高一下学期期末模拟试卷A-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

2023-2024第二学期期末模拟试卷A卷 1．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 2．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 50海里 D. 海里 4．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 5.已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 7.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 8.在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则二面角是 B. 若二面角是，则正三棱锥的体积是 C. 荅，则正三棱锥内切球的半径是. D. 若，则正三梭锥外接球的表面积为 11.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则的最大值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 13．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 . 14.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 16.（15分）在中，内角所对的边分别为，已知，． (1)求． (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围． (1) (2) 17．（15分）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点. (1)求证AE平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 19.（17分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024第二学期期末模拟试卷A卷 1．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】A 【详解】复数为纯虚数，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限． 故选：A． 2．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 50海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知, 海里，在中，由正弦定理可得， 则海里. 故选：A 4．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，依题意，，所以数据的方差为： ，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由， 解得，D正确. 故选：B 5.已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥母线长为l cm，底面半径为r cm，如图所示，    由题意得：，所以母线cm， 所以侧面展开半圆的弧长为cm， 所以底面圆的周长为，即，所以底面半径cm， 所以该圆锥的高cm， 所以圆锥的体积. 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 7.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 8.在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则二面角是 B. 若二面角是，则正三棱锥的体积是 C. 荅，则正三棱锥内切球的半径是. D. 若，则正三梭锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】如图，取的中点，连接，则是二面角的平面角. 作平面，垂足为，点在上，且. 对于A，由，得，则，从而，故A正确. 对于B，二面角是，即，得， 则3，从而三棱锥的体积，故B正确. 由，得.对于，设三棱锥内切球的半径为，则，所以，故C错误. 设三棱锥外接球的半径为，球心为，且在上，连接， 则，即， 解得，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 11.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，，所以 ，故A正确； 对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1）， 所以，所以的最小值为，此时，故B正确； 因为，（，）， 所以，， 所以，当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 因为，若，，则 ，所以， 所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 【答案】 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为分． 故答案为： 13．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理，所以，即， 由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 因为，，所以， 所以，即，所以， 由为锐角三角形，所以，，可得， 所以，， 由正弦定理得 ， 即的取值范围为. 故答案为：. 14.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 2 【详解】 如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 易知分别为的中点．连接，分别交于点，则平面即平面． 取的中点，因是正方形，则连接，则， 易得，则，所以，所以． 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 由图易得,由可得，由得,从而， 由可得为的中点. 由可得,,, 因, 故四边形的面积． 故答案为：2；. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【小问1详解】 连接，因为，，故四边形为平行四边形， 设与交于点，则为的中点，连接. 因为为的中点，所以为的中位线，则， 因为平面平面，所以平面. 【小问2详解】 延长交于点，连接，取的中点，连接， 则，而，故四边形为平行四边形， 故. 因为四边形为菱形，故，故， 故为等边三角形，所以且. 因为平面，平面 所以，而平面， 所以平面，因为平面， 则点到平面的距离为. . 因为，所以. 设点到平面的距离为，则. 由，得，解得. 故点到平面的距离为. 16.（15分）在中，内角所对的边分别为，已知，． (1)求． (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围． (1) (2) 【答案】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 又，由余弦定理，， 又，所以. （2）法一： 如图，作，，， ， 由为锐角三角形，故， 由，得，所以．    法二：由题意， 由（1）知，所以， 由正弦定理，得， 又为锐角三角形，所以，得，则， 故，所以． 17．（15分）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】 (1) (2) 【详解】（1）设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. （2）因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点. (1)求证AE平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）设和交于点，连接，如图， 由于，分别是，的中点，故， ∵平面，平面，所以直线平面. （2）在四棱柱中，底面是菱形，则， 又平面，且平面，则， ∵平面，平面， ∴平面. 平面，∴. （3）连接，， 因为，是中点，所以， 因为平面，平面，所以， ∴为二面角的平面角， ，，， 由余弦定理可知， ∴二面角的余弦值为. 19.（17分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1)， (2)晋级分数线划为78分合理 (3)90；38.75 【详解】（1）由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． （3），故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$