第07讲 “AAS”与“HL”判定三角形全等（2个知识点+8个考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第07讲 “AAS”与“HL”判定三角形全等（2个知识点+8个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重点) 2．能运用“AAS”“HL”判定方法解决有关问题．(重点) 3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点) 知识点1.三角形全等的推论：角角边（重点） 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF. 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB． 【变式1-2】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【变式1-3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 知识点2.直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 【例2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 【变式2-1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等． 【变式2-2】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【变式2-3】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 考点1：证明线段相等 1.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 3.（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 考点2：证明角相等 4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2. 5.（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 6．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    7．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：． 考点3：证明线段之间的关系 8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE. 9.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      10.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 考点4:解决实际问题 11.（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A． B． C． D． 12.（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 13.（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 14.（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    15.（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？    16.（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 考点5：巧构全等三角形解决问题 (1)．作公共边可构造全等三角形： 17.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D. 18.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C (2)．倍长中线法： 19.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜ 20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． (3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形： 21、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C (4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形： 22.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． (5)．巧用“延长法”构造全等三角形： 23.如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 考点6：利用全等三角形解决设计测量方案问题 24.池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图②，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 请分析两种方案可行的理由．    25.如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：    在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直； 从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点； 从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点； 测得的长为． (1)根据上述方法，河流的宽度为______ m； (2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性． 26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明方案可行的理由． 考点7：全等三角形的探究题 27.已知：如图，，是的中点，平分． (1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 28.如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 考点8：动点问题 29.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 30.（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 31.（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 32．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ； (2)当等于多少时，，请说明理由． 33.如图，已知中，，，，点为的中点．    (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？ 34.已知： 中，，，D 为直线上一动点，连接， 在直线右侧作，且． (1)如图 ，当点 D 在线段上时，过点 E 作 于 H，连接 DE，求证：；    (2)如图 ，当点 D 在线段的延长线上时，连接 交的延长线于点 M．求证：．    35．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．    (1)______；（用t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 5．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（    ）， A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 11．如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 12．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ． 13．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 14．（2024·四川成都·二模）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为 米． 15．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ． 16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，且，，且，，，，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 三、解答题 17．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 18．（21-22八年级上·四川宜宾·期中）如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 19．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）如图，已知点E为上一点，且求证：． 20．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 21．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理． 23．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．    (1)若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． (3)若点、点分别以（2）中的速度同时从点，出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点与点第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离． 24．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 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【变式1-2】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【答案】见解析 【分析】利用，证明 即可． 【详解】∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键． 【变式1-3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的边上的中线， ， ， ．    在和中, ， ， ． （2）由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 知识点2.直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 【例2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可． 【变式2-1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等． 解：在和中， ∴． 上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因． 【答案】不正确，错误原因见解析． 【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定． 【详解】解：不正确，错误原因如下： ∵在中是斜边，在中是直角边， ∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件， ∴解答过程不正确． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键 【变式2-2】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明． 【详解】证明：∵与分别为，边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明： ，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 考点1：证明线段相等 1.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到，结合题意以及三角形内角和可得，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 3.（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键． （1）求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可． 【详解】（1）解：证明： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ； （2）明：结论成立． 证明如下：如图，      ， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 考点2：证明角相等 4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2. 解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决． 5.（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【答案】，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：，， 是的中点， 又， ． 6．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“”可证，可得结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 7．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据可证明，再由全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ． 考点3：证明线段之间的关系 8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE. 解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证． 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵ ∴△BDA≌△AEC(AAS)； (2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 9.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论． 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 10.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． （2）连接， 由证明可得， ， 在和中， ． ， ， ．    考点4:解决实际问题 11.（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论． 【详解】∵ 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴ ∴ 又∵在中, ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单． 12.（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴ ∴ ∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是， ∴小明离地面的高度是： 故答案为： 13.（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 【答案】 【分析】测一堵墙上点的高度，可构造，则，即的长度就是点的高度，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等， ∴， ∵利用“角角边”构造， ∴， ∴测量的长即为墙上点的高度， ∵， ∴m，m，， ∴m． 【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键． 14.（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【答案】博智楼的高度是18米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【详解】解：由题意，得． ∵，， ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 答：博智楼的高度是18米． 15.（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？    【答案】相等，见解析 【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得． 【详解】相等．理由如下： 解：， ， 在和中，， ． ， 即两个针离电线杆底部的距离相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定． 16.（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 【答案】(1)全等，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 由题意可知，， ， ∴． ∴． 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面的地方接住张华的． 考点5：巧构全等三角形解决问题 (1)．作公共边可构造全等三角形： 17.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D. 【思路点拨】∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形. 【答案与解析】 证明：连接AC， ∵AD∥CB，AB∥CD. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 在△ABC与△CDA中 ∴△ABC≌△CDA（ASA） ∴∠B＝∠D 【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD. 18.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C 【答案】 证明：过点A作AD⊥BC 在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠B＝∠C. (2)．倍长中线法： 19.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜ 【答案与解析】 证明：延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD为中线， ∴BD＝CD 在△ADC与△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC＝BE 在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD ∴AD＜. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°. 20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK] ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com] ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 方法2： 如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E ∵BE∥AC ∴∠E=∠2 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（AAS） ∴BE=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC (3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形： 21、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C 【答案与解析】 证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合. 在△ADC与△ADE中 ∴△ADC≌△ADE（SAS） ∴∠AED＝∠C ∵∠AED是△BED的外角， ∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C. 【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形. (4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形： 22.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立． 【答案与解析】 证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME． 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）． 在△AMC和△AME中， ∴ △AMC≌△AME（SAS）． ∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE＝AB－AE， ∴ BE＝AB－AC， ∴ MB－MC＜AB－AC． 【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键. (5)．巧用“延长法”构造全等三角形： 23.如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，得出，证明得出，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，延长、相交于点． ， ． 又， ， 在和中 ， ． 考点6：利用全等三角形解决设计测量方案问题 24.池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图②，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 请分析两种方案可行的理由．    【详解】解：甲同学方案： 在和中， ，，， ， ； 乙同学方案： 在和中， ，，， ， ． 25.如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：    在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直； 从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点； 从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点； 测得的长为． (1)根据上述方法，河流的宽度为______ m； (2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性． 【答案】(1)8 (2)见解析 【详解】（1）解：根据题意可得， 河流的宽度为， 故答案为：； （2）解：画出图形如下：    根据题意可得：，，， ， ∴． 26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明方案可行的理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行 (2)见解析 【详解】（1）解：甲同学的方案可行；乙同学方案不可行； （2）甲同学方案： 在和中， ， ∴， ∴； 乙同学方案： 在和中， 只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行． 考点7：全等三角形的探究题 27.已知：如图，，是的中点，平分． (1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【详解】（1）平分，理由为： 证明：过点作，垂足为， ∵平分， ∴， ∵， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵， ∴， ∵，， ∴平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2），理由如下： ∵， ∴， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（角平分线定义） ∴， ∴， ∴． 即． 28.如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 考点8：动点问题 29.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 30.（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 【答案】5 【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点； ， ， ； 由题意得：； 在与中， ， ， ，； 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答. 31.（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】或7或10 【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， ∴当时：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时： ， 即：， ∴（不合题意，舍去）； 当：时，，， 当重合时，，即：，， ∴，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 综上：当的值为或7或10． 故答案为：或7或10． 【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键． 32．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ； (2)当等于多少时，，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 33.如图，已知中，，，，点为的中点．    (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？ 【答案】(1)①全等，理由见详解；② (2)经过后，点与点第一次在边上相遇 【详解】（1）解：①全等，理由如下， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； ②假设，且， ∴， ∵，， ∴，， ∴点，点运动的时间， ∴点的速度为：， ∴当点的运动速度为时，与全等， 故答案为：． （2）解：设经过后点相遇， ∴，解得，， ∴点共运动了， ∵， ∴点，点在边上相遇， ∴经过后，点与点第一次在边上相遇． 34.已知： 中，，，D 为直线上一动点，连接， 在直线右侧作，且． (1)如图 ，当点 D 在线段上时，过点 E 作 于 H，连接 DE，求证：；    (2)如图 ，当点 D 在线段的延长线上时，连接 交的延长线于点 M．求证：．    【详解】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）如图，作交的延长线于点F，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． 35．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．    (1)______；（用t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；；理由见解析 (3)存在，或，使得与全等 【详解】（1）解：∵点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：，，理由如下： 当时，，， 又， 在和中， ∵， ， ， ， ， ∴． （3）解：由题意可得：，，，， ①若， 则，， 则，， 解得：，； ②若， 则，， 则， 解得：，； 综上所述，存在，或，使得与全等． 一、单选题 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；先证得，，，则①②③成立，再由直角三角形的性质得，，当时，，则④不一定成立，即可得出结论． 【详解】∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①②③成立， ∵， ∴，， 当时，， 故④不一定成立，一定成立的有3个， 故选：C． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识， 作辅助线（延长至，使，连接）构建全等三角形，然后由全等三角形的对应边相等知；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，则， ∵是边上的中线，是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系，得， 即， ∴． 故选：B． 3．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据得到，根据“”对①进行判断；根据“”对③进行判断；根据“”对④进行判断；根据全等三角形的判定方法对②进行判断． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， 在和中， ， ∴； 当时，不能判断． 当时， 在和中， ， ∴； 当时， 在和中， ， ∴； 综上分析可知，能使的条件有3个． 故选：C． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 5．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（    ）， A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 7．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，． 【详解】∵为中点， ∴， ∵由点分别向、作垂线段、， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：． 8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 和不一定相等，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 9．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 二、填空题 11．如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：5． 12．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法，性质是解题的关键． 根据，可得，根据点是的中点，可得，可证，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】连接． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．（2024·四川成都·二模）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：20． 15．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ． 【答案】/14厘米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，且，，且，，，，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了一线三直角全等模型，根据全等求得，用分割法计算面积即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 同理可证，， ∴， ∴实线所围成的图形的面积是． 三、解答题 17．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 18．（21-22八年级上·四川宜宾·期中）如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 19．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）如图，已知点E为上一点，且求证：． 【答案】见详解 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，通过角的等量代换，得，结合可以通过证明，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 20．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】 本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 21．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 根据可得，再利用证明三角形全等即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故长就是A、B之间的距离． 23．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．    (1)若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． (3)若点、点分别以（2）中的速度同时从点，出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点与点第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离． 【答案】(1)2s，理由见解答过程 (2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等 (3)经过16s点P与点Q第一次相遇，在BC边上相遇，相遇点到点B的距离为12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用； （1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论； （3）根据路程速度时间结合点、相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，由点的路程点的速度运动时间可求出点的路程，再结合、、的长度，即可找出点、第一次相遇时的位置，此题得解． 【详解】（1）点与点的速度都是， ， ，，， 要使与全等，则需， 即， ， 即经过的时间与全等； （2）设点的速度是，则点的速度是， ，， ， ，要使与全等，则需，， ， 解得：， 经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等； （3）设经过点与点第一次相遇， 则， ， 的路程， ， 经过点与点第一次相遇，在边上相遇，相遇点到点的距离为． 24．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$