1.3.1 空间直角坐标系（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 随堂检测学以致用 答案见P四 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与 4.在空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB= CD ∠AOC-,求证：OA LBC. A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 2.已知a,b是异面直线，点A,B∈a,点C,D∈b, AC⊥a,BD⊥a,且AB=1,CD=2,则a,b所 成的角为 A.30 B.45 C.60 D.135 3.在三棱柱ABC-A1BC中，AA⊥平面ABC, AA=AB=AC=BC=1,M是B,C的中点， 则AM= 提示完成P课时作业（四） 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 [学习目标]1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空 问直角坐标系刻画点的位置，培养直观想象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示，提升 直观想象的核心素养. 必备知识基础落实 答案见P 要点一 空间直角坐标系 >思考：空间直角坐标系的三个要素是什么？空 间直角坐标系有什么作用？ 1.概念：在空间选定一点O和一个 基底 {i,j,k}.以点O为原点，分别以i,j,k的方向 为 、以它们的长为 建立三条 数轴：x轴、y轴、x轴，它们都叫做 .这时 就建立了一个空间直角坐标系Oxy,O叫做 要点二 空间向量的坐标表示 ,i,j,k都叫做 ,通过 L.点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i, 每两个坐标轴的平面叫做 分别称为 j,k为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个 Oxy平面，Oyz平面，Okx平面，它们把空间分 向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定， 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 成八个部分 (xy,x),使OA=i十y十太.在单位正交基 2.右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系 底i,j,k)下与向量OA对应的 中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记 轴的正方向，如果中指指向x轴的正方向，则 作 ,其中 叫做点A的横坐 称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的 桥 叫做点A的纵坐标， 坐标系都是右手直角坐标系. 叫做点A的竖坐标 ·17 数学选择性必修第一册课堂学案 2.向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中， 一定是(0，b,c)的形式. () 给定向量a,作OA=a.由空间向量基本定理，存 (2)空间直角坐标系中，在坐标平面Oxx内的 在唯一的有序实数组(x,y,),使a=i十十 点的坐标一定是(a,0,0)的形式 () 水.有序实数组 叫做a在空间直角坐 (3)关于坐标平面Oy?对称的点其横坐标、纵 标系Oxy烂中的坐标，上式可简记作 坐标保持不变，竖坐标相反 () 辨析 (4)若点A的坐标为(x,y,),则OA=(x,y,). 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标 () 关键能力素养提升 答案见P的 探究一 求点的坐标 【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为 4,侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标 规律总结 系，写出各顶点的坐标. 求空间一点P的坐标常用的两个方法：一是 利用点在坐标轴上的投影求解：二是利用单 位正交基底表示向量OP,OP的坐标就是点 P的坐标 【例题1】长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽，高 分别为AB=8,AD=3,AA'=5.建立适当的 空间直角坐标系，并求顶点A,B,C,D,A', B,C,D的坐标 探究二求向量的坐标 答题模板 用坐标表示空间向量的一般步骤 (1)观察图形：观察图形特征，寻找两两垂直 的三条直线： (2)找垂直：找出（或作出）两两垂直的三条直 线和相应的单位向量作为基底： (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐 标系； (4)进行计算：综合利用空间向量的线性运算： (5)确定结果：确定目标向量的坐标 18 第一章空间向量与立体几何 【例题2】已知ABCD-A,BC,D1是棱长为2的 探究三 空间中的对称问题 正方体，E,F分别为BB,和DC的中点，建立 如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 解题技巧 DE,DF的坐标 空间中点的对称问题的解题策略 (1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐 标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化 规律，才能准确求解。 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保 持不变，其余坐标相反”这个结论.如，点(x,y, z)关于y轴的对称点为（一x,y,一），关于坐 标平面Oy的对称点为（一x,y,). 【例题3】在空间直角坐标系中，已知点P(一2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标： (2)求点P关于坐标平面Qy对称的点的坐标： (3)求点P关于点M(2,一1，一4)对称的点的 坐标。 1117111171 【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的 平面，M,N分别是AB,PC的中点，并且PA= AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写 出向量MN,DC的坐标. 【变式3】已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy 的对称点为P,点P,关于坐标平面Oyz的 对称点为P,点P关于之轴的对称点为P, 则点P的坐标为 19 数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 3.设{e,e2,e}是空间向量的一个单位正交基 底，如果a=4e1-8e+3e,b=-2e1-3e2+ A.y轴上 7e,那么a,b的坐标分别为 B.坐标平面Oxy上 4.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PB⊥平 面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC, C.坐标平面Okx上 AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyg,则 D.坐标平面Oy上 向量MN的坐标为 2.在空间直角坐标系中，点P(一1,2,3)关于坐 标平面Oxy对称的点的坐标是 A.(1,-2,-3) B.(-1.2.-3) C.(1,-2,3) D.(-1.-2,3) 提示完成Ps课时作业（五） 1.3.2空间向量运算的坐标表示 [学习目标]1.掌摄空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量平行与垂直 几何计算的坐标表示，强化数学运算的核心素养（难点）.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题，提升 逻辑推理的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一 空间向量的坐标运算 a⊥b=→a·b=0=ab1+a2b2+asb3=0: 设a=(a1,a2,a3),b=(b,b,b),则有 a=√a·a=Va+ai+a; a·b a1b+a2b十asb 向量运算 向量表示 坐标表示 cos(a,b)=- lb √a+a西+a运√+仿+ 加法 a+b a+b= 2.空间两点间的距离公式 减法 a-b a-b= 设P(州，等)，P(必。)是空间中任意两点，则 数乘 a ,A∈R PP-PP|=√m一n+(-}+(Y. 数量积 a·b a·b= 辨析 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 量运算的坐标表示是完全一致的.例如，一个 (1)若A(1,1,0),B(2,3,1),则AB=(-1, 空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段 -2,-1). () 的终点坐标减去起点坐标. (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与 >练习：已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a+ DC的坐标相同. () 2b= ,3a·(-b)= (3)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,as), 要点二空间向量的平行、垂直、模及夹角 b=(h,h,b),若a与b共线，则%=4=2 b b2 bs' 1.设a=(a1a2,a),b=(h1,b2,b),则有 () 当b≠0时，a∥ba=b台a=b,a=b,a= (4)设a=(1,2,-1),b=(0,m,2),若a⊥b,则 Ab(A∈R): m=1. () ·20·随堂检测·学以致用 由于点A',B,C,D都在一个垂直于：轴的平面A'B'CD 1.C解桥由题意得CD-成-武，所以B,市-BA·(BD 内.又AA'=5,所以这四，点的竖坐标x都是5.又过A',B C,D分别作Axy平面的垂线，垂足分别为A,B,C,D,因 =.BD-所.-1X1×号-1×1×是=0，故 此A',B,C,D的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的 BALCD,即直线AB与CD垂直.故选C项， 横坐标x、纵坐标y相同.因此A',B,C,D的坐标分别是 2.B解因为C市=C+店+BD,所以A店.CD=店·《C+ A'(0,0,5),B(8,0,5).C(8,3.5),D(0,3,5) (答案不唯一) A花+前)=A亦=1，所以os店.C市)=A.C可 [变式1]解粉因为正四棱维P-ABD的 ABIICDI 底面边长为4，侧棱长为10，所以正四 风号所以异面直或山所成的商为代适B瓦. 棱维的高为√102-中平=2v愿.以 4 3.解折如图所示，AM=A店+BB+BM=A店+ 正四锥的底面中心为原点，平行于 AM+号C-A=号A+M+号A花，所 BC,AB所在的直线分别为x轴、y轴， 垂直于平面ABCD的直线为：轴，建立如图所示的空间直 以A:-(2+A+号-子， 角坐标系，则正四棱雏各顶点的坐标分别为A(2,一2,0)， B(2.2.0),C(-2.2,0),D-2,-2.0).P(0,0,223). 期AM=客 (答案不唯一) 圈牙 [例题2]解扬DB-Di+DC+DD-2i+2j+2k-(2,2,2), D元=Di+D心+2DD=2i+25j+2×2k=2i+2j+k= 4.证朋如图所示，因为d·式-A,《元 OB-OA.d元-OA.OB=OA·C· 2.2.1.D亦=Dd-号×25=j=01.0m, ms∠A0C-OA1·1OBos∠AOB=0,所 [变式2]解析如图所示，图为PA=AD=AB=1,且PAL平面 以DA LBC,所以OA⊥BC ABCD,AD⊥AB, 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 必备知识·基础落实 要点一 所以可设DA=e,AB=e,AP=e,以{e,ee,e}为基底建 1.单位正交正方向单位长度坐标轴原点坐标向量 立空间直角坐标系Axy% 坐标平面 因为心-Ai==店+AP+PN=MA+AP+号P心 [思考]提示空间直角坐标系的三个要素是原点、坐标轴方向和 单位长度，空间直角坐标系的作用是可以通过空间直角坐标 i++号Pi+A+D0=-e+6+号(-e 系将空问点、直线、平面数量化，将空问位置关系解析化 e,+e)= 要点二 to+ge. 1.有序实数组(x,y,x)A(x,y,x)xy 所以=(（-0，)心=(01,0. 2.(x,y,2）a=(xy,2) [例题3]解析(1)因为点P关于x轴对称后，它在r轴的分量 [辨析]解析(1)错误.空间直角坐标系中，在x轴上的，点的坐 不变，在y轴，：轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 标一定是(a.0,0)的形式。 P1的坐标为(-2，一1，一4). (2)错误.空间直角坐标系中，在坐标平面(Ox内的点的坐 (2)因为点P关于坐标平面Oxy对称后，它在x轴、y轴的 标一定是(a,0,c)的形式. 分量不变，在文轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 (3)错误.关于坐标平面Oy对称的点其纵坐标、竖坐标保 P:的坐标为(-2.1，一4). 持不变，横坐标相反 (3)设对称，点为P(x,y,),则点M为线段PP,的中点，由 (4)正确.由点和向量坐标的概念可知正确. 中点坐标公式，可得x=2×2-(一2)=6，y=2×(一1)-1 答系(1)×(2)×(3)×(4)/ 一3,2=2×（一4）一4=一12，所以点P的坐标为(6，-3，一12). 关键能力·素养提升 [变式3]解析点P(2,3,一1)关于坐标平面Oxy的对称点P [例题1]解析如图，以A为原点，分别以直 的坐标为(2,3,1)，点P关于坐标平面Oyz的对称点P 线AB,AD,AA'为x轴、y轴、x轴，建 的坐标为（一2,3,1）点P关于轴的对称点P的坐标为(2， 立空间直角坐标系Ary,则点A,B,B -3,1). C,D都在平面Axy内，因而其经坐标 答案(2，一3,1) 都为O,因此A,B,C,D的坐标分别是 随堂检测·学以致用 A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0, L,C解扬因为点P的坐标中纵坐标为0，横坐标和竖坐标都 3,0). 不为0，所以点P在坐标平面Ox上.故选C项. ·190· 2.B解析由题意可得对称，点的横坐标和纵坐标与点P的相 设AC∩BD=V,连接VE,则点N,E的坐标分别为 同，竖坐标与点P的互为相反数，故对称，点的坐标为（一1,2， 一3).故选B项， （停号o)00,所以N-(-号） 3.解析由题意可知a=(4,一8,3)，b=(-2,一3,7). 答室(4，-8,3)，(-2，-3,7) 又点AM的坐标分到为(2w2,0).(受，号1)， 4.解析由题意可令Bi=i,B心-j,B成=k,则M衣=应+B成 所-（号，小所以N证-成 -m+高+号i+=成m-12k= 因为NE与AM不共线，所以NE∥AM. (号0，-) 又NEC平面BDE,AM过平面BDE, 所以AM∥平面BDE. 路系（分，0，-7） 21立=（竖-号.小 1.3.2空间向量运算的坐标表示 因为D(2,0,0),F(22.1),所以DF=(0,N2,1), 必备知识·基础落实 所.D=0-号×2+1=0， 要点一 所以A1D求.同理，A⊥B (a1+b,a2十b,aa十b）(a一b,a2-b,as-b） 又DF∩BF=F,且DFC平面BDF,BFC平面BDF, (a1,a:,ag)ab+aea十ab 所以AM⊥平面BDF. [练习]解析由题意得3a=(3×1,3×1,3×0)=(3,3,0),2b= (2×0,2×1,2×1)=(0,2.2),-b=(-1×0,-1×1, [变式2]解杨(1D因为c/∥B,BC=(-2,-1,2), -1×1)=(0,-1,-1),所以a+2b=(1,1,0)+(0,2,2)= 所以可设c=（一2以，一1,2λ)， (1+0,1+2,0+2)=(1,3,2),3a·(一b)=(3,3,0)·(0, 则|c=√(-2)2+(-)2+(2)=3a=3, -1,-1)=3×0+3×(-1)+0×(-1)=-3. 所以=士1，所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 答系(1,3,2)-3 (2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC-(-1,0,2), [辨析]解析(1)错误.因为一个空间向量的坐标等于表示此向 所以a十b=(k-1,k,2),如-2b=(k十2，k,一4)， 量的有向线段的终，点坐标减去起点坐标，所以AB=(1,2,1). 又(ka十b)⊥(ka-2b),所以（如十b)·(ha一2b)=0, (2)正确.因为平行四边形的对应边平行且相等，所以向量 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2-8=0. AB与DC的坐标相同. (3)错误.当b,:,至少有一个为0时不成立 所以=2浅发=一是 (4)正确.由a1b得1×0十2m-2=0,解得m=1. [例题3]解析作AP⊥CD于点P,如图所示， 答累(1)×(2)√(3)×(4)/ 分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y 关键能力·素养提升 轴、之轴建立空间直角坐标系， [例题1]解析(1)a十2h=(1,2,3)十(-4，-2,4)=(-3,0,7). 则A(0,0,0),B(1,0,0),M(0,0,1) (2)a·b=(1,2,3)·(-2,-1,2)=-2-2+6=2. (-号号.o 8sa6=清后 2=g 所以-0o0而-(-号号.-. (4)因为a-b=(1,2.3)-(-2,-1,2)=(3,3,1), 所以a-b=√3+3+1下=√19. 所以cos(A店.Md)= AB.MD ABIIMDI [变式1目B层预⑩周为(a十b)·c=(4,2.2)·(-吉1 所以异面直线AB与MD所成角的大小为 号）=-青+2-号=0，a…(b+c)=1,2.3)… [变式3]解析建立如图所示的空间直角坐标系 (借1.-g)=兰+2-号=0，所以(a+b)·c=ab叶 c0:②周为ab-3+0-3=0.a·6=-号+2-号-0,6： 号+0+号=0，所以(a+b计eP=G+8+C:③周为 ab》c=(3+0-3)·（-方，1，-号)=(0.0,0)a… (1)由题意得A(2,0.0),O(0,0,2),B(2,3,2),E(1,3,0), bc0)=1,2.3)·(-号+0+号)=(0.00，所以(a 所以A0=(-2,0,2).B1E=(-1,0,-2), b)·c=a·(b·c).故选B项. 所以cos(Ad,BE=AC·BE -2 10 10 [例题2]证明(1)如图，建立空间直角坐标系。 AOBEI 210 所以直钱A0,与品E所或角的余孩值为巴 (2)由题意得OD⊥AC,AD∥AC,C(0,3,0). 设点Dxy,0) 所以0D=(x,-2),AD=(x-2y,0),AC=(-2,3,0, ·191·