2.5 实验：用单摆测量重力加速度 -【帮课堂】2024-2025学年高二物理同步学与练（ 人教版2019选择性必修第一册）

2.5 实验：用单摆测量重力加速度 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.实验目标： ①明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。 ②知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。 ③学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。 1.会依据单摆的周期公式确定实验思路。 2.能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作。 3.能正确使用刻度尺测量单摆的摆长，能正确使用停表测量单摆的振动周期。 4.能正确处理数据，测出当地的重力加速度。 5.能从多个角度进行实验误差分析。 重点关注：①单摆及周期公式②摆长、重力加速度、周期③公式法、图像法 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、实验思路 1．实验原理：在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式，可推导得。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 ①摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 ②周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 2 3 2.图像法：由得，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式，可推导得，摆长、周期的测量不准确会导致误差。本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点固定,小球质量大、体积小,细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动,这些要求是否符合。 1．测量摆长时引起的误差：使用刻度尺测量摆线长度时,要多次测量取平均值以减小误差。 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差：要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计摆球全振动次数。 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 3.数据处理误差：利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。 六、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】实验：用单摆测量重力加速度 【典型例题1】（23-24高二下·江西赣州·期中）徐同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，就地取材组装了几种实验装置。 (1)下列最合理的装置是__________。 A． B． C． D． (2)徐同学用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 。 (3)徐同学用秒表记录单摆振动的周期，为了获得更准确的实验结果，实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，由于马虎，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出的周期的平方一摆长（）图像如图乙所示，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）；根据图乙可以计算得出当地的重力加速度大小 （取3.14，计算结果保留两位小数）。 【对点训练1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在“用单摆测重力加速度”的实验中： (1)下列器材和操作最合理的是___________； A． B． C． D． (2)用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1次，单摆每经过最低点记一次数，当单摆第n次通过最低点时停止计时，显示时间为t，该单摆的周期T= ；（用t、n表示） (3)某同学通过改变摆线的长度L，测得对应的周期T，并作出图像如图所示，则根据图像可求出当地的重力加速度g= 。（用图中的符号a、b表示） 【题型二】实验：用单摆测量重力加速度的变式创新 【典型例题1】（23-24高二下·福建三明·期中）在“用单摆测当地重力加速度”实验中，甲、乙两同学为一小组。 (1)两同学利用“手机物理工坊”app中的“磁力计”来测单摆的周期。如图甲，先将小球磁化，小球上下分别为S、N极，将手机放在小球静止位置的下方，并让小球做简谐振动，手机测出其所在空间中磁感强度大小随时间变化，其中z轴磁力计显示如图乙。该单摆的振动周期T为O点与 （选填“A”、“B”、“C”、“D”）点之间的时间差。 (2)两同学在测单摆的摆长时，将绳长加小球直径做为摆长L，测量了多组T、L数据，并分别处理数据。 ①甲同学利用计算法进行处理，其计算的表达式为g＝ （用T、L表示）； ②乙同学利用图像法进行处理，画“”图像，其图像应该是图丙的 （选填“a”、“b”、“c”）； ③甲的测量值将 （选填“大于”、“等于”、“小于”）真实值，乙同学的测量值将 （选填“大于”、“等于”、“小于”）真实值； ④利用乙同学的图像，可求小球半径r＝ （用或表示）。 【对点训练1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”，并“验证机械能守恒定律”的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图①所示。 (1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图②所示，则其直径D= mm； (2)让小钢球以较小的角度在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图③，则小球摆动的周期为T= s； (3)该同学还测得该单摆的摆线长为L，则重力加速度的表达式为g= （用物理量T、L、D表示）。 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）小明同学用如图甲所示的装置进行用单摆测量重力加速度的实验。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______； A．尽量选择质量大、体积小的摆球 B．将摆球拉到最大位移处释放，同时快速按下秒表开始计时 C．测量摆长时，让单摆自然下垂，先测出摆线长度，然后加上摆球的半径 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期 (2)用10分度的游标卡尺测量了小球直径d，示数如图乙所示，则小球直径 ； 2．（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变； (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为 ； (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。 3．（23-24高一下·北京·期中）实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的______（选填选项前的字母） A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的均匀铁球 D．直径约10cm的均匀木球 (2)某同学利用游标卡尺测量小球直径，如图所示，小球直径d为 cm。 (3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是：______（选填选项前的字母） A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (4)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是 （选填“”、“l”、“”），若图线斜率为k，则重力加速度。 （用k和常数表示） (5)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因 。 4．（2024·贵州遵义·三模）某同学在用单摆测量重力加速度的实验中 (1)下列器材和操作合理的是______。 A． B． (2)如图甲所示，用游标卡尺测得小球的直径d＝ mm。 (3)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据作出摆长与周期平方的图像如乙所示，则重力加速度为 （取9.87，结果保留3位有效数字）。 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）某实验小组利用单摆测重力加速度，如图甲所示，细线的一端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在铁架台上，将球拉开一个很小的角度后由静止释放，拉力传感器与计算机连接可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙所示。 (1)由图乙可得该单摆的运动周期T为 s（结果保留两位有效数字）。 (2)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得从悬点到摆球最顶端的长度l=990.5mm；用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示，则摆球的直径d= mm，摆长为 mm。 (3)根据单摆周期公式，可得当地的重力加速度g= （用题中所给字母表示），代入数据可得当地的重力加速度值 （π≈3.14，结果保留三位有效数字）。 (4)若摆线上端悬点未固定好，摆动中出现松动，则重力加速度的测量值比真实值 （填“偏大”或“偏小”）。 【素养提升】 6．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下： ①用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂； ②用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d； ③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》“近距秒表”功能； ④将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。请回答下列问题： (1)根据图（b）可知，单摆的周期 T= s。 (2)改变摆线长度l，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图（c）的图像，则该图像以 为横坐标（选填“”、“T”或“T2”） ， 若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为 。（用所测量字母l、d或T、θ、k等进行表示） 7．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。        (1)将摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中 （选填“甲”或者“乙”）所示的固定方式。 (2)请选择正确的器材（　　） A．体积较小的钢球 B．体积较大的木球 C．无弹性的轻绳子 D．有弹性、质量大的绳子 (3)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长，再用10分度的游标卡尺测量摆球直径，其示数如图3所示，则 mm。 (4)某次实验过程中，用秒表记录了单摆振动40次所用的时间如图4所示，该单摆的周期为 s。       (5)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L图像如图5，此图线斜率的物理意义是（　　） A． B． C． D． (6)如果测得的g值偏小，可能的原因是___________。 A．测摆长时只测量了摆线长度而忘记考虑小球半径 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，导致摆线长度增加了 C．开始计时时，秒表过迟按下 D．实验中误将59次全振动的次数记为60次 8．（23-24高二下·内蒙古乌海·期中）用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)第一小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。 ①从图乙可知，摆球的直径为 mm。 ②该小组的一位同学认为单摆周期为，并由此计算当地的重力加速度，若该小组其他操作都正确，他们的测量结果将 。（选填偏大、偏小、不变） (2)将第三、四、五小组的实验数据标注到同一坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是___________。 A．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L B．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长 C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小 9．（23-24高二下·北京顺义·期中）用如图所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长L为 （用字母l、d表示）；用游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径为 mm (2)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出图像如图乙所示，重力加速度为g，此图线斜率的物理意义是______ A．g B． C． D． (3)某同学在实验过程中，测量摆长时没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是图中的______ A． B． C． (4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺，也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期，用该同学测出的物理量表示重力加速度为 。 【能力培优】 10．（2024·北京朝阳·二模）（1）某同学用弹簧测力计粗测重力加速度。将一个质量为165g的物体挂在校准后的竖直弹簧测力计下端，静止时指针如图1所示，则重力加速度为 m/s2（结果保留2位有效数字）。 （2）某同学用如图2所示的装置测量重力加速度。打点计时器的打点周期为T。让重物从静止开始下落，打出一条清晰的纸带，其中的一部分如图3所示。A、B、C、D、E为纸带上5个连续打下的点。根据纸带可得重力加速度g= （用、、、T表示）。 （3）某实验小组利用图4装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 ①组装好装置后，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图5所示，小钢球直径d= mm，记摆长。 ②多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出图像，如图6所示。已知图线斜率为k，可得重力加速度g=_____________（用k、表示）。 11．（2024·北京海淀·二模）某同学用图1所示装置测定当地重力加速度。 (1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是 。 A．摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些 (2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g= 。 (3)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图2所示。 ①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g= 。 ②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值 真实值。（选填“大于”“等于”或“小于”） (4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足，如图3所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：如图4所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦。如图5所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是 。 A．-sinβ图像 B．-cosβ图像 C．-tanβ图像 ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 实验：用单摆测量重力加速度 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1. 物理观念：知道阻尼振动、驱动力、受迫振动、共振等物理概念。 2.科学思维：①通过实例知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。②通过实例知道共振的条件，认识共振曲线。 3.科学探究：经历共振条件探究的过程，进一步理解共振现象。 4.科学态度与责任：通过实例分析体会振动与生活、生产的关系，培养学以致用的意识。 1.会依据单摆的周期公式确定实验思路。 2.能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作。 3.能正确使用刻度尺测量单摆的摆长，能正确使用停表测量单摆的振动周期。 4.能正确处理数据，测出当地的重力加速度。 5.能从多个角度进行实验误差分析。 重点关注：①单摆及周期公式②摆长、重力加速度、周期③公式法、图像法 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、实验思路 1．实验原理：在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式，可推导得。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 ①摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 ②周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 2 3 2.图像法：由得，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式，可推导得，摆长、周期的测量不准确会导致误差。本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点固定,小球质量大、体积小,细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动,这些要求是否符合。 1．测量摆长时引起的误差：使用刻度尺测量摆线长度时,要多次测量取平均值以减小误差。 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差：要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计摆球全振动次数。 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 3.数据处理误差：利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。 六、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】实验：用单摆测量重力加速度 【典型例题1】（23-24高二下·江西赣州·期中）徐同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，就地取材组装了几种实验装置。 (1)下列最合理的装置是__________。 A． B． C． D． (2)徐同学用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 。 (3)徐同学用秒表记录单摆振动的周期，为了获得更准确的实验结果，实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，由于马虎，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出的周期的平方一摆长（）图像如图乙所示，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）；根据图乙可以计算得出当地的重力加速度大小 （取3.14，计算结果保留两位小数）。 【答案】(1)D (2)21.25 (3) 9.86 【详解】（1）为了减小误差，小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细绳，且要保证摆动过程中摆点不发生移动固定，应采取铁夹夹住细丝线。 故选D。 （2）该游标卡尺的有标尺为20分度，其精度，摆球直径 （3）[1][2]根据单摆周期公式 可得 则图像的斜率 结合题图乙有 解得当地的重力加速度大小 【对点训练1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在“用单摆测重力加速度”的实验中： (1)下列器材和操作最合理的是___________； A． B． C． D． (2)用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1次，单摆每经过最低点记一次数，当单摆第n次通过最低点时停止计时，显示时间为t，该单摆的周期T= ；（用t、n表示） (3)某同学通过改变摆线的长度L，测得对应的周期T，并作出图像如图所示，则根据图像可求出当地的重力加速度g= 。（用图中的符号a、b表示） 【答案】(1)D (2) (3) 【详解】（1）单摆摆动过程中，摆线长度需保持不变，故摆线应该选择弹性小的细丝线，且摆球应选择密度大的铁球，以减小阻力的影响，为了防止摆球摆动时摆长变化，则应该用铁夹夹住上端。 故选D。 （2）一周期内单摆经过两次平衡位置，单摆的周期为 （3）设铁球的半径为，根据单摆周期公式 整理得 图像的斜率为 解得当地的重力加速度为 【题型二】实验：用单摆测量重力加速度的变式创新 【典型例题1】（23-24高二下·福建三明·期中）在“用单摆测当地重力加速度”实验中，甲、乙两同学为一小组。 (1)两同学利用“手机物理工坊”app中的“磁力计”来测单摆的周期。如图甲，先将小球磁化，小球上下分别为S、N极，将手机放在小球静止位置的下方，并让小球做简谐振动，手机测出其所在空间中磁感强度大小随时间变化，其中z轴磁力计显示如图乙。该单摆的振动周期T为O点与 （选填“A”、“B”、“C”、“D”）点之间的时间差。 (2)两同学在测单摆的摆长时，将绳长加小球直径做为摆长L，测量了多组T、L数据，并分别处理数据。 ①甲同学利用计算法进行处理，其计算的表达式为g＝ （用T、L表示）； ②乙同学利用图像法进行处理，画“”图像，其图像应该是图丙的 （选填“a”、“b”、“c”）； ③甲的测量值将 （选填“大于”、“等于”、“小于”）真实值，乙同学的测量值将 （选填“大于”、“等于”、“小于”）真实值； ④利用乙同学的图像，可求小球半径r＝ （用或表示）。 【答案】(1)D (2) c 大于 等于 【详解】（1）由图乙图像知，在运动时，磁感应强度由小变大，说明点在最低点，在运动时，磁感应强度由大变小，说明点在最高点，在运动时，磁感应强度由小变大，说明点在最低点，在运动时，磁感应强度由大变小，说明点在最高点，刚好完成一个完整的周期，D符合题意； 故选D。 （2）[1]根据单摆周期公式知 变形得 [2]根据单摆周期公式知 摆长为 解得 由此得到的图像是图乙中的c，c正确； 故选c。 [3]甲同学利用计算法进行处理，根据单摆周期公式知 变形得 由实验知，偏大，则计算结果偏大，故填“大于”。 [4]乙同学利用图像法进行处理，由图像知斜率不变，重力加速度的测量值不变，故填“不变”。 [5]由图像得 当时，代入得 即，在横轴截距为半径，故利用乙同学的图像，可求小球半径为。 【对点训练1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”，并“验证机械能守恒定律”的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图①所示。 (1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图②所示，则其直径D= mm； (2)让小钢球以较小的角度在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图③，则小球摆动的周期为T= s； (3)该同学还测得该单摆的摆线长为L，则重力加速度的表达式为g= （用物理量T、L、D表示）。 【答案】(1)9.3 (2)2.0 (3)/ 【详解】（1）游标卡尺的精确度为0.1mm，读数为D=9mm+3×0.1mm=9.3mm （2）小球连续两次经过最低点的时间是一个周期，由图③，可知小球摆动的周期为 （3）根据单摆的周期公式，有 解得 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）小明同学用如图甲所示的装置进行用单摆测量重力加速度的实验。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______； A．尽量选择质量大、体积小的摆球 B．将摆球拉到最大位移处释放，同时快速按下秒表开始计时 C．测量摆长时，让单摆自然下垂，先测出摆线长度，然后加上摆球的半径 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期 (2)用10分度的游标卡尺测量了小球直径d，示数如图乙所示，则小球直径 ； 【答案】(1)AC (2)16.4 【详解】（1）A．为了减小空气阻力，所以尽量选择质量大、体积小的摆球，故A正确； B．单摆释放的角度应当小，摆动稳定后，开始计时，计时起点终点为摆球通过平衡位置，故B错误； C．测量摆长时，让单摆自然下垂，先测出摆线长度，然后加上摆球的半径，故C正确； D．用秒表测量单摆完成30~50次次全振动所用时间，然后求平均摆动一次的时间作为单摆的周期，故D错误。 故选AC。 （2）由图乙可知 2．（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变； (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为 ； (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。 【答案】(1)摆长 (2)1.06 (3) 【详解】（1）选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变； （2）摆球直径为 （3）根据单摆的周期公式可得单摆的摆长为 从平衡位置拉开的角度处释放，可得振幅为 以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 3．（23-24高一下·北京·期中）实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的______（选填选项前的字母） A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的均匀铁球 D．直径约10cm的均匀木球 (2)某同学利用游标卡尺测量小球直径，如图所示，小球直径d为 cm。 (3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是：______（选填选项前的字母） A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (4)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是 （选填“”、“l”、“”），若图线斜率为k，则重力加速度。 （用k和常数表示） (5)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因 。 【答案】(1)AC (2)1.130 (3)BC (4) (5)见解析 【详解】（1）AB．单摆所用细线的长度需要比小球的尺寸大得多，且不可伸缩，即选用长约1m的细线，故A正确，B错误； CD．为了减小空气阻力的影响，摆球需选择质量大、体积小，即密度大的钢球，故C正确，D错误。 故选AC。 （2）根据游标卡尺的读数规律，该读数为 （3）A．测出摆线长，将摆线与钢球半径之和作为单摆的摆长，故A错误； B．当摆角小于5°时，单摆的运动才能够近似看为简谐运动，可知实验中需要把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确； C．摆球在平衡位置，即在最低点时速度大，容易确定，以该位置为计时参考点误差小，即实验中，在摆球经过平衡位置时开始计时，故C正确； D．单摆摆动一个周期时间较小，为了减小测量误差，实验中，用秒表测量单摆完成30次或50次全振动所用时间，用时间除以全振动的次数作为单摆的周期，故D错误。 故选BC。 （4）[1]根据单摆的周期公式有 图像纵坐标为周期，图像为一条过原点的倾斜直线，可知，横坐标为。 [2]结合图像与上述有 解得 （5）是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角很小时，单摆的运动才能够近似看为简谐运动。 4．（2024·贵州遵义·三模）某同学在用单摆测量重力加速度的实验中 (1)下列器材和操作合理的是______。 A． B． (2)如图甲所示，用游标卡尺测得小球的直径d＝ mm。 (3)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据作出摆长与周期平方的图像如乙所示，则重力加速度为 （取9.87，结果保留3位有效数字）。 【答案】(1)A (2)12.20 (3) 【详解】（1）根据单摆理想模型可知，为减少空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定。 故选A。 （2）游标卡尺的精确度为0.05mm，所以其读数为 （3）由单摆周期公式有 整理有 结合题图可知，其图像的斜率为 解得 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）某实验小组利用单摆测重力加速度，如图甲所示，细线的一端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在铁架台上，将球拉开一个很小的角度后由静止释放，拉力传感器与计算机连接可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙所示。 (1)由图乙可得该单摆的运动周期T为 s（结果保留两位有效数字）。 (2)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得从悬点到摆球最顶端的长度l=990.5mm；用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示，则摆球的直径d= mm，摆长为 mm。 (3)根据单摆周期公式，可得当地的重力加速度g= （用题中所给字母表示），代入数据可得当地的重力加速度值 （π≈3.14，结果保留三位有效数字）。 (4)若摆线上端悬点未固定好，摆动中出现松动，则重力加速度的测量值比真实值 （填“偏大”或“偏小”）。 【答案】(1)2.0 (2) 18.8 999.9 (3) (4)偏小 【详解】（1）在一个周期内摆球两次经过最低点，每次经过最低点时拉力最大，根据乙图可知周期T=2.0s （2）[1]用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示，则摆球的直径为 [2]摆长为 （3）[1]根据单摆周期公式 解得 [2]代入数据可得当地的重力加速度值 （4）摆线上端悬点未固定好，摆动中出现松动，所测周期T偏大，所测g偏小。 【素养提升】 6．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下： ①用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂； ②用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d； ③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》“近距秒表”功能； ④将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。请回答下列问题： (1)根据图（b）可知，单摆的周期 T= s。 (2)改变摆线长度l，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图（c）的图像，则该图像以 为横坐标（选填“”、“T”或“T2”） ， 若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为 。（用所测量字母l、d或T、θ、k等进行表示） 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得出，单摆的周期为T=2s （2）[1]根据 可得 结合图（c）的图像，可知则该图像以为横坐标。 [2]若图线的斜率为k，则 可知重力加速度的测量值为 7．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。        (1)将摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中 （选填“甲”或者“乙”）所示的固定方式。 (2)请选择正确的器材（　　） A．体积较小的钢球 B．体积较大的木球 C．无弹性的轻绳子 D．有弹性、质量大的绳子 (3)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长，再用10分度的游标卡尺测量摆球直径，其示数如图3所示，则 mm。 (4)某次实验过程中，用秒表记录了单摆振动40次所用的时间如图4所示，该单摆的周期为 s。       (5)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L图像如图5，此图线斜率的物理意义是（　　） A． B． C． D． (6)如果测得的g值偏小，可能的原因是___________。 A．测摆长时只测量了摆线长度而忘记考虑小球半径 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，导致摆线长度增加了 C．开始计时时，秒表过迟按下 D．实验中误将59次全振动的次数记为60次 【答案】(1)甲 (2)AC (3)15.5 (4)2.505 (5)C (6)AB 【详解】（1）将摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中甲所示的固定方式，以防止摆长发生改变。 （2）AB．摆球应该选择体积较小质量较大的钢球，以减小阻力的影响，选项A正确，B错误； CD．摆线应该选择无弹性的轻绳子，选项C正确，D错误。 故选AC。 （3）摆球直径为d=1.5cm+0.1mm×5=15.5mm （4）秒表读数为t=90s+10.2s=100.2s 则周期 （5）根据 可得 则图像的斜率 故选C。 （6）根据 可得 A．测摆长时只测量了摆线长度而忘记考虑小球半径，则摆长测量值偏小，则测得的g值偏小，选项A正确； B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，导致摆线长度增加了，而实际计算时仍用原来的值计算，则得到的g值偏小，选项B正确； C．开始计时时，秒表过迟按下，则周期测量值偏小，则测得的g值偏大，选项C错误； D．实验中误将59次全振动的次数记为60次，则测得的周期T偏小，则g值偏大，选项D错误。 故选AB。 8．（23-24高二下·内蒙古乌海·期中）用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)第一小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。 ①从图乙可知，摆球的直径为 mm。 ②该小组的一位同学认为单摆周期为，并由此计算当地的重力加速度，若该小组其他操作都正确，他们的测量结果将 。（选填偏大、偏小、不变） (2)将第三、四、五小组的实验数据标注到同一坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是___________。 A．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L B．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长 C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小 【答案】(1) 5.980 偏大 (2)A 【详解】（1）①[1]螺旋测微器的精确值为，由图乙可知摆球的直径为 ②[2]从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第n次通过最低点所用的时间为t，则单摆的全振动的次数为 周期为 该小组的一位同学认为单摆周期为，则周期测量值偏小；由 可得 由于计算的周期偏小，所以他们的测量结果将偏大。 （2）A．将摆线长记作摆长L，则有 可得 该函数对应的图像是a，即出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L，故A正确； B．根据图线c的可知，在取为0时，不为0，表明选择的的长度比实际的摆长大一些，即有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，此时有 解得 该图像与摆线的长度大小无关，故B错误； C．根据上述分析可知，三条图像的斜率均为 解得 可知三条图线求出的重力加速度相同，故C错误。 故选A。 9．（23-24高二下·北京顺义·期中）用如图所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长L为 （用字母l、d表示）；用游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径为 mm (2)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出图像如图乙所示，重力加速度为g，此图线斜率的物理意义是______ A．g B． C． D． (3)某同学在实验过程中，测量摆长时没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是图中的______ A． B． C． (4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺，也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期，用该同学测出的物理量表示重力加速度为 。 【答案】(1) 20.6 (2)C (3)A (4) 【详解】（1）[1]摆长应是摆线长加上小球的半径，即 [2] 应先读主尺的示数，再读游标尺的示数，即 （2）根据 可得 故在图像中，其斜率 C正确。 故选C。 （3）单摆实际周期 显然，在其对应的图线上应有纵截距，A正确，BC错误。 故选A。 （4）设摆线长为，小球的直径为，则有， 联立解得 【能力培优】 10．（2024·北京朝阳·二模）（1）某同学用弹簧测力计粗测重力加速度。将一个质量为165g的物体挂在校准后的竖直弹簧测力计下端，静止时指针如图1所示，则重力加速度为 m/s2（结果保留2位有效数字）。 （2）某同学用如图2所示的装置测量重力加速度。打点计时器的打点周期为T。让重物从静止开始下落，打出一条清晰的纸带，其中的一部分如图3所示。A、B、C、D、E为纸带上5个连续打下的点。根据纸带可得重力加速度g= （用、、、T表示）。 （3）某实验小组利用图4装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 ①组装好装置后，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图5所示，小钢球直径d= mm，记摆长。 ②多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出图像，如图6所示。已知图线斜率为k，可得重力加速度g= （用k、表示）。 【答案】 9.7 20.035 【详解】（1）[1]由图知物体的重力为，由 有 （2）[2]因为 得 （3）①[3]小钢球直径。 ②[4]单摆周期公式 得 可见 得 11．（2024·北京海淀·二模）某同学用图1所示装置测定当地重力加速度。 (1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是 。 A．摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些 (2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g= 。 (3)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图2所示。 ①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g= 。 ②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值 真实值。（选填“大于”“等于”或“小于”） (4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足，如图3所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：如图4所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦。如图5所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是 。 A．-sinβ图像 B．-cosβ图像 C．-tanβ图像 【答案】(1)AB (2) (3) 等于 (4)B 【详解】（1）AB．为减小实验误差，摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的，摆球尽量选择密度大的，即质量大些、体积小些的，故AB正确； C．应使摆角小于5°，才可看作理想单摆，故C错误； 故选AB。 （2）在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t,则周期为 根据单摆周期公式 解得 （3）①[1]根据单摆周期公式 变形有 根据图像的斜率可知 解得 ②[2]因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。表达式变为 若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则图像的斜率不变，测量值等于真实值； （4）根据题图可知等效重力加速度为重力加速度沿着垂直于立柱方向的分量，大小为a=gcosβ 根据单摆周期公式 变形可知 则应作图像； 故选B。 ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$