第1章 空间向量与立体几何 章末复习方案（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 章末复习方案 知识网络体系构建 线线平行和直 过E七&E卡习 证明 EE二E 写E 线面平行和垂直 空间向量的定义及其表示 面面平行和重直 加减,数乘和数量积运等 的面 方的 异面直线所成角 其线间量、共面向量上 {法 而向 量量 线面角 向量运算的坐标表示 两平而的火伯 点线和点而 线面和面面 知识整合融会贯通 答案见Ps 探究一 利用空间向量证明线、面的位置关系 【真题1】在直三校柱ABC-A.BC中,ABC 90{*.BC-2.CC=4.点E 用空间向量判断空间中线、面位置关系的探穷 与方法总结: 在线段BB上,目EB-1. (1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两 D.F.G分别为CC.C.B 条直线的方向向量是共线向量 CA的中点. (2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两 (1)求证:BD 平面ABD 条直线的方向向量垂直 (2)求证:平面EGF/平 (3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主 面ABD. 要有(①证明直线的方向向量与平面的法向量 垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线 的方向向量是共线向量. (4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主 要有①证明直线的方向向量与平面的法向量 平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线 垂直问题. (5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行 (即是共线向量);②转化为线面平行、线线平 行问题. (6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相 垂直:②转化为线面垂直、线线垂直问题 .35. 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 探究二 利用空间向量求解距离和空间角 探究三 用空间向量解决折叠问题 距离和空间角的求解可以通过几何方法得到, 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折 但对考生的空间想象能力、推理论证能力有较 起使之成为空间图形的一类问题,这类问题对 高的要求,使用空间向量方法可以减少作图 解题者的空间想象能力有较高要求. 只要建立合理的空间直角坐标系,把所求的距 【真题3】如图1,在平面四边形PBCD中,已知 离和角转化为向量之间的问题求解即可,高考 B$C PB.PD |CD,PB=6.BC-2.DP 试题中的立体几何解答题往往是分步设问,其 2CD.DA PB于点A.将△PAD沿AD折 中空间距离的求解部分几何方法和空间向量 起使得PA1平面ABCD,如图2,设MD= 方法都可能考查,具体看哪种方法使解题更简 aPD(0<<1). 便,而空间角求解部分侧重考查空间向量方法. 【真题2】(2023·天津)三校台ABC-A.BC 中 若AA平面ABC,AB AC,AB-AC=AA 2.AC一1.M.N分别是BC.BA的中点 图1 图2 -,求证:PB/平面MAC; (1)若1- s (2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值 ,求的值. (1)求证:A.N/平面C.MA; (2)求平面C.MA与平面ACCA. 所成夹角 的余弦值; (3)求点C到平面C.MA的距离 .36. 第一章 空间向量与立体几何 探究四 用空间向量解决探索性问题 【真题5】(2023·新高考I)如图,在正四校柱 ABCD-ABCD 中,AB=2,AA =4.点 探索性问题对解题者分析问题、解决问题的能 力有较高要求,在立体几何的解答题中探索性 A..B.C.D. 分别在校AA.BB.CC.DD 问题是一个重要的知识点. 上,AA=1.BB =DD -2.CC =3$$ 【真题4】如图,在四楼锥P-ABCD中,平面PAD| D 平面ABCD,PA PD,PA=PD.AB AD AB-1.AD-2,AC=CD- 5 (1)证明:BC/AD; (2)点P在 BB 上,当二面角P-AC-D 为150时,求BP (1)求证:PD[平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 (3)在校PA上是否存在点M,使得BM/平 面PCD?若存在,求AM A的值;若不存在,说 明理由, I示完成P第一章综合测评 .37.所在直线为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系， (2)由(1)知，E0,0.3),G(号.l.4）F0,1,40 则成-（号，1,1）亦=(01,1D,所以B市.庇=0+2-2= 0,BD.EF=0+2-2=0,即BD1EG,B1D⊥EF. 又EG∩EF=E,EG,EFC平面EGF,因此BD⊥平面 EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD [真题2]解粉连接AC,以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在 则A00,0),50,0,1,C1.1,0),D(70,0 直线分别为x,y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系 所以Si=（(号0，-1）.S元=11，-1). Ay,则有A(0,0,0),M1,1,0),N(1,0,0),A1(0,0,2), C1(0,1,2).C(0.2.0). 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), {n.sd=0. x十y-x=0, y=-s 令=1，得n=(2,-1,1). 因为A市=(2,0,0)是平面SAB的一个法向量。 所以cos(Ad,n》= AD·n=6 所以A衣=(1,0，-2)，A=(1,1,0),AC=(0,1,2. ADIInl 3 (1)证明：设平面CMA的法向量为n=(x,y,z), 所以年面S4B与平面S义CD的夹角的会孩值为 n7=0·即 1n·AC=0, 6◆2a=2-2 随堂检测·学以致用 所以A衣·n=1×2+0×(-2)十(-2)×1=0，所以4N1n 1.B解析因为直线1与平面a所成的角的范国是[0，受]，且 又AN过平面CMA,所以AN∥平面CMA. (2)由(1)易知，平面ACCA1的一个法向量为A衣=(1,0， 直线1的方向向量与平面a的法向量的夫角等于警，所以直 0),平面CM1的一个法向量为n=(2.一2,1)， 线1与年面口所成的角为语-受=受，故选B项。 所以osa=亮-子所以手面CM1与手 2A层团周为c0sa,b=号，且手面a和平面B的夹角的范 面ACCA,所成夹角的余弦值为号 国是[0，受]，所以平西。和平面月的夫角的大小为受故选 (3)又M心=（一1,1,0），所以，点C到平面C,MA的距离d= MC·n A项 n 3A解扬cos(n,a)=一8-3+3 一4=一4厘，故所求 [真题3]解粉(1)在平面四边形PBCD中，BC⊥PB,PB=6, √22×√183√1Π 33 BC=2,所以CP=2,ia∠BPC- 正我位为故选A现 又PD⊥CD.DP=2CD,所以CD=2√2，PD=42. 4.解析如图，建立空间直角坐标系.由已 tm∠DPC=合 知得A(4,0.0),B(4,4,3),B(4,4, 0),C(0,4.3),所以AB=(0,4,3) 2 3 所以tan∠BPD=tan(∠BPC+∠DPC)= =1 BC=(-4,0.3).所以cos(AB.BC= 1 1 2 A品故异西直线AB A B.BC 所以∠BPD=45 所以在Rt△PAD中，PA=AD=4 与B,C所成角的余孩值为5： 9 因为DA⊥PB,BC⊥PB,所以AD∥BC 在四棱锥P-ABCD中，连接BD,设BD∩AC=F,连 图号 接MF, 章末复习方案 [真题1]证明(1)以B为坐标原点，BA,BC, BB所在的直线分别为x轴、y轴、x轴建 立空间直角坐标系Bxy,如图所示，劂 B0,0,0),D0.2,2),B(0,0,4),设BA=a,则 A(a,0,0),所以Bi=(a,0,0),Bd=(0,2, 因为=号所以别-2，又瓷器=2，所以MF/P哦 2),BD-(0,2,-2),所以BD·B=0 BD.BD=0,即BD⊥BA,BD⊥BD.又 因为MFC平面MAC,PBt平面MAC, 所以PB∥平面MAC. BA∩BD=B,BA,BDC平面ABD,所以 (2)由题意易知AB,AD,AP两两垂直，故可建立如图所示 B,D⊥平面ABD 的空间直角坐标系， ·198· x￥B 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4), 则CD=(-2,2,0).PD=(0,4,-4). 则C(0,0,0),C(0,0,3),B(0.2,2),D(2,0,2),A(2.2,1) 设平面PCD的法向量为n=(xy,), 所以BCG=(0.-2,1),AD=(0.-2,1).所以BC∥ (n.CD=0,. 即 /-2x+2y=0. A:D.. n·PD=0,4y-4=0, 又BC,AD3不在同一条直线上，所以BC∥AD. 令1，得即=D (2)设P(0,2,A)(0≤A≤4)， 则AC=(-2,-2,2),PC=(0,-2,3-A),D2C=(-2, 由M疝=PD.得M而=(0,4a.-4a), 0,1),设平面PAC2的法向量为n=(x,y,:). 故M0,4-4,4),AM=(0,4-4,4). n·A,C=-2x-2y+2=0, 则 由直线AM与平面PCD所成角的正孩值为。 n·PC=-2y+(3-a)x=0, 令=2，得y=3-入，x=入-1，所以n=(a-1.3-1,2), 得|cos(AM,m| AM·n 4-4以十4] 设平面ACDz的法向量为m=(a,b,c), AMn √(4-4以)+(4)·3 1m·AC=-2a-2b+2c=0, 写解得入= m.D2C=-2a+c=0, [真题4]解析(1)证明：因为平而PAD⊥平面ABCD,平面 令a=1,得b=1,c=2,所以m=(1,1,2), PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD, 所以1casa,m=日阅 6 所以AB⊥PD. 6/4十(-1)+(3-) 又PA⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平而PAB 1s150=, (2)取AD的中点O,连接PO,CO 化简可得2一4十3=0，解得1=1或1=3， 因为PA=PD,所以POLAD. 所以P(0,2,1)或P(0.2.3),所以B2P=1. 因为POC平面PAD,平面PADL平面ABCD,平面PADn 平面ABCD=AD,所以POL平面 第二章直线和圆的方程 ABCD. 因为COC平面ABCD, 2.1直线的倾斜角与斜率 所以POLCO. 因为AC=CD,所以CO⊥AD 2.1.1倾斜角与斜率 如图所示，建立空间直角坐标系 Qxyx.由题意得，A(0,1,0), 必备知识·基础落实 B(1,1,0),C(2,0,0),D(0.一1,0)，P(0,0,1, 要点一 所以PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1). 1.(1)正向 设平面PCD的法向量为n=(x,y,), 2.0°≤a<180 期n市-0 [思考]提示由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾 /一y-2=0, 斜角：不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾 n.r元=0,12x-=0, 斜角是相同的. 令=2，则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2). 要点二 又P成=(1,1，-1，所以sn,P应=，n座=- L.正切值tana PBI 3 3.边二边 x2一x 所以直线PB与平面CD所成角的正孩值为号 [思考]提示①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们 (3)假设存在A∈[0,1]，使得AM=AAP 都反映了直线相对于x轴的倾斜程度，本质上是一致的.但 倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现：斜率是实数，是 因此，点M(0,1-A,a),则BM=(-1,-入，A). 直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜 因为BM过平面PCD, 角α可正、可零，但不可为负，而斜率k不仅可正、可零，还 所以要使BM∥平面PCD,剥BM,n=O, 可以为负.③当《=90°时，直线斜率不存在，当≠90°时，可 即(-1，-X2)(1,-2,2)=0,解得X= 以建立领斜角a和斜率飞之间的函数关系，即k=tana (a≠90°). 所以在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,此时有 [辨析]解析(1)错误.倾斜角为90的直线不存在斜率， (2)错误.若直线的倾钟角为a,则0°≤a<180°. (3)错误.当领斜角为90时，直线对应的斜率不存在. [真题5]解析(1)以C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线为 (4)错误.当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，无法用 x,y,g轴建立空间直角坐标系，如图， 该公式求斜蒹 ·199