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的 关键能力·素养提升 [例题]解析由直线的两点式方程得，AC边所在直线的方程 连线周为线段AB,AC的中点坐标分别为（号），(- 为)名0整理得x一2y十8=0.设AC边的中点为 2),所以平行于C边的中位线所在直线的方程为号 x=8+0 2 三一4， x+2 D(x,y),则 y=4-2. 即D(一4,2)，AC边上的中 7 ,整理得6x一8y-13=0,化为藏距式方程为3 2 大2 线是顶点B与AC边中点D所连线段，由两点式得直线 BD的方程为合号2气叁理可得2x一十10 31. 8 0,即为AC边的中线所在直线的方程. (2)因为BC边的中点为(2,3)，所以BC边的中线所在直线 [变式1门解析①当a=2时，A,B两，点的横坐标均为2，直线 AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x=2,即x一2=0. 的方程为营号，即1在一y一1=0，化为藏距式方程 @省学2时，由直线方程的两点式可得号-二号， 为量十六=1，所以此直线在r轴上的藏距为号，在y 7 ·202· 轴上的戴距为一11，所以直线与坐标轴围成的三角形的面 叔s号×号×1-1川=器. 《③)由两点式方程可知，所农直钱方程为气号 多化为一般式方程为十3y一1=0 随堂检测·学以致用 答3(1)x+2y十4=0(2)2.x-y-3=0(3)x+y-1=0 1.B贤团经址两点(5,0，(2，-5)的直线方程为号号。 [例题2】团(1)由题知，号≠号，故4与长不年行 ,整理得5x一3y-25=0.故选B项 又因为2×3+(-3)×2=0，故4⊥12. 2.C爵团由题意可得直线方程为千十兰3=1，即千- 2由题知，昌=号≠子：故4/ 3 1.故选C项. (3)由题知，乌=弓=4名=宁所以山与6堂合 3.B解析当直线过原，点时，显然符合条件：当直线不过原，点 (4)由题知，当a=一1时，l:y=5,l2:x十2=0，故l4⊥ 时，设所求直线的方程为二十义=1，把点P(4,一3)代入方 当a≠-1时，一21-2十2不成立，故4与6不平标， 程得a=1.因而所求直线有2条.故选B项. 又因为(-a-1)×2+(2a+2)×1=0,所以14⊥l. 4B层团线段AB的中点坐标为(2,2).周为直线AB的针 综上知，⊥l, 单为已昌一·所以线段AB的垂直平分的针率=2，则 [变式2]竖扬1)若4/，则a(a,-1)一1X2=0, a(a2-1)-1×6≠0， 线段AB的垂直平分线的方程为y一 3 =2(x一2)，化简得 心一a一20解得a=-1,故当a=-1时，山/ 即a(a-1)≠6. 4x一2y=5.故选B项 （2)周为1，所以a叶2a-1)=0,解得u=号， 2.2.3直线的一般式方程 故当a=号时h1h. 必备知识·基础落实 [例题3]解析(1)因为≠3，所以直线1的方程可化为y= 2 2 要点 3十2，由题意得一二3一1，解得=5. 1.坐标直线 2.Ax十By十C=0一般式方程一般式 (2)由题意知直线1的方程可化为产3十音=1， [思考]要园0考A=0,此时B0,方程化为y=一后表示 则k一3十2=0，解得k=1. [变式3]解析(1)当a-一1时，直线1的方程为y十3-0，显然 与y轴垂直的一条直线 不符合题意： ②者B=0,此时A0,方程化为=一景，表示与x轴垂 当u≠一1时，令x=0,则y=4-2, 直的一条直线· 令y=0,则x=0二2， a+1 [辨析]解析(1)错误.直线的一般式方程为Ax十By十C=0, 因为【在两坐标轴上的裁距相等， 其中A,B不同时为0，当C=0时，一般式不能化为截距式. 所以4一2-名异解得a=2或4=0 (2)错误.当A,B都同时为零时，若C一0，则方程对任意的 综上，a的值为2或0. x,y都成立，故方程表示整个坐标平面：若C≠0，则方程无 (2)直线l的方程可化为y=一(a十1)x十a一2，故要使l不 解，此时方程Ax十By十C=0不表示任何图形. (3)正确.由一般式方程的概念可知 (4)错误.当A=0,B≠0时，方程表示斜率为0的直线. 是注第二桑限只省后20，解释≤一引所以的 取值范围为（一∞，一1门. 答系(1)×(2)×(3)√(4)× 随堂检测·学以致用 关键能力·素养提升 1.D解析因为直线1过原点，所以C=0,又直线过第二、四象 [例题1]解析(1)由，点式方程可知，所求直线方程为y一3= 限，所以斜率为负值，即飞=一合 B <0,所以AB>0.故选 √3(x一2)，化为一般式方程为v3x-y十3-2√3=0. (2)由斜裁式方程可知，所求直线方程为y=4x一1，化为一 D项. 般式方程为4r-y一1=0. 2.B解析令x=0,得y=一5，令y=0,得x=2.所以a=2, b=一5.故选B项. (③)由两点式方程可知，所求直线方程为已-二 3解析因为两点确定一条直线，所以点A.B均满足的直线方 化为一般式方程为2x十y一3=0. 程是3.x-5y十6=0. 答率3r-5y+6=0 (4)由藏距式方程可得，所求直线方程为号+片=1，化为 4.解析将直线4：(a十1)x+3y+2=0,直线：x+2y+1=0, 一般式方程为x-3y-3=0. 分别化为针黄式方程为y=-告。一号y=一方一宁 [变式1门解析(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y十6= 立(r一8)，化为一般式方程为x十2y+4=0. 若制/k,则-宁=一之解得a=之若4上，则-宁× 3 (2)由藏距式方程可知，所求直线方程为号+点=1，化为 （-）=-1,解得a=-7。 一般式方程为2x一y一3=0. 系一 -7 ·203·