2.2 简谐运动的描述 -【帮课堂】2024-2025学年高二物理同步学与练（ 人教版2019选择性必修第一册）

2.2 简谐运动的描述 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：①知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，理解全振动。②知道周期和频率的关系。 2.科学思维：知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。 3.科学探究：通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。 4.科学态度与责任：通过观察了解有关简谐运动的物理量，培养学生学习物理的兴趣。 1.理解振幅、周期和频率的概念，能用这些概念描述、解释简谐运动。 2.经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、发现特点、形成结论。 3.了解相位、初相位。 4.会用数学表达式描述简谐运动。 重点关注：①振幅、周期、频率②相位及相位差③简谐运动的公式 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 ①概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 ②意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 2．周期和频率 ①全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 ②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 ③频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 ④周期和频率的关系：。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 ⑤圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为，ω＝2πf。 3．相位 ①概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 ②意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 ③相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 二、简谐运动的表达式 ，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 （二）辨析 1. 振幅就是指振子的最大位移吗? 【答案】提示不是。振幅是标量,最大位移是矢量,它们在数值上相等。 2. 物体两次通过平衡位置的过程是一个完整的振动过程吗? 【答案】(1)不一定。振动物体连续两次沿同一方向通过平衡位置的过程是一次全振动,因此,物体两次通过平衡位置的过程不一定是一个完整的振动过程。 3. 一弹簧振子在B、O、C间做简谐运动,如图所示,若弹簧振子从0向右运动时开始计时。则怎样的过程表示一个完整的振动过程? 【答案】(2)从小球第一次经0点向右运动到小球下次回到0点且向右运动的过程,即0→C→0→B→0。 4. 简谐运动的表达式一定是正弦函数吗? 【答案】不一定,还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。 5. 试写出表达式中各物理量的含义。 【答案】①表示简谐运动的振幅。 ②是简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动振动的快慢, 。 ③代表简谐运动的相位, 是时的相位,称作初相位,或初相。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】描述简谐运动的物理量 ( 【点拨】 1．对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从 O 点开始，一次全振动的完整过程为 O → A → O → A ′→ O ；从 A 点开始，一次全振动的完整过程为 A → O → A ′→ O → A 。 (2)完成一次全振动，位移( x )、加速度( a )、速度( v )三者第一次同时与初始状态相同。 (3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系 (1)位移和振幅 ①最大位移的数值等于振幅。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③ 位移是矢量，振幅是标量。 ④ 特别提示 振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。 (2)路程与振幅 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4 A 。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2 A 。 (3)周期与振幅 ： 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 3. 个 周期内路程与振幅的关系 (1) 振动物体在 个 周期内的路程不一定等于一个振幅 A 。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时， 个 周期内的路程才等于一个振幅。 ( 2 ) 当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若开始时质点运动的方向指向平衡位置，则质点在 个 周期内的路程大于 A ，若开始时质点运动的方向远离平衡位置，则质点在 个 周期内的路程小于 A 。 4 ． 振动物体通过路程的计算方法 (1) 求振动物体在一段时间内通过路程的依据 : ①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅 , 则在 n 个 周期内通过的路程必为 n · 4A 。 ②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。 ③振动物体在T/4内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或 T 最大位移处时， T/4内通过的路程才等于一倍振幅。 (2)计算路程的方法是:先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。 ) 【典型例题1】（2024·北京通州·一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（    ） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于N点 D．时，振子具有最大速度 【答案】B 【详解】A．MN间距离为2A=10cm，选项A错误； B．振子的运动周期是 选项B正确； C．时，x=0，则振子位于O点，选项C错误； D．时 振子位于N点，具有最大加速度，最小速度，选项D错误。 故选B。 【对点训练1】（23-24高二下·河南郑州·期中）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过О点时开始计时，经过0.3s首次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期一定为12s B．小球振动的振幅为0.3m C．弹簧振子振动方程可能为m D．0.6s末，小球一定在平衡位置 【答案】D 【详解】A．小球经过O点时开始计时，经过0.3 s首次到达B点，若小球计时是向右运动，则小球振动的周期T=1.2s；若小球计时是向左运动，则s 小球振动的周期T=0.4s 小球振动的周期可能为1.2 s或0.4s，故A错误； B．由题意可知2A=30cm 小球振动的振幅为A=0.15m 故B错误； C．当T=0.4s时，有 可知弹簧振子的振动方程为 当时，有 可知弹簧振子的振动方程为 故C错误； D．周期若为0.4 s，则小球经 运动到平衡位置；周期若为1.2 s，则小球经 运动到平衡位置，所以小球都在平衡位置，故D正确。 故选D。 【题型二】简谐运动表达式的理解和应用 ( 【点拨】 简谐运动的表达式 (1)x: 表示振动质点相对平衡位置的位移。 (2)A: 表示振幅 , 描述振动的强弱。 (3)ω: 表示圆频率 , 它与周期、频率的关系为 。 可见 ω 、 T 、 f 描述的都是振动的快慢。 (4) wt +φ : 表示相位 , 描述做 简谐运动的物体在各个不同 时刻所处的不同状态 , 是描述不同振动的振动步调的物理 量。它是一个随时间变化的量 , 相当于三角函数中的角度，相位每增加 2 π , 意味着物体完成了一次全振动。 (5) φ : 是 t=0 时的相位 , 表示 t=0 时振动质点所处的状态 , 称为初相位或初相。 2. 简谐运动的表达式的理解和应用 (1) 由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅 A 、圆频率 ω 和初相 φ 。根据 或 可求出周期 T 或频率 f ， , 还可以求出某一时刻质点的位移 x 。 (2) 相位差 : 即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω 的简谐运动 , 设其初相分别为φ 1 和φ ₂, 其相位差 △φ =( ω t+ φ 2 )-( ω t+ φ 1 )= φ 2 - φ 1 。它反映出两个简谐运动的步调差异。 (3) 关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解 △φ =42-41 ①取值范围 : - π≤△φ≤π 。 ② △φ =0 , 表明两振动步调完全相同 , 称为同相。 △φ = ±π , 表明两振动步调完全相反 , 称为反相。 ③ △φ >0 , 表示振动 2 比振动 1 超前。 △φ <0 , 表示振动 2 比振动 1 滞后。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南郑州·期中）有两个简谐运动，振动方程分别为和，下列有关它们的说法正确的是（　　） A．它们的振幅之比为 B．它们的周期之比为 C．它们的频率均为 D．它们的相位差 【答案】C 【详解】对简谐运动而言，其振幅，角速度，则周期 频率 初相位为。同理，对简谐运动而言，其振幅，角速度，则周期 频率 初相位为。两者相比可知，它们的振幅之比为 它们的周期之比为 它们的频率均为；它们的相位差 故选C。 【对点训练1】（23-24高二下·河南信阳·期中）有两个简谐运动：和，则下列说法正确的是（    ） A．两者的振幅之比 B．两者的周期之比为 C．两者的初相位之比 D．的相位比的相位落后 【答案】D 【详解】A．由表达式可以看出两简谐振动的振幅分别为4a和8a，则 故A错误； B．因角速度均为，则周期满足，故B错误； CD．初相位分别为，，， 故C错误，D正确。 故选D。 【题型三】简谐运动的周期性与对称性 ( 【点拨】 1.简谐运动的对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在 A 、 B 两点间做简谐运动， O 点为平衡位置， OC ＝ OD 。 (1)时间的对称 ① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即 t DB ＝ t BD 。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中 t DB ＝ t BD ＝ t CA ＝ t AC ， t OD ＝ t DO ＝ t OC ＝ t CO 。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如 D 点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 点与 D 点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如 C 点)时，位移相同。 ②物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 点与 D 点)时，位移大小相等、方向相反。 2. 简谐运动的多解性 (1) 周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 ( 2 ) 对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 ) 【典型例题1】（21-22高二上·重庆·阶段练习）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．1.2s D．1.8s 【答案】B 【详解】如图甲所示 若振子从O点开始向右振动，则振子的振动周期为 如图乙所示 若振子从O点开始向左振动，令从O到M的时间为t，则有 则可解得 振子的振动周期为 故选B。 【对点训练1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，振幅为0.1m，依次通过相距0.2m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t₁=1s时经过B点，t2=3s时也刚好经过B点，则该振动的周期可能是（　　） A．1.8s B．1s C．0.4 s D．s 【答案】C 【详解】振幅A=0.1m，在时间内根据简谐振动的周期性有，（） 在时间内根据简谐振动的周期性有，（） 综合解得（） 当n=2时 故选C。 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（20-21高二下·陕西宝鸡·期中）弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【答案】D 【详解】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。 故选D。 2．（12-13高二下·浙江宁波·期末）如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为（　　）    A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm 【答案】B 【详解】简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间 因过N点后再经过 质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间 因此，质点振动的周期是 这2s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅 故选B。 3．（2024高三下·甘肃·学业考试）如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5Hz，在t=0时，位移是3cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】简谐运动振动方程的一般表达式为x=Asin（ωt+φ） 根据题给条件有：A=6cm，ω=2πf=π 得x=6sin（πt+φ） cm 将t=0时x=3cm代入得3=6sinφ 解得初相或 因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取； 即所求的振动方向为x=6sin（πt+）cm 故选C。 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图所示，弹簧振子以点为平衡位置，在两点间做简谐运动，点为的中点。振子从左向右经过点时开始计时，经过后振子第一次返回到点，再经过振子从左向右经过点。求： （1）该振子的振动周期； （2）该振子做简谐运动的圆频率。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设振子自点从左向右运动到点所用时间为，根据运动的对称性有， 解得 （2）振子做简谐运动的圆频率 解得 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）某个质点的简谐运动图像如图所示。求振动的振幅和周期。 【答案】， 【详解】根据图像可知振动的振幅为 周期为 【素养提升】 6．（21-22高二下·吉林白城·阶段练习）一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，时刻振子的位移；时刻；时刻。该振子的振幅和周期不可能为（  ） A．0.1m， B．0.1m, 8s C．0.2m， D．0.2m，8s 【答案】B 【详解】A．若振子的振幅为0.1m，根据简谐运动的周期性和对称性，如图甲所示 有 则周期的最大值为 A正确，B错误； C．若振子的振幅为0.2m，由简谐运动的周期性和对称性可知，振子由运动到时，如图乙所示 有 所以最大周期为 且时刻，C正确； D．若振子的振幅为0.2m，振子由运动到，需时间再经到，如图丙所示 则根据简谐运动的周期性有 所以最大周期为 且时刻，，D正确； 故选B。 7．（23-24高二下·陕西渭南·期中）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为的小球，小球静止时弹簧伸长量为。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度取。 （1）写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式； （2）求出小球在内运动的总路程和时刻的位置； 【答案】（1）；（2），平衡位置（） 【详解】（1）由振动图像可知，，则 则小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式为 代入得 （2），则小球在内运动的总路程为时刻小球的位置坐标，即小球在平衡位置处。 【能力培优】 8．（23-24高二下·上海普陀·期中）艺术体操运动员以频率 f = 4Hz上下抖动长绸带的一端，绸带自左向右呈现波浪状起伏。t =0 时刻，绸带形状如图所示（符合正弦函数图像特征）。P为绸带上的一点，其偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为（    ） A．x = 0.3sin(8πt −) (SI) B．x = 30sin(8πt −) (SI) C．x = 0.3sin(4t − ) (SI) D．x = 0.3sin(8πt +) (SI) 【答案】A 【详解】由题意可知 由图可知时刻P位于负向最大位移处，则P偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为 故选A。 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图甲所示，一竖直弹簧振子做简谐运动，其位移—时间关系如图乙所示，。 （1）写出该简谐运动的表达式； （2）求振子在时离平衡位置的距离d。 【答案】（1）；（2）2.121cm 【详解】（1）设该简谐运动的表达式为 由题图可得 A＝3cm T＝0.2s 当t＝0时x＝3cm 可得 综上可得 （2）当t＝0.025s时x＝2.121cm 振子在t＝0.025s时离平衡位置的距离d＝2.121cm 10．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）如图甲所示，光滑水平面上有一处于原长状态的弹簧，其左端与一固定立柱相连，右侧与一静止的小球相连。现将小球向右拉至M点后，由静止释放小球。以O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向，小球向左经过O点时为t＝0时刻，小球的振动图像如图乙所示。求： （1）O、M两点间的距离； （2）该振子在0～2024s内的总路程； （3）弹簧振子简谐运动的位移与时间的关系式。 【答案】（1）5cm；（2）50.6m；（3） 【详解】（1）O、M两点间的距离即位弹簧振子的振幅A，由图乙可知A＝5cm （2）振子的振动周期为T＝8s 0～2024s内的总路程为 （3）根据 简谐运动的位移与时间的关系式为 由图乙可知，t＝2s时x＝-5cm 代入位移与时间的关系式得 故弹簧振子简谐运动的位移与时间的关系式 ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 简谐运动的描述 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：①知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，理解全振动。②知道周期和频率的关系。 2.科学思维：知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。 3.科学探究：通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。 4.科学态度与责任：通过观察了解有关简谐运动的物理量，培养学生学习物理的兴趣。 1.理解振幅、周期和频率的概念，能用这些概念描述、解释简谐运动。 2.经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、发现特点、形成结论。 3.了解相位、初相位。 4.会用数学表达式描述简谐运动。 重点关注：①振幅、周期、频率②相位及相位差③简谐运动的公式 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 ①概念：振动物体离开平衡位置的________距离。 ②意义：振幅是表示________________大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的________。 2．周期和频率 ①全振动：一个________的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是________的。 ②周期：做简谐运动的物体完成一次________所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 ③频率：物体完成全振动的_______与______________之比，数值等于_____________________________的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是________，简称________，符号是Hz。 ④周期和频率的关系：________。周期和频率都是表示物体________的物理量，周期越小，频率越________，表示振动越快。 ⑤圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成________、与频率成________，它们间的关系式为________，ω＝2πf。 3．相位 ①概念：物理学中把________叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 ②意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的________。 ③相位差：两个具有相同________的简谐运动的相位的差值，Δφ＝________ (φ1>φ2)。 二、简谐运动的表达式 ________________________，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的________，A为________，ω为________，T为简谐运动的________，φ0为________。 （二）辨析 1. 振幅就是指振子的最大位移吗? 2. 物体两次通过平衡位置的过程是一个完整的振动过程吗? 3. 一弹簧振子在B、O、C间做简谐运动,如图所示,若弹簧振子从0向右运动时开始计时。则怎样的过程表示一个完整的振动过程? 4. 简谐运动的表达式一定是正弦函数吗? 5. 试写出表达式中各物理量的含义。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】描述简谐运动的物理量 ( 【点拨】 1．对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从 O 点开始，一次全振动的完整过程为 O → A → O → A ′→ O ；从 A 点开始，一次全振动的完整过程为 A → O → A ′→ O → A 。 (2)完成一次全振动，位移( x )、加速度( a )、速度( v )三者第一次同时与初始状态相同。 (3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系 (1)位移和振幅 ①最大位移的数值等于振幅。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 (2)路程与振幅 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4 A 。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2 A 。 (3)周期与振幅 ： 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 3. 个 周期内路程与振幅的关系 (1) 振动物体在 个 周期内的路程不一定等于一个振幅 A 。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时， 个 周期内的路程才等于一个振幅。 ( 2 ) 当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若开始时质点运动的方向指向平衡位置，则质点在 个 周期内的路程大于 A ，若开始时质点运动的方向远离平衡位置，则质点在 个 周期内的路程小于 A 。 4 ． 振动物体通过路程的计算方法 (1) 求振动物体在一段时间内通过路程的依据 : ①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅 , 则在 n 个 周期内通过的路程必为 n · 4A 。 ②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。 ③振动物体在T/4内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或 T 最大位移处时， T/4内通过的路程才等于一倍振幅。 (2)计算路程的方法是:先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。 ) 【典型例题1】（2024·北京通州·一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（    ） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于N点 D．时，振子具有最大速度 【对点训练1】（23-24高二下·河南郑州·期中）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过О点时开始计时，经过0.3s首次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期一定为12s B．小球振动的振幅为0.3m C．弹簧振子振动方程可能为m D．0.6s末，小球一定在平衡位置 【题型二】简谐运动表达式的理解和应用 ( 【点拨】 简谐运动的表达式 (1)x: 表示振动质点相对平衡位置的位移。 (2)A: 表示振幅 , 描述振动的强弱。 (3)ω: 表示圆频率 , 它与周期、频率的关系为 。 可见 ω 、 T 、 f 描述的都是振动的快慢。 (4) wt+φ : 表示相位 , 描述做 简谐运动的物体在各个不同 时刻所处的不同状态 , 是描述不同振动的振动步调的物理 量。它是一个随时间变化的量 , 相当于三角函数中的角度，相位每增加 2 π , 意味着物体完成了一次全振动。 (5) φ : 是 t=0 时的相位 , 表示 t=0 时振动质点所处的状态 , 称为初相位或初相。 2. 简谐运动的表达式的理解和应用 (1) 由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅 A 、圆频率 ω 和初相 φ 。根据 或 可求出周期 T 或频率 f ， , 还可以求出某一时刻质点的位移 x 。 (2) 相位差 : 即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω 的简谐运动 , 设其初相分别为φ 1 和φ ₂, 其相位差 △φ =( ω t+ φ 2 )-( ω t+ φ 1 )= φ 2 - φ 1 。它反映出两个简谐运动的步调差异。 (3) 关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解 △φ =42-41 ①取值范围 : - π≤△φ≤π 。 ② △φ =0 , 表明两振动步调完全相同 , 称为同相。 △φ = ±π , 表明两振动步调完全相反 , 称为反相。 ③ △φ >0 , 表示振动 2 比振动 1 超前。 △φ <0 , 表示振动 2 比振动 1 滞后。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南郑州·期中）有两个简谐运动，振动方程分别为和，下列有关它们的说法正确的是（　　） A．它们的振幅之比为 B．它们的周期之比为 C．它们的频率均为 D．它们的相位差 【对点训练1】（23-24高二下·河南信阳·期中）有两个简谐运动：和，则下列说法正确的是（    ） A．两者的振幅之比 B．两者的周期之比为 C．两者的初相位之比 D．的相位比的相位落后 【题型三】简谐运动的周期性与对称性 ( 【点拨】 1.简谐运动的对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在 A 、 B 两点间做简谐运动， O 点为平衡位置， OC ＝ OD 。 (1)时间的对称 ① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即 t DB ＝ t BD 。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中 t DB ＝ t BD ＝ t CA ＝ t AC ， t OD ＝ t DO ＝ t OC ＝ t CO 。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如 D 点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 点与 D 点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如 C 点)时，位移相同。 ②物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 点与 D 点)时，位移大小相等、方向相反。 2. 简谐运动的多解性 (1) 周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 ( 2 ) 对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 ) 【典型例题1】（21-22高二上·重庆·阶段练习）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．1.2s D．1.8s 【对点训练1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，振幅为0.1m，依次通过相距0.2m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t₁=1s时经过B点，t2=3s时也刚好经过B点，则该振动的周期可能是（　　） A．1.8s B．1s C．0.4 s D．s ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（20-21高二下·陕西宝鸡·期中）弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 2．（12-13高二下·浙江宁波·期末）如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为（　　）    A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm 3．（2024高三下·甘肃·学业考试）如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5Hz，在t=0时，位移是3cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图所示，弹簧振子以点为平衡位置，在两点间做简谐运动，点为的中点。振子从左向右经过点时开始计时，经过后振子第一次返回到点，再经过振子从左向右经过点。求： （1）该振子的振动周期； （2）该振子做简谐运动的圆频率。 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）某个质点的简谐运动图像如图所示。求振动的振幅和周期。 【素养提升】 6．（21-22高二下·吉林白城·阶段练习）一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，时刻振子的位移；时刻；时刻。该振子的振幅和周期不可能为（  ） A．0.1m， B．0.1m, 8s C．0.2m， D．0.2m，8s 7．（23-24高二下·陕西渭南·期中）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为的小球，小球静止时弹簧伸长量为。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度取。 （1）写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式； （2）求出小球在内运动的总路程和时刻的位置； 【能力培优】 8．（23-24高二下·上海普陀·期中）艺术体操运动员以频率 f = 4Hz上下抖动长绸带的一端，绸带自左向右呈现波浪状起伏。t =0 时刻，绸带形状如图所示（符合正弦函数图像特征）。P为绸带上的一点，其偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为（    ） A．x = 0.3sin(8πt −) (SI) B．x = 30sin(8πt −) (SI) C．x = 0.3sin(4t − ) (SI) D．x = 0.3sin(8πt +) (SI) 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图甲所示，一竖直弹簧振子做简谐运动，其位移—时间关系如图乙所示，。 （1）写出该简谐运动的表达式； （2）求振子在时离平衡位置的距离d。 10．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）如图甲所示，光滑水平面上有一处于原长状态的弹簧，其左端与一固定立柱相连，右侧与一静止的小球相连。现将小球向右拉至M点后，由静止释放小球。以O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向，小球向左经过O点时为t＝0时刻，小球的振动图像如图乙所示。求： （1）O、M两点间的距离； （2）该振子在0～2024s内的总路程； （3）弹簧振子简谐运动的位移与时间的关系式。 ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$