1.3.2 空间向量运算的坐标表示（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 3.设{e,e2,e}是空间向量的一个单位正交基 底，如果a=4e1-8e+3e,b=-2e1-3e2+ A.y轴上 7e,那么a,b的坐标分别为 B.坐标平面Oxy上 4.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PB⊥平 面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC, C.坐标平面Okx上 AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyg,则 D.坐标平面Oy上 向量MN的坐标为 2.在空间直角坐标系中，点P(一1,2,3)关于坐 标平面Oxy对称的点的坐标是 A.(1,-2,-3) B.(-1.2.-3) C.(1,-2,3) D.(-1.-2,3) 提示完成Ps课时作业（五） 1.3.2空间向量运算的坐标表示 [学习目标]1.掌摄空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量平行与垂直 几何计算的坐标表示，强化数学运算的核心素养（难点）.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题，提升 逻辑推理的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一 空间向量的坐标运算 a⊥b=→a·b=0=ab1+a2b2+asb3=0: 设a=(a1,a2,a3),b=(b,b,b),则有 a=√a·a=Va+ai+a; a·b a1b+a2b十asb 向量运算 向量表示 坐标表示 cos(a,b)=- lb √a+a西+a运√+仿+ 加法 a+b a+b= 2.空间两点间的距离公式 减法 a-b a-b= 设P(州，等)，P(必。)是空间中任意两点，则 数乘 a ,A∈R PP-PP|=√m一n+(-}+(Y. 数量积 a·b a·b= 辨析 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 量运算的坐标表示是完全一致的.例如，一个 (1)若A(1,1,0),B(2,3,1),则AB=(-1, 空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段 -2,-1). () 的终点坐标减去起点坐标. (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与 >练习：已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a+ DC的坐标相同. () 2b= ,3a·(-b)= (3)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,as), 要点二空间向量的平行、垂直、模及夹角 b=(h,h,b),若a与b共线，则%=4=2 b b2 bs' 1.设a=(a1a2,a),b=(h1,b2,b),则有 () 当b≠0时，a∥ba=b台a=b,a=b,a= (4)设a=(1,2,-1),b=(0,m,2),若a⊥b,则 Ab(A∈R): m=1. () ·20· 第一章空间向量与立体几何 关键能力素养提升 答案见P 探究一空间向量的坐标运算 ③(a·b)·c=a·(b·c).其中正确的有 解题技巧 A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向 量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a十 b)·(a-b)=a2-b=|a2-|b2,(a+b)· 探究二 坐标形式下向量的平行与垂直问题 (a十b)=(a十b)2等. (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再 答题模板 运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标 判断空间向量垂直或平行的步骤 运算，如计算(a十b)·(a一b),既可以先求出 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向 a十b,a一b,然后求数量积，也可以把(a十b)· 量的垂直与平行； (a一b)写成a2-b后计算. (2)向量关系代数化：写出向量的坐标： (3)向量的数量积运算一般有两种解题思路： (3)对于a=(,M,2),b=(x2,2,),根 一是先求坐标，再运算：二是先类比多项式进 据x十yy2十2是否等于0，判断两向 行化简，再代入坐标求解.解题时应恰当选择 量是否垂直；根据=入2，M一入，x=入 解題方法 (a∈R)或=出=(2，，购都不为0)判 【例题1】已知a=(1,2,3),b=(-2,-1,2),计 算下列各式的值 断两向量是否平行 (1)a+2b:(2)a·b:(3)cosa,b:(4)a-b. 【例题2】如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在 的平面互相垂直，AB √2，AF=1,M是线段 EF的中点. 求证：(1)AM∥平面BDE: (2)AM⊥平面BDF 【变式1】已知a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c (-号，1，-).给出下列式子：①(a+b)· c=a·(b+c):②(a十b+c)2=a2+b+c2; ·21· 数学选择性必修第一册课堂学案 【变式2】已知空间三点A(一2,0,2)，B(-1,1, ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线 2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC AB与MD所成角的大小. (1)设|c=3,且c∥BC,求c (2)若a十b与ka一2b互相垂直，求k 【变式3】在长方体OABC-OABC中，OA 2.AB引=3，AA=2,E是BC的中点，建立 空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题 (1)求直线AO与BE所成角的余弦值： (2)作ODLAC于点D,求点O到点D的距离. 探究三利用坐标运算求夹角和距离 答题模板 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直 角坐标系 (2)根据题设条件写出相关，点的坐标，进而获 得相关向量的坐标，保证，点及向量的坐标写 正确. (3)利用空间向量的模与夹角的坐标表示求解 【例题3】在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是 边长为1的菱形，∠ABC=开，OA⊥底面 随堂检测学以致用 答案见P L.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原 3.已知向量a=(0,一1,1)，b=(4,1,0),{a+b= 点，若OM=AB,则点B的坐标为 ( √29，且>0，则入= () A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) A.5 B.4 C.(1,-3,3) D.(-9,-1.-1) C.3 D.2 2.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4, 一2,1).若a⊥(b-c),则x的值为() 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1), A.-2 B.2 则向量AB与AC的夹角为 C.3 D.-3 提示完成Pm课时作业（六）和P培优训练（一） ·22·2.B解析由题意可得对称，点的横坐标和纵坐标与点P的相 设AC∩BD=V,连接VE,则点N,E的坐标分别为 同，竖坐标与点P的互为相反数，故对称，点的坐标为（一1,2， 一3).故选B项， （停号o)00,所以N-(-号） 3.解析由题意可知a=(4,一8,3)，b=(-2,一3,7). 答室(4，-8,3)，(-2，-3,7) 又点AM的坐标分到为(2w2,0).(受，号1)， 4.解析由题意可令Bi=i,B心-j,B成=k,则M衣=应+B成 所-（号，小所以N证-成 -m+高+号i+=成m-12k= 因为NE与AM不共线，所以NE∥AM. (号0，-) 又NEC平面BDE,AM过平面BDE, 所以AM∥平面BDE. 路系（分，0，-7） 21立=（竖-号.小 1.3.2空间向量运算的坐标表示 因为D(2,0,0),F(22.1),所以DF=(0,N2,1), 必备知识·基础落实 所.D=0-号×2+1=0， 要点一 所以A1D求.同理，A⊥B (a1+b,a2十b,aa十b）(a一b,a2-b,as-b） 又DF∩BF=F,且DFC平面BDF,BFC平面BDF, (a1,a:,ag)ab+aea十ab 所以AM⊥平面BDF. [练习]解析由题意得3a=(3×1,3×1,3×0)=(3,3,0),2b= (2×0,2×1,2×1)=(0,2.2),-b=(-1×0,-1×1, [变式2]解杨(1D因为c/∥B,BC=(-2,-1,2), -1×1)=(0,-1,-1),所以a+2b=(1,1,0)+(0,2,2)= 所以可设c=（一2以，一1,2λ)， (1+0,1+2,0+2)=(1,3,2),3a·(一b)=(3,3,0)·(0, 则|c=√(-2)2+(-)2+(2)=3a=3, -1,-1)=3×0+3×(-1)+0×(-1)=-3. 所以=士1，所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 答系(1,3,2)-3 (2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC-(-1,0,2), [辨析]解析(1)错误.因为一个空间向量的坐标等于表示此向 所以a十b=(k-1,k,2),如-2b=(k十2，k,一4)， 量的有向线段的终，点坐标减去起点坐标，所以AB=(1,2,1). 又(ka十b)⊥(ka-2b),所以（如十b)·(ha一2b)=0, (2)正确.因为平行四边形的对应边平行且相等，所以向量 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2-8=0. AB与DC的坐标相同. (3)错误.当b,:,至少有一个为0时不成立 所以=2浅发=一是 (4)正确.由a1b得1×0十2m-2=0,解得m=1. [例题3]解析作AP⊥CD于点P,如图所示， 答累(1)×(2)√(3)×(4)/ 分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y 关键能力·素养提升 轴、之轴建立空间直角坐标系， [例题1]解析(1)a十2h=(1,2,3)十(-4，-2,4)=(-3,0,7). 则A(0,0,0),B(1,0,0),M(0,0,1) (2)a·b=(1,2,3)·(-2,-1,2)=-2-2+6=2. (-号号.o 8sa6=清后 2=g 所以-0o0而-(-号号.-. (4)因为a-b=(1,2.3)-(-2,-1,2)=(3,3,1), 所以a-b=√3+3+1下=√19. 所以cos(A店.Md)= AB.MD ABIIMDI [变式1目B层预⑩周为(a十b)·c=(4,2.2)·(-吉1 所以异面直线AB与MD所成角的大小为 号）=-青+2-号=0，a…(b+c)=1,2.3)… [变式3]解析建立如图所示的空间直角坐标系 (借1.-g)=兰+2-号=0，所以(a+b)·c=ab叶 c0:②周为ab-3+0-3=0.a·6=-号+2-号-0,6： 号+0+号=0，所以(a+b计eP=G+8+C:③周为 ab》c=(3+0-3)·（-方，1，-号)=(0.0,0)a… (1)由题意得A(2,0.0),O(0,0,2),B(2,3,2),E(1,3,0), bc0)=1,2.3)·(-号+0+号)=(0.00，所以(a 所以A0=(-2,0,2).B1E=(-1,0,-2), b)·c=a·(b·c).故选B项. 所以cos(Ad,BE=AC·BE -2 10 10 [例题2]证明(1)如图，建立空间直角坐标系。 AOBEI 210 所以直钱A0,与品E所或角的余孩值为巴 (2)由题意得OD⊥AC,AD∥AC,C(0,3,0). 设点Dxy,0) 所以0D=(x,-2),AD=(x-2y,0),AC=(-2,3,0, ·191· -2x+3y=0, 8 x1 所以 解得 12 所以D(是o) y= 3 所以0，D=o市-√()+()+4=2 13 随堂检测·学以致用 所以心-(31,0)房=(-20,1) 1B解析由题意可得OM=A店=O市-OA,所以O成=O成+ 显然向量Ai=(号，0,0)是平面SAB的一个法向量。 OA=(9,1,1),即点B的坐标为(9,1,1).故选B项. 设n=(x,y,)为平面SDC的法向量， 2.A解析因为b-c=(-2,3,1),且a⊥(b-c),所以a·(b c)=4十3x十2=0，解得x=一2.故选A项. n:D心-之x+=0, y=-2x 即 3.C解析a+b=(0,-1,1)十(4,1,0)=(4,1一A,A),由已 1 =2 知得a十b=√4+(1一)+灭=√2四，且A>0,解得λ= 取x=2,得y=-1,2=1, 3.故选C项. 故平面SDC的一个法向量为(2，一1,1). 4.解折因为Ai=(0,3,3),AC=(-1,1,0),所以AB1=3V2, [变式1]解杨设平面ABC的法向量为n=(r,y,x),由已知可 AC=2,A店·AC=0×(-1)+3×1+3×0=3,所以 得Ai=(0,1,1)-(1,0.1)=(-1,1,0),BC=(1,1,0)-(0,1 需活-宁又∈0闲，所以 c0s(A店Ad=A·A花 1)=(1,0,-1),则n·AB=(xy.)·(-1,1,0)=-x+ y=0,n·BC=(x,,x)·(1,0,-1)=x-2=0.不妨令 AB.Ad=号 x=1.则y==1.因此可取n=(1,1,1)为平面ABC的一 个法向量 俗累牙 [例题2]匠明以，点D为坐标原点·以DA,心，D心的方向分别 1.4空间向量的应用 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，令AD=1,则D(0, 0,0),A(1,0.1).A(1,0,0),C(0.1,0),D(0,0,1D,B1,1.0),所 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 以DA=1,0,1,AC=(-1,l,0),设r-(a,b),由PQ1 第一课时空间中点、直线和平面的向量表示 AD.PQ⊥AC,得 =0心 P0·AC=0. -a+b=0 令a=1,则 空间中直线，平面的平行 必备知识·基础落实 -(11,-1.因为B0=(0.0,1)-(1,1.0=(-1,-11)= 要点一 —夜.所以P夜/BD.又PQ与BD没有公共点，所以PQ∥BD. 2.直线上一点及直线的方向向量 [变式2]证朋以A为原点，AB,AD,AA的方向分别为x轴、y 3.O币-Oi+xA苏+yAC空间一点及两个不共线向量 轴、：轴的正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所 4.法向量过点A且以向量a为法向量{Pa·AP=0 示的空间直角坐标系， [思考]提示直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有 无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都 是共线向量，解题时，可以选取坐标最筒的向量作为方向向 量或法向量 要点二 L.山∥h3入R,使得M=2 2.ulnu·n=0 3.m∥ne3A∈R,使得n:=ng 则B1.00),D0,1,1),E(0,0,号)F(1.1,2) [辨析]解析口)正确.相互平行的两条直线的方向向量共线， 所以B亦=(01,2)DE=(0,-1,-号）， 所以两向量的方向相同或相反. (2)错误.两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或 因为B亦=一D,店，所以B亦∥DE,所以BF∥DE 重合 [例题3]证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 (3)正确.由法向量的概念可知正确. 标系，设PD=DC=a.连接AC,交BD于，点G,连接EG (4)错误.当k=0时，加=0不是直线l的方向向量. 答累(1)√(2)×(3)√(4)× 关键能力·素养提升 [例题1门解析以A为坐标原点，AD,AB,AS所在直线分别为 x轴，y轴、：轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axy, 则A(0,0,0),D(2,0,0）.C1,1,0).50,0,1D, ·192·