2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直,提升逻辑推理的核心素养(重离).2.能应用两条直线平 行或垂直解决有关问题,提升数学运算和逻辑推理的核心素养(难点). 必备知识基础落实 答案见P。o 要点一。 两条直线(不重合)平行的判定 要点二 两条直线垂直的判定 探究 斜率存在 斜率不存在 图示 前提条件 a-a90。 a--90{ /一 。/→ 对应关系 对应4(两直线的斜率 的斜率不存在,。的 ## # 关系 都存在)一 斜率为0 图示 辨析 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” >思考:两直线的斜率相等是两直线平行的充要 (1)如果两条直线/与,垂直,则它们的斜率之 积一定为一1. 条件吗? ) (2)若两条直线平行,则这两条直线的方向向 量一定相等. f (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直 ) (4)若两条直线的斜率都不存在,且两直线不 ( 重合,则这两条直线平行 ) 关键能力素养提升 答案见Px 探究一,两条直线的平行与垂直 【例题1】判断下列各题中直线/,。的位置关系 (1)若/的斜率为1,1经过点P(1,1),Q(3 规律总结 3),则 (1)/一一的前提包括:①l和l是 (2)若/经过点A(-3,2),B(-3,10),1经过 两条不重合的直线;②/和的斜率都存 在,两个前提条件少了任何一个都会导致结 点C(5.-2).D(5,5),则 论错误。 (③)若乙经过点A(0,1),B(1,0).7:经过点 (2) l·h--1的前提是l与都 C(-1,3),D(2,0),则 有斜率且不等于零,若忽略此前提条件,容易 (4)若4经过点A(-1.-2),B(1,2),1:经过点 导致结论错误 M(-2,-1).N(0,-2),则; .41: 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 (5)若/.经过点A(3,2),B(3,-1).1经过点 【例题2】已知A(-4.3).B(2.5).C(6.3).D(-3. M(1.1),N(2,1),则 0)四点,若顺次连接A.B.C.D四点,试判定 四边形ABCD的形状 【变式1】根据下列给定的条件,判断直线7与直 线7:是否平行或垂直. (1)L 的倾斜角为60{},1。经过点A(1.③). B(-2,-2③); (2)/.经过P(3,4),Q(3,5)两点,1.经过 M(-10,40).N(2,40)两点 【变式2】(1)已知点A(-1.3).B(3.-2).C(6 一1),D(2,4),求证;四边形ABCD为平行四 边形. (2)某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的 小路,已知AD=50m,AB-30m,其中一条 小路定为AC,另一条小路过点D,试在线段 BC上找到一点M,使得两条小路所在的直线 AC与DM相互垂直 探究二 平行与垂直关系的应用 答题模板 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步事 描点 在坐标系中描出给定的点 根据描出的点,猜洲图形的形状 若斜率不存在,直接说明;若存在, 根据给定点的坐标求直线的斜率 结论 第二章 直线和圆的方程 探究三 平行与垂直关系中的参数 【变式3】已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的 直线4与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a) 规律总结 的直线/。互相垂直,求实数a的值 己知两直线乎行或垂直求解参数的相关问题 时,首先需要考虑直线的斜率是否存在,若 率都存在,则依据斜率间的关系求解;若斜率 不存在,则需注意特殊情形,此外,已知两直 线垂直求解参数时,还雪注意斜率是否为零 【例题3】已知直线/:经过点A(3,a),B(a-1. 2).直线/;经过点C(1.2),D(-2,a+2). (1)若//,求a的值; (2)若/,求a的值 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.已知A(2,0),B(3,3).直线(/AB,则直线/ 3.若经过点(3,a).(一2.0)的直线与经过点(3,-4) 的斜率一 且斜率为的直线垂直,则a的值为 ) C.-1 D# A.-3 B.3 A. B C.10 D.-10 2.经过点A(-3,4),B(-2,2)的直线/与经过 点C(2.-1),D(6,1)的直线/。的位置关系为 4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分 _~ ( 别为A(0,1),B(1.0).C(4.3),则顶点D的坐 B.平行 标为 A.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 l远完成Ps课时作业(十二) .43:(5)错误.倾斜角为锐角时斜率为正，倾领斜角为纯角时斜率 随堂检测·学以致用 为负， (6)正确.因为tan200°=tan(180°+20)=tan20°，.所以领 1.C图霸由题意可得针率人-号号一景收选C须： 斜角为20. 2.B 解析因为直线经过点A(一2,0)，B(一5,3)，所以其斜率k= 答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√ -5--2=-1,设其领斜角为00≤0<180)，则am0 3-0 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)因为a是克线的倾斜角，所以0°≤a<180°， 一1，所以0=135°.故选B项. 又直线（经过第二、四象限，所以直线（的领斜角。满足的 3D解罚由直线AB的斜率长=m135=-1,得洁名-1， 条件是90°<a<180°.故选C项. (2)根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤ 解得y=-5故选D项. a<135时，山4的颅斜角为a十45°：当135°≤a<180°时，l的 4.解析设直线AB,BC的斜率分别为k格，k:,则由斜率公式 倾斜角为45°+a一180°=a一135°.故选AB项】 得ku=2号-1.6e=里之-号（m-2.周为A.B. 2-3 C三点共线，所以kw=e,即-1=一号(m一2)，解得 m- 答案(1)C(2)AB [变式1门解析(1)有两种情况：①如图a,直线1向上的方向与 圈号 x轴正向所成的角为60°，即直线1的倾斜角为60°：②如图 b,直线1向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线1 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 的领斜角为120°.故直线1的倾斜角为60°或120°. 必备知识·基础落实 要点一 1=k2两直线的斜率都不存在 60 [思考]提示不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在。 要点二 (2)设直线2的倾斜角为四，因为与向上的方向所成的 kk2=-1l4⊥l2 角为120°，所以∠BAC-120°，所以a2=120°+a=135. [辨析]解析(1)错误.当一条直线的斜率不存在，另一条直线 答率(1)60°或120°(2)135 的斜率为0时，两直线也垂直. [例题2到照翻)存在。直钱AB的针幸k如》1 (2)错误，若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要 共线即可， -1-3 (2)存在.直线CD的斜率km=28一1 (3)错误，当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时，两条直线才垂直. (3)当a=b时，A,B两点的横坐标相等，直线AB⊥x轴，斜 (4)正确.斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x 丰不存在：音a6时，针率存在，由针车公式知一合 轴的直线，所以这两条直线平行 答累1)×(2)×(3)×(4)√ [变式2]解析(1)由题意和斜率的概念可得，直线的斜率为 tan135=-1. 关键能力·素养提升 (2)由斜率公式得k=上”=1，解得m=1. [例题1解析设直线4，l的斜率分别为k1,k, m十2 7n-3 (3)直线的倾斜角是钝角，则直线的斜率k仙=m十< a%=1k-号 因为k1=k,所以l4与4重合或∥l2 0,解得m<2或m>3,故实数m的取值范围是（一∞，2）U (2)山与都与x轴垂直，通过数形结合知1∥2. (3,+∞). 8%-9昌-1k=29名-1 0-3 答累(1)-1(2)1(3)(-60,2)U(3,+c∞) [例题3]解析由题意可得经过A,B两点的直线的斜率k= 因为k1=k2,所以由数形结合知41∥l2: 号二号-1，经过A.C两点的直线的率x（二》 4%==2=号- 1,所以kw=kx,又因为A是公共点，所以A,B,C三点在同 因为=一1，所以4L4. 一条直线上. [变式3]解析(1)由题意和斜率公式可得直线AB的斜率kw 6以的针率不存在k号-0， 2-31 写-号由>0 437,直线AC的斜率kx=03 画出图形如图所示，由图知⊥2 及kx>0可知，直线AB与AC的倾斜角均为锐角， (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由k如增 2 大到k所以直线AD的针率的交化范国是[7，号] -1123 -F +B 答案(1)山与1重合或4∥(2)4∥4(3)∥ (4)l⊥(5)l⊥ ·200· [变式1门解析(1)设直线1，l的斜率分别为k1,k,由题意可 随堂检测·学以致用 知6=m60-5k=-2-反 L,B解析因为直线1∥AB,所以k=kw 3-9=3.故选B项. 3-2 因为k1=k,所以∥12或1，l2重合 (2)因为l1经过P(3,4),Q(3,5)两点，l2经过M(一10,40)， 2.C解扬因为kw=一2，kn=之，所以k·k如=一1，所以 N(2,40)两点，所以（的斜率不存在，的斜率为0，所以 ⊥12.故选C项. l⊥2. a-0 [例题2]解析A.B,C,D四点在坐标平面内的位置如图所示 3D解团由题意知g“2一2.所以a=一10.故选D项 5-31 国为k=2(-03 4.解析设D(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kw= 0-13一n 0-31 ko= -3-63 k,k知=k程，所以 1一04一m解得一所以顶点D 1-1_3-0 0-3 =-3, m-04-1' k0=一-3-（一4） 的坐标为(3,4). 答率(3,4) 所以kB=D,由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD, 2.2直线的方程 因为kw≠kx,所以AD与BC不平行. 又km·ko=号X(-3)=-1,所以ABLAD. 2.2.1直线的点斜式方程 故四边形ABCD为直角梯形. 必备知识·基础落实 [变式2]解ǖ(1)由点A(-1,3),B(3,-2),C(6,-1),D(2,4), 要点 得AB=(4,-5),DC=(4,-5),AD=(3,1),BC=(3,1), 斜率k截距b纵坐标by-%=k(x一)y=x十b 所以AB=DC,AD=BC. [思考]提示直线的点斜式方程y一为=k(x一)，可化为y 所以四边形ABCD为平行四边形. kx+(%一kxo)(其中（为一kx)∈R),即为直线的斜截式方 (2)如图所示，以点B为坐标原 程，即两种形式可以互化，但都不能表示与x轴垂直的 点，BC,BA所在直线分别为x 直线 轴、y轴建立平面直角坐标系 [辨析门解(1)错误方程k=二兰表示的图彩中没有点红为。 由AD=50m,AB=30m,可得 C(50,0),D(50,30),A(0.30).设 (2)正确.由直线方程的点斜式知，方程y一3=(x十1)表 点M的坐标为(x,0), 示过点（一1,3），斜率为k的直线. 因为AC⊥DM,且直线AC,DM的斜率均存在， (3)错误.当直线的斜牵存在时，可表示为y一%=(x 所以e·k=-1,即2司·积〉-1，解释一2 ):当直线的斜率不存在时，不能表示为点斜式方程，其方 程可表示为x= 故当BM=32m时，两条小路所在的直线AC与DM相互 (4)错误.直线1在y轴上的截距是直线1与y轴交点的纵 垂直 坐标，而不是距离 [例题3]解析设直线山，2的斜率分别为k,k2: (5)错误.垂直于x轴的直线的领外角为90°，即斜率不存 射=势导 在，没有点斜式和斜機式方程 答3(1)×(2)√(3)×(4)×(5)× )若4∥，则山的斜率：=一号 关键能力·素养提升 周为-名导所以2月一号屏得a=1或a=6 [例题1门解析(1)因为直线经过，点A(一1,4)，斜率k=一3， 所以点斜式方程为y-4=-3[x-(-1)门. 经检验，当a=1或a=6时，l1∥l2 (2)若4⊥， (2)因为直线经过原点(0,0)，斜率k=am30= 3 ①当k:=0时a=0,k=一合，不特合题意： 所以点斜式方程为y一0=（一0. 3 ②当：≠0时，山的斜率存在，此时- (3)因为直线经过点B(3,一5)且与x轴垂直， 所以直线方程为x=3. 由=-1，可得（一号）=-1 解得a=3或a=一4，经检验，均符合题意. [变式1爵ǖ(1)由题意知，直线的斜率k=an30°= 3 综上，当a=3或a=一4时，l⊥1. [变式3)解析4的斜率1=(-2=a 3a-0 所以直我的点针式方程为y叶2一受一小 (2)由题意知所求直线的倾斜角为120°，则直线的斜率k= 当a≠0时，4的斜率=-2a-（-1D_-1-2a tan120°=一√3.又直线过点A(-1.1),所以直线的点斜式 d一0 因为4上e,所以kk=一1，即a,1二2a=-1,得a=1. 方程为y-1=-3Lx-(-1)]. d (3)由题意知，直线的斜率k=tan135°=一1，所以直线的点 当《=0时，P(0,一1)，Q(0,0),这时直线l为y轴， 斜式方程为y一0=一(x一0). A(一2,0)，B(1,0),这时直线1为x轴，显然l⊥l. [例题2]解析由斜裁式方程知，直线山的斜率k1=一2，又因 故实敏a的值为0或1. 为l∥l1,所以k=一2. ·201·