2.2.1 直线的点斜式方程（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 2.2直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 [学习目标]L,根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，培养数学运算的核心 素养（重点），2，会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pm 要点直线的点斜式方程和斜截式方程 >思考：直线的斜截式方程与点斜式方程有何 联系？ 方程类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 斜率k和在y轴上的 辨析 (直线l与y 判断正误，正确的画“、/”，错误的画“×” 已知条件 点P,)和 轴交点(0，b)的 1)方程k=Y二业与y一为=k(x一)表示的 x一x 叫做直线！在y轴上的 意义相同. () 截距) (2)直线y一3=k(x十1)恒过定点(-1,3). () (3)经过P(x,%)的任意直线方程可表示为 y-为=k(x-x). () 图示 (4)直线/在y轴上的截距是直线与y轴的交点 到原点的距离。 () (5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. 方程 () 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一求直线的点斜式方程 (3)经过点B(3,一5)，倾斜角为90° 误区防错 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(0， )）→定斜率k→写出方程y-为=k(x一. (2)点斜式方程y一W=k·(x一和)可表示过 点P(,%)的所有直线，但x=m除外. 【例题1】根据条件写出下列直线的方程 (1)经过点A(一1,4)，斜率k=一3： (2)经过坐标原点，倾斜角为30°： 44· 第二章直线和圆的方程 【变式1】求下列直线的点斜式方程. 【例题2】已知直线l的方程为y=一2x十3，l2 (1)经过点P(1,一2)，且倾斜角为30°的 的方程为y=4.x-2,直线1与1平行且直线 直线： L与2在y轴上的截距相同，求直线！的 (2)经过点A(一1,1)，倾斜角是直线y一√3x一2 方程。 的倾斜角的2倍的直线： (3)经过坐标原点，且倾斜角为135的直线. 【变式2】本例中若将“直线（与1平行且直线( 与l2在y轴上的截距相等”改为“直线（与l 垂直且直线（与l2在y轴上的截距互为相反 数”，求1的方程 探究二 直线的斜截式方程 误区防错 直线的斜截式方程的两点注意 (1)裁距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距 离，它可以是任意的实数.当b=0时，y=kx 表示过原点的直线：当k=0且b≠0时，y=b 探究三点斜式、斜截式方程的综合应用 表示与x轴平行的直线：当k=0且b=0时， y=0表示与x轴重合的直线. 规律总结 (2)斜截式方程与一次函数的表达式相同，但 (1)若4：y=kx十b,2:y=k2.x十b,则l∥l2曰 有区别.当k≠0时，y=kx十b即为一次函数： k1=且b≠b,山1⊥l白kk=一1. 当k=0时，y=b不是一次函效.一次函数 (2)证明直线过定点的基本方法：①点斜式的应 y=x十b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程 用，②代数方法处理恒成立问题的基本思想 45。 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题3】(1)当a为何值时，直线l:y=-x十2a 【变式3】求满足下列条件的m的值. 与直线l:y=(a2-2)x十2平行？ (1)直线l1:y=-x十1与直线l2:y=(m2 (2)当a为何值时，直线4：y=(2a-1)x十3 2)x十2m平行； 与直线l:y=4x-3垂直？ (2)直线l:y=-2x+3与直线le:y=(2m 1).x-5垂直. 随堂检测学以致用 答案见P 1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截 4.求证：不论m为何值，直线1：y=(m一1)x十 式方程的是 2m十1总过第二象限. A.x=3 B.y=-5 C.2y=x D.x=4y-1 2.方程y=k(x-2)表示 A.通过点（一2,0）的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 3.已知直线l的方程为y一m=(m一1)(x十1)， 若l在y轴上的截距为7，则m= 提示完成Pm课时作业（十三） 2.2.2 直线的两点式方程 [学习目标]1.根据确定直线位置的儿何要素，探索并掌握直线的两点式方程，掌握数学运算的核心素养（重 点)，2.了解直线的戴距式方程的形式特征及适用范围，培养数学抽象的核心素养。 ·46·[变式1]解(1)设直线l,l的斜率分别为,k.由题意可 随堂检测·学以致用 因为-k,所以L/1。或L,1。重合。 (2)因为1经过P(3,4).Q(3,5)两点,1经过M(-10,40) N(2,40)两点,所以1.的斜率不存在,1。的斜率为0,所以 1.1.故选C项. 3.D由题意知-0 3-(-2) --2,所以a--10.故选D项。 [例题2]解A,B.C.D四点在坐标乎面内的位置如图所示. 4.解设D(m,n),由题意得AB/DC,AD/BC,则有 hn,n一kc,所以 ## k=-3-4) 0-3 =-3. # 的坐标为(3,4). 智翻(3,4) 所以k=k,由图可知AB与CD不重合,所以AB/CD 2.2 直线的方程 因为k去k,所以AD与BC不平行. 又ka·ko-x(-3)--1,所以AB1AD. 2.2.1 直线的点斜式方程 故四边形ABCD为直角梯形. 必备知识·基础落实 [变式2]解(1)由点A(-1.3),B(3.-2),C(6.-1),D(2,4). 要点 得AB-(4.-5).DC-(4.-5),AD-(3.1),BC-(3,1). 斜率截距纵坐标 y-y-k(r-xo)y-kr+b 所以AB-DC.AD-BC. [思考]提直线的点斜式方程y一y一(r一x),可化为y 所以四边形ABCD为平行四边形。 kx+(y-kx。)(其中(y-hx。)ER),即为直线的斜截式方 (2)如图所示,以点B为坐标原 程,即两种形式可以互化,但都不能表示与x轴垂直的 点,BC,BA所在直线分别为x 直线. 轴、y轴建立平面直角坐标系。 [辨析](1)错误,方程一二表示的图形中没有点(xo.36). 由AD-50m,AB-30m,可得 7-7 C(50.0).D(50,30).A(0.30).设 (2)正确,由直线方程的点斜式知,方程y一3一k(x十1)表 点M的坐标为(x,0). 示过点(一1,3),斜率为k的直线. 因为AC DM,且直线AC,DM的斜率均存在 (3)错误,当直线的斜率存在时,可表示为y一y一(x xo);当直线的斜率不存在时,不能表示为点斜式方程,其方 0-5050-x 程可表示为x一o. 故当BM-32m时,两条小路所在的直线AC与DM相互 (4)错误,直线/在y轴上的截距是直线/与y轴交点的纵 垂直. 坐标,而不是距离。 [例题3]解析设直线l,l。的斜率分别为k,k, (5)错误,垂直于x轴的直线的倾斜角为90{},即斜率不存 则-2(2)# 在,没有点斜式和斜截式方程 (1)×(2) (3)× (4)× (5)× 关键能力·素养提升 [例题1]圈霸(1)因为直线经过点A(-1,4),斜率 --3 所以点斜式方程为y-4--3[x-(-1)]. 经检验,当a-1或a-6时,L./l. (2)若1. (2)因为直线经过原点(0,0),斜率b-tan30{-③3 3 1.不符合题意; ①当-0时,a-0,h=- 所以点斜式方程为y-o-3(x--0). (3)因为直线经过点B(3,一5)且与工轴垂直, 由b-1,得-.(-)-一1## 所以直线方程为x一3. [变式1]翻(1)由题意知,直线的斜率人-tan30*-3 解得a一3或a-一4,经检验,均符合题意. 综上,当a-3或a--4时,1l2. [变式3]的斜率k-1(2)-a. 3a-0 (2)由题意知,所求直线的倾斜角为120{},则直线的斜率人一 当ay-0时,l。的斜率k。--2a-(-1)1-2a tan120{一-③.又直线过点A(-1,1),所以直线的点斜式 u-0 方程为y-1--v[x-(-1)]. (3)由题意知,直线的斜率 -tan135{}一一1,所以直线的点 当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l。为y轴, 斜式方程为y-0--(x-0). A(一2,0),B(1,0),这时直线1;为x轴,显然1 [例题2]解霸由斜截式方程知,直线l的斜率一一2,又因 故实数a的值为0或1. 为//l.,所以h--2. ·201· 由题意知,l。在y轴上的截距为一2,所以直线/在y轴上 整理得x+(2-a)y+a-4-0. () 的截距为-2. 当a-2时,(*)式可化为x-2-0. 由斜截式可得直线/的方程为y=-2x-2. 综合①②可知,所求直线方程为x十(2-a)y十a-4-0 [变式2]因为11/,直线/:y-2x+3 答案x+(2-a)y+a-4-0 所以!的斜率为.# [例题2]设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b ①当a子0,b0时,设/的方程为-+亡=1. 因为/与l:在y轴上的截距互为相反数,直线l:y-4x- ab 2.所以/在y轴上的截距为2. 因为点(4,-3)在直线上,所以4+-3-1. 所以直线/的方程为y-x十2. a万 因为lal-bl,所以若a-b,则a-b-1,直线方程为x十y=1; [例题3]解析(1)由a*-2--1,且2a:2,解得a--1.故当 若a=-b,则a-7,b--7,直线方程为r-y-7. a=-1时,L/l. ②当a一b-0时,直线过原点,且过点(4,-3). (2)由4(2a-1)--1,解得a-,故当a-时,/上l. 所以直线方程为3x十4y-0. [变式3](1)因为l/l,所以两直线的斜率相等,所以 综上可知,所求直线l的方程为x十y-1=0或x-y-7-0 n*-2--1且2m1,所以m-士1. 或3x十4y-0. (2)因为么1,所以(-2)×(2m-1)--1,所以m-3. [变式2]①当直线的截距均不为0时,设直线的方程为 王十-1,将点(2,4)代入得a--2,此时直线方程为r- 随堂检测·学以致用 - 1.B 直线的斜截式方程为y一kx十b.只有B项符合,故 y2-0; 选B项. ②当直线的截距均为0时,直线过原点,且过点(2,4). 2.C 由方程可知,直线通过点(2,0),且直线斜率存在, 故直线方程为2x-y-0. 故直线不垂直于x轴.故选C项. 综上知,所求直线方程为2x-y-0或x-y+2-0. 3.解因为直线/的方程可化为y-(m-1)x+2m-1.所以 [例题3]桐△ABC的示意图如图所示。 2n-1-7,解得n-4. (1)因为 ABC.ACB的平分线方程分 智4 别是r-0,y-x. 4.面明因为直线1的点斜式方程为y一3-(m-1)(x十2),所 所以AB与BC关于x-0对称,AC与BC 以直线/过定点(一2,3),由于点(一2.3)在第二象限,故直 关于y-x对称 线/总过第二象限 因为点A(3,-1)关于x=0的对称点A(-3,-1)在直 2.2.2 直线的两点式方程 线BC上,A关于y-x的对称点A”(一1,3)也在直线BC上. 所以由两点式求得直线BC的方程为y-2r+5. 必备知识·基础落实 (2)因为直线AB与直线BC关于x一0对称,所以直线AB 要点 与BC的斜率互为相反数, 斜率存在且不为0,斜率存在且不为0,不过原点 由(1)知直线BC的斜率为2,所以直线AB的斜率为-2. [辨析](1)正确,能用两点式方程表示的直线必不垂直于 又因为点A的坐标为(3,-1). 坐标轴,从而斜率一定存在,即可用点斜式方程表示。 所以直线AB的方程为y-(-1)=-2(r-3),即2r+y-5-0 (2)错误.方程二五成立的前提是yy:且 所以直线AB在工轴上的截距为,在y轴上的截距为5. 2-:-π1 :右x. 所以直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为S-× (3)错误,垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程表示。 (4)错误,因为1一1一0不能作分母,故不能用两点式方程 - 来表示。 (1)(2)X(3)×(4)× [变式3]析(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的 关键能力·素养提升 连线,因为线段AB,AC的中点坐标分别为(,1),(-1 [例题1]解析由直线的两点式方程得,AC边所在直线的方程 D(x,y),则 2 即D(一4,2),AC边上的中 线是顶点B与AC边中点D所连线段,由两点式得直线 BD的方程为二 0.即为AC边的中线所在直线的方程. (2)因为BC边的中点为(2.3),所以BC边的中线所在直线 [变式1]解桐①当a一2时,A,B两点的横坐标均为2,直线 AB垂直于x轴,故所求直线的方程为x一2,即x一2-0. ·202·