1.1.2 空间向量的数量积运算（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.(选)下列命题中，正确的是 ( 3.下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能 比较大小 A.OM=20A-0B-0C B.若向量a,b平行，则a,b所在的直线平行 B.OV-10A+20B+700 C.只有零向量的模等于0 C.MA+MB+MC=0 D.相等向量其方向必相同 D.OM+OA+OB+OC-0 2.已知空间向量a,b互为相反向量，且|b=3, 4.如图，在直三棱柱ABC-A:BC 则下列结论正确的是 中，若Ci=a.C=b.CC=,则 A.a=b B.a十b为实数0 AiB= (用a,b,c表示) C.a与b方向相同 D.|a=3 提示完成Pm课时作业（一） 1.1.2空间向量的数量积运算 [学习目标]1.掌握空问向量的数量积，发展数学抽象的核心素养（重点）.2.了解空间向量投影的概念以及投 影向量的意义，增强数学抽象和直观想象的核心素养，3.数量积在空间中的简单应用，提升逻辑推理与数学运 算的核心素养（重难点） 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一 空间向量的夹角 要点二 空间向量的数量积 1.定义 1.定义 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点 已知两个非零向量a,b,则 叫 0,作OA=a,OB=b,则 叫做向量a,b 做a,b的数量积，记作a·b,即a·b= 的夹角，记作 2.性质 (1)若a,b是非零向量，则ab台 =0. 0 b (2)若a与b同向，则a·b=a·b;若反向， 2.向量a,b的夹角(a,b)的范围是 如 则a·b=一a·b.特别地，a·a= 果(a,b)=受，那么称向量a,b互相 =va.a. 记作 a·b >思考：当(a,b》=0和(a,b》=π时，向量a与b （3)cos(a,b=aib 有什么关系？ (4)a·b≤a·b 3.运算律 (1)(a)·b= (2)交换律：a·b= (3)分配律：(a十b)·c= 第一章空间向量与立体几何 >思考：数量积的运算满足结合律吗？ AB的夹角就是向量a所在直线与平面3所 成的角 要点三向量a的投影和投影向量 (2 1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于 辨析 它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同 判断正误，正确的画“√/”，错误的画“×”， 一个平面α内，进而利用平面上向量的投影， (1)向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的 得到与向量b共线的向量c,c=acos(a,b)· 夹角： () ,向量c称为 b 在 上的 (2)若向量AB与CD的夹角为a,则直线AB与 CD所成的角也为a () 2.如图(2)，向量a向平面3投影，就是分别由向 (3)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). 量a的起点A和终点B作平面3的垂线，垂足 () 分别为A',B,得到向量AB,向量AB'称为 (4)对任意向量a,b,满足a·b≤ab. 向量a在平面3上的投影向量.这时，向量a, () 关键能力 素养提升 答案见Pa 探究一 数量积的计算 (2)NP.AB: (3)0B.AC: 规律总结 (4)O元.Mp (1)已知a,b的模及a与b的夹角，直接代入 数量积公式计算 (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式 的数量积，可以先利用数量积的运算律多项 式展开，再利用a·a=|a及数量积公式进 行计算 【例题1】已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是 等边三角形，且边长为2，点M,N,P分别为 AB,BC,CA的中点.试求： (1)0OA.Oi: 9 数学选择性必修第一册课堂学案 【变式1】如图，在单位正方体ABCD-A'B'CD 【例题2】(1)在正方体ABCD-A,BCD,中，向量 中，设AB=a,AD=b,AA'=c,求： AB与CB的夹角(AB,CB)= 向量 AB与BD,的夹角(AB,BD) (2)如图，已知线段AB在平面a内，线段ACL a,线段BD⊥AB,线段DD⊥a于点D'.如果 ∠DBD'=30°，AB=a,AC=BD=b,则CD (1)a·(b+c): 的长为 (2)(a+b)·(b十c): (3)(a+b+c)·(a+b+c). 【变式2】(1)已知a,b是异面直线，A,B∈a,C, D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a 与b所成的角为 () A.30° B.45° C.60 D.90° 探究二 用数量积求角和距离 (2)已知在平行六面体ABCD-A1BCD 中，AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间 规律总结 的夹角都是60°，则AC的长为 A.6 B.√ (1)找两向量的夹角的关键是把两向量平移到 一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解 C.3 D.3 三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]. (2)利用数量积求异面直线所成角的方法步 骤：①根据题设条件在两异面直线上取两个 向量；②将求异面直线所成角的问题转化为 求向量的夹角问题：③利用数量积求角的大 探究三 利用向量的数量积证明垂直 小，注意并面直线所成角的范国是(0，] (3)求空间两点间的距离（线段的长可看成线 答题模板 段两端点间的距离)可以利用空间向量的数 用向量法证明垂直关系的一般步骤 量积将其转化为求向量的模的问题，其基本 (1)把已知的几何问题转化为向量问题： 步骤是：①选择以两点为端点的向量，将此向 (2)用已知夹角和模的向量把未知向量表示 量表示为儿个已知向量的和或差的形式： 出来； ②求出几个已知向量的模和两两之间的夹角： (3)结合数量积公式及运算律证明向量的数 ③利用公式a=√a·a求出模，即求出空间 量积为0： 两点间的距离 (4)将向量问题转化为几何问题，得到几何结论 10 第一章空间向量与立体几何 【例题3】如图所示，在空间四边形OABC中， 【变式3】如图所示，在正三棱柱ABC-A:B,C ∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB 中，侧面对角线AB⊥BC1,求证：AC⊥AB. OC,M,N分别是OA,BC的中点，G是MN 的中点，求证：OG⊥BC 中时 随堂检测学以致用 答案见Pw 1.在正四面体ABCD中，点E,F分别是AC,AD 的中点，则BC与EF的夹角为 A号 B号 A.30 B.60 C.1 D.2 C.120 D.150° 4.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点 2.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD,中，设 E,F分别为棱AB,AD的中点，则|AB+BC= AB=a,AD=b,AA=c,则a·(b+c)的值为 .BC-EF= A.1 B.0 C.-1 D.-2 3.在三棱锥P-ABC中，PB=PC=1,∠APB= ∠APC=90°，∠BPC=60°，则AB·PC )提示完成Pm课时作业（二） 11[例题幻证明由题意可设Ai=xAC十yAD,则有e十e= [辨析门解析(1)错误.向量AB与CD的夹角和向量AB与D心的 x(2e+8e)+y(3e-3ez)=(2.x+3y)e+(8.r-3y)e2. 夹角互补，而不是相等。 (2)错误.不一定，可能是a,也可能是π一a 2x十3y-1解得 5 因为e1和e不共线，所以 (3)错误.(a·b)·c是与c共线的向量，而a·(b·c)是与 18r-3y=1, y=5 a共线的向量 (4)正确.由数量积的性质知正确. 所以A店=号AC+号Ad,所以A,B.C,D四点共面， 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ [变式4幻证朋方法一E亦=E店+B+A方 关键能力·素养提升 =号Bi-AB+2A可 [例题1门解扬(1Ddi.O店=iO1sOi.O=Oi· =BB+d-A店 OB1cos∠AOB=2×2×cos60°=2， (2)NP.AB=INPIABI Cos<NP.AB)=INPIABI. =BC-A成 cos180°=1×2×(-1)=-2 (3)Oi.AC=Oi.(元-O4=Oi.元-Oi.Oi=2× 由向量共面的充要条件知，向量AB, 2×cos∠BC-2X2×cos∠OA=0. BC,EF是共面向量. (4元.迹-元.号成-号.成=. 方法二如图，连接AD,BD,取AD的 中点G,连接FG,BG,则FC4号DD, OB=2元-元.08=号×(2-2)=1 [变式1]解析(1)由题意知，a=b1=c=1,a·b=a·c BEL2DD,所以FGLBE, c·b=0, 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以a·(b十e)=a·b+a·c=0. 所以EF∥BG,所以EF∥平而ABD (2)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b+b·c=1. 同理，BC∥AD,所以BC∥平面ABD (3)(a+b+c)·(a+b+c)=(a+b+c)2=a+b+c2+ 2(a·b+a·c+b·c)=3. 所以A,B.BC,EF都与平面A:BD平行. [例题2]解析(1)因为ABL平面BCCB,所以AB⊥CB,故 所以向量AB,BC,EF是共面向量 (AB,CB)=90,图为BD∥Bd.所以(A店.BD)= 随堂检测·学以致用 (A1B.BD)=180°-∠ABD,因为△A1BD为等边三角形， 1.ACD解析向量都不能比较大小，故A项正确：向量a,b平 所以∠ABD=60°，所以(A1B,BD)=120. 行，则a,b所在的直线平行或重合，故B项错误：只有零向量 (2)由ACLa,可知ACLAB.由∠DBD=30°，可知(CA.BD) 的模等于0，故C项正确：相等向量的长度相等，方向相同， 60°.因为CD12=CD.CD=(CA+AB+BD)2=CA2+ 故D项正确.故选ACD项， AB?+BD1?+2(CA·AB+CA.BD+AB·BD)= 2.D解析向量a,b互为相反向量，则a,b的模相等、方向相 反，只有D项正确.故选D项： F+a2+#+2(0+Fcos60°+0)=d2+3盼，所以CD1= 3.C解析C项中，=一M市-M心，且有公共点M,所以，点 √a+3G,即CD=√a+3. M,A,B,C共面.故选C项. 答率(1)90°120°(2)√a+30 4.解ǖAB-CB-CA-C市-(CA+CC)=一a+b-c [变式2]解析(I)因为AC1,BDLb.C,DEh,所以A店.市 答案-a十b一c (4C+CD+D)·.CD-CD-1,所以cos(A,CD) 1.1.2空间向量的数量积运算 需需病专片以成市-，*异面克线 AB.CD 必备知识·基础落实 a,b所成的角为60°.故选C项. 要点一 (2)设AB=a.AD=b.A4=c,则1a=b=c=1,且(a,b= 1.∠AOB(a,b) （b.c=(c,a=60,周此a:b=bc=c·a=由Ad 2.[0,r]垂直a⊥b [思考]提灵当(a,b》=0时，a与b同向：当(a,b》=π时，a与b a+b+c得AC12=a2+6+c2+2a·b+2b·c+2c·a= 反向. 6,所以AC1=√6.故速B项 要点二 答率(1)C(2)B 1.la blcos(a.b)lallblcos(a.b) [例题3]证明设∠AOB=∠B0C-∠A0C=0,且OA=a,OB=b. 2.(1)a·b(2)la2a Od=c,则|a=b=lc. 3.(1)λ(a·b)(2)b·a(3)a·c+b·c 因为0=号i+o成)=[20i+号O成+6ò] [思考]提示数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即 (a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·cpb=c. I(a+b+e).BC-c-b. 要点三 I.向量a向量b投影向量 所以元.武-(a+b叶c)·(c-b)=寸(a·c-a…b+b: ·187· c-6+c-b~0=ae·ms0-al·s0-ae+ 因为{e,e,e是空间的一个基底，所以e1,e,e不共面， -3x十y=1, a)=Q.所以O元⊥BC,即OG⊥BC 所以x十y=2,此方程组无解， [变式3]证明由题意设BA=a,BC=b,BB,=c,a=b=m: 2x-y=-1, d=,则a…b=mcas60=7m,a·c=b:c=0 所以不存在实数工，y,使Oi=xO苑+y元，所以OiO. OC不共面. 因为AB,⊥BC,且AB,=A正+BB=一a十c, 故OA.OB,心能作为空间的一个基底. BC =BC+BB,=bc. [变式11ABD照对于A项，国为2a=专(a-b)+号(a十 所以AB.BC=(-a十c)·(b十c)=-a·b+c= 2b),所以2a,a一b,a十2b三个向量共面，故它们不能构成 2m=0,即m2=2r, 一个基底：对于B项，周为2b=青(b-a)+号(b叶20)，所 所以AB.AC-(-a+c)·(AA+AB+BO=(-a+c)· 以2b,b一a,b十2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底： （c-a+b=a-e-a…b=mi-f-2t=0. 对于C项，因为找不到实数入，使a=入·2h十u(b一c)成立， 故a,2b,b一c三个向量不共面，它们能构成一个基底：对于 所以AC⊥AB,即AC⊥AB. D项，因为c=a+0)-a-c),所以c,a+ea-c三个 随堂检测·学以致用 向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD项， 1.C爵损由题意可得成=d.所以成，成=成.市 [例题]解析如图所示. 180°-(C市，CD》=180°-60=120.故选C项. 2.B解析由题意可得a⊥b,a⊥c,所以a·(b十c)=a·b十 a·c=0.故选B项. 3.A解扬由题意可得A店·心-（成-P)·P心=P店.P心 PA.P元=PPCIcs∠BPC-0=1X1Xos60=2 M=-0-0M-=20成+0d)-号oi=-号a+2b叶 故选A项 4.解扬A+B武-AC=2.因为萨=号励，B励.B心 2c.0亦-20M+o)=aM+号o=号×号ai+ 2×2Xas60=2,所以成-部=（武-号D)=元 ×号O丽+6ò=a+b+c 武.B亦+}亦=4-2+×4=3，故B心-=3. [变式2]爵析连接A'N(图略)，则AM=A店+号B=A店 答案2 之成+C心)=-+成+心=+之d-+ 1.2空间向量基本定理 号=2A+号C+号A-号a+b+e,=A+ 第一课时空间向量基本定理 AN=AM+号(A官+AC)=AA+号(AB+AC)=a 必备知识·基础落实 号b+c 要点一 不共面基底基向量不共面 [例题3]解析方法一如围，取PC的中点E,连接NE,则M心 [思考]示a与b不可以共线.因为a,b,c不共面，所以a与b EN-EM 不可以共线， 要点二 1.两两垂直1{i,j,k} 2.a=i十y十k两两垂直 [辨析]解析(1)错误.只要三个向量不共面，就可以作为一个 因为E,N分别为PC,PD的中点，所以E=Ci-号B函 基底 (2)正确.由基底的概念知正确. 一A成，又M为PC上靠近C的三等分点， (3)错送.三个向量必须不共面才行. 所以EM=Pi-P市-号P心-P心=P元 (4)错误.当入1=2=λ=0时，满足条件. 答案1)×(2)√(3)×(4)X 连接AC,则P心-AC-AP=A成+AD-A, 关键能力·索养提升 所以=-专A店-专B+Ad-A [例题1]解析假设OA,O店，心共面，由向量共面的充要条件知 =-号A店君+A应 存在实数x,y,使OA=xO店+y心成立， 因为A店.AD,A护不共面， 所以e十2e-e=x(-3e1+e+2e)+y(e+e-ea)= 2 (-3x+y)e+(x十y)e十(2x-y)e. 所以x= y=言= ·188