第03讲 多边形及其内角和（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第03讲 多边形及其内角和（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形的周长 题型三 网格中多边形面积比较 题型四 多边形对角线的条数问题 题型五 对角线分成的三角形个数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多（少）算一个角问题 题型九 多边形截角后的内角和问题 题型十 复杂图形的内角和 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和综合 题型十四 平面镶嵌 知识点01： 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． 知识点02： 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【典型例题一 多边形的概念与分类】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边． 4．（2023九年级·广东·专题练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 5．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【典型例题二 多边形的周长】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 4．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ． 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 6．（22-23八年级上·湖北·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【典型例题三 网格中多边形面积比较】 1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 2．（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 3．（22-23七年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 4．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 5．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．平移，使点A与点D重合．    (1)画出平移后的三角形； (2)在（1）的条件下，线段扫过的区域的面积是________． 6．（22-23七年级上·重庆江北·期末）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． (1)在给定方格纸中，点B与点对应，请画出平移后的； (2)线段与线段的关系是______________； (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【典型例题四 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有（　　） A．7条 B．4条 C．6条 D．2条 2．（22-23六年级下·山东济南·期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 3．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 4．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条． 5．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）画出下面各图中多边形的所有对角线．    6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【典型例题五 对角线分成的三角形个数问题】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（    ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ． 4．（23-24七年级上·山东济南·期末）从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了个三角形，则的值为 ． 5．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值． 6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【典型例题六 多边形内角和问题】 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，将一张六边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）八边形内角和度数为 ． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形是 边形． 5．（22-23八年级下·广西桂林·期末）已知某n边形内角和是，求n的值． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的高，是的交点，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想． 【典型例题七 正多边形的内角问题】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列四组多边形中，能密铺地面的是(  ) ①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③ 2．（2024·山东济宁·二模）如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ） A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）边数为7边形的正7边形内角和为 ． 4．（23-24八年级上·广西柳州·期中）正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是 ． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）小明想:2015年世博会将在意大利米兰举行，设计一个内角和是2015°的多边形图案多有意义啊!你同意小明的想法吗?为什么? 6．（22-23八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．求的度数． 【典型例题八 多（少）算一个角问题】 1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是 度． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 5．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）一个n边形去掉一个角后，内角和为，求这个多边形去掉的内角度数及n的值． 6．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 【典型例题九 多边形截角后的内角和问题】 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 3．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 4．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，求原多边形边数． 6．（23-24八年级上·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      【典型例题十 复杂图形的内角和】 1．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 6．（2023九年级·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【典型例题十一 正多边形的外角问题】 1．（2024·江苏无锡·三模）正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·中考真题）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（2024·广东东莞·一模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是 边形． 4．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）宁夏川民俗园为国家AAAA级旅游景区和红色旅游经典景区，小林去民俗园参加实践活动时发现，“金色礼仪大殿”内有正八边形图案，如图所示，则的大小为 度． 5．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值． 6．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一个多边形的边数，它的每一个内角都等于，求： （1）边数；              （2）这个边形的内角和； 【典型例题十二 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）若一个多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是 C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是 3．（2024·福建厦门·二模）五边形的外角和为 ． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，已知，那么 ． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 6．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【典型例题十三 多边形内角和与外角和综合】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（    ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 2．（2024八年级下·上海·专题练习）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是 边形． 4．（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为 ． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数． 6．（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的倍，求这个正多边形一个内角的度数． 【典型例题十四 平面镶嵌】 1．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）只用下列一种正多边形不能密铺成平面图案的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（    ）                  （1）                （2）                    （3）                （4）   A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 3．（22-23七年级下·重庆万州·期末）用正六边形的瓷砖铺满地面，围绕一点拼在一起的正六边形瓷砖的块数是 块． 4．（22-23八年级上·天津宝坻·期中）把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需 个正三角形才可以镶嵌． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    6．（22-23七年级下·山西晋城·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 【变式训练1 多边形的概念与分类】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 6．（2023·湖南湘潭·中考真题）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ① ； ② ． 不同点： ① ； ② ． 【变式训练2 网格中多边形面积比较】 1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为(　　) A．7 B．10 C． D．8 2．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 4．（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求进行下列作图． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，请画出经两次平移后得到的（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）； (2)连接和，则四边形的面积为 ． 6．（22-23七年级下·江西赣州·期末）如图，在7×12的方格纸中，每个小正方形的边长为一个长度单位，点A、B、C都在格点上． (1)将线段BC向上平移2个单位得到线段DE，在方格纸中画出线段DE，连接AD，AE； (2)三角形ADE的面积＝　　． 【变式训练3 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24七年级上·甘肃白银·阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为________，这些对角线将多边形分成了________个三角形，这个多边形共有________条对角线（    ） A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）n边形（）同一顶点处可引 条对角线． 4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）过四边形的一个顶点作对角线，可将四边形分成 个三角形． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）画出图中多边形的所有对角线． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？六边形……n边形呢？和同伴交流你的想法． 【变式训练4 对角线分成的三角形个数问题】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 3．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）过五边形一个顶点的所有对角线，将这个五边形分成个三角形，则的值为 ． 4．（22-23七年级下·四川成都·开学考试）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数． 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 【变式训练5 多边形内角和问题】 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度． 4．（2024·广西柳州·三模）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ． 5．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，求出下列图形中x的值． 6．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值 (1) (2) 【变式训练6 正多边形的内角问题】 1．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）正方形的内角和是 ． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知正n边形的每一个内角都等于，则n的值为 ． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 6．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【变式训练7 多（少）算一个角问题】 1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．（22-23七年级上·重庆云阳·阶段练习）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 5．（2023八年级下·全国·专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【变式训练8 多边形截角后的内角和问题】 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）将正方形截去一个角后，剩下的图形一定是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 4．（22-23六年级下·山东烟台·期中）（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ； （2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一个长方形的桌面锯掉一个角后，剩余桌面的内角和是多少？ 6．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°． (1)求这个正多边形的边数； (2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 【变式训练9 复杂图形的内角和】 1．（22-23八年级上·江西上饶·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　　　 ） A．180° B．270° C．360° D．720° 2．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 4．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ． 5．（2023九年级·浙江嘉兴·学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 6．（22-23八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【变式训练10 正多边形的外角问题】 1．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·山东聊城·一模）正八边形的一个外角的大小是 ． 4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果正多边形的一个外角为，那么它是正 边形． 5．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角多60°，求这个多边形的边数． 6．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下面是正多边形M和N的对话：    (1)求M和N的边数； (2)在计算N的每个内角的度数时，嘉嘉和琪琪的思路如下，请你任选一个思路进行解答． 嘉嘉 先计算内角和，再计算每个内角 琪琪 先计算每个外角，再计算每个内角 【变式训练11 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）正六边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（  ） A．10米 B．18米 C．20米 D．36米 3．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）七边形的外角和等于 ． 4．（2024·山西运城·一模）如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则 度． 5．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 6．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【变式训练12 多边形内角和与外角和综合】 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知一个多边形的每个外角为，则该多边形的边数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024·湖北黄石·二模）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·重庆·三模）若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个多边形的内角和与外角和的差为，则这个多边形的边数是 . 5．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 6．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【变式训练13 平面镶嵌】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列图形中，只用一种作平面镶嵌，这种图形不可能是（　　） A．三角形 B．凸四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．（2024九年级·全国·竞赛）学校会议室的地面是用等边三角形和正六边形镶嵌铺成的，在每个等边三角形或正六边形的顶点周围有个等边三角形和个正六边形，则与的和为（    ）． A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 4．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段练习）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ． ①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙､不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（22-23七年级上·四川达州·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下面多边形的名称： (1)     (2)    (3) 7．（2023·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 8．（22-23七年级上·吉林长春·期末）每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成 个三角形． 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是 ．    10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）将一个多边形的边数增加2，下列4个说法中，①内角和增加，②外角和增加360°，③内角和变为原来的2倍，④外角和变为原来的2倍；正确的有： ．（填序号） 11．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，求的度数． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍 (1)求这个多边形的边数； (2)如这个多边形是正多边形，则它每一个内角的度数是__________． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； (3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个内角比一个外角大多少？ 14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． (1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； (2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； (3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 15．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 多边形及其内角和（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形的周长 题型三 网格中多边形面积比较 题型四 多边形对角线的条数问题 题型五 对角线分成的三角形个数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多（少）算一个角问题 题型九 多边形截角后的内角和问题 题型十 复杂图形的内角和 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和综合 题型十四 平面镶嵌 知识点01： 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． 知识点02： 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【典型例题一 多边形的概念与分类】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，即可求解． 【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意； B、不属于多边形，故本选项不符合题意； C、属于多边形，故本选项符合题意； D、不属于多边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据三角形的分类，四边形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A正确，故不符合要求； 四边形包括平行四边形、梯形，B正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C正确，故不符合要求； 平行四边形包括长方形，正方形是特殊的长方形，D错误，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，四边形的分类．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边． 【答案】 【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算． 【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边， ∴个六边形、个五边形共有条边， 故答案为：. 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边． 4．（2023九年级·广东·专题练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 【答案】 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． 5．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】见解析 【分析】根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 【典型例题二 多边形的周长】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 2．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【答案】B 【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可． 【详解】由图形可得出： 该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm）， 故该主板的周长是96mm， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】5 【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是30cm， ∴正六边形的边长=30÷6=5（cm）； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六边形的边长相等是解题的关键． 4．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ． 【答案】4 【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解． 【详解】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC． ∵AD+AE＝2， ∴BD+CE+BC＝2． ∴C△ABC＝AB+AC+BC ＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC ＝（AD+AE）+（BD+CD+BC） ＝2+2 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的周长，解题的关键是正确理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分． 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 6．（22-23八年级上·湖北·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 【典型例题三 网格中多边形面积比较】 1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】A 【分析】利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得． 【详解】解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7， 故选：A． 【点睛】本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2．（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 4．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 5．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．平移，使点A与点D重合．    (1)画出平移后的三角形； (2)在（1）的条件下，线段扫过的区域的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)28 【分析】（1）根据点A和点D的位置，得出平移的方式，再画出点B和点C平移后的对应点，依次连接即可； （2）用割补法求解即可． 【详解】（1）解：根据点A和点D的位置可得，向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度，如图所示，即为所求，    （2）解：线段扫过的区域面积为四边形的面积， 线段扫过的区域面积=四边形的面积 ． 故答案为：28．      【点睛】本题主要考查了平行的作图，解题的关键是熟练掌握平移的作图方法和步骤． 6．（22-23七年级上·重庆江北·期末）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． (1)在给定方格纸中，点B与点对应，请画出平移后的； (2)线段与线段的关系是______________； (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)15 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点，，再连接即可； （2）根据平移的性质回答即可； （3）根据图形得到扫过部分的图形，再根据面积公式计算． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由平移可知：线段与线段的关系是平行且相等； （3）由图可知：线段扫过的部分为平行四边形， ∴面积为． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，多结合图形解决问题． 【典型例题四 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有（　　） A．7条 B．4条 C．6条 D．2条 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线条数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．据此解答即可． 【详解】解：十边形的一个顶点出发可以画出对角线的数量（条）， 故选：A． 2．（22-23六年级下·山东济南·期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数以及三角形的个数，根据n边形的对角线条数为条，把n形分割成的三角形的个数为条，据此即可作答． 【详解】解：从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为（条）， 它们把十二边形分割成的三角形的个数为（个）， 故选：B． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，进行求解即可． 【详解】解：过正八边形的一个顶点有条对角线； 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，以及多边形从一个顶点可画对角线的条数，根据n边形从一个顶点可画条对角线，即可解答． 【详解】解：由题意得要使五边形木框不变形，至少还要钉根木条， 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）画出下面各图中多边形的所有对角线．    【答案】见解析 【分析】将与每个顶点不相邻的顶点连起来即可. 【详解】解：分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来， 如图所示，即为所求：    【点睛】本题主要考查了多边形对角线的概念，熟记概念和娴熟的作图能力是解答本题的关键. 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键． （1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可； （2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可； （3）把代入，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线， ∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为， 故答案为：； （2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次， ∴n边形所有对角线的条数为； （3）解：把代入，得， ∴一个十边形的对角线的条数为． 【典型例题五 对角线分成的三角形个数问题】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线数量问题，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是五边形， 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（    ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律； 根据从一个n边形的某个顶点出发，把n边形分为个三角形，再根据三角形的内角和公式列方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，解得： 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，有条对角线，把多边形分成个三角形，这是解题的关键．根据多边形的对角线规律求解即可． 【详解】从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是：． 故答案为：9． 4．（23-24七年级上·山东济南·期末）从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了个三角形，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形有条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，掌握多边形的对角线的性质是解题的关键． 【详解】解：从边形的一个顶点作对角线，把这个边形分成三角形的个数是， 从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数是：（个， 故答案为：5． 5．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，若多边形为边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形，这些对角线有条，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知，这个七边形从一个顶点出发的对角线有4条，这些对角线将这个七边形分成了5个三角形， 所以，， 所以 6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1 【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可． 【详解】解：根据图形可知， 图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1． 【点睛】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键． 【典型例题六 多边形内角和问题】 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和为即可解题． 【详解】解∶∵六边形的内角和为， ∴． 故选：A． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，将一张六边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，根据多边形的内角和定理可知边数相等的两个多边形内角和相等，再逐个判断得出答案． 【详解】①剪出一个三角形，一个七边形，内角和不相等，所以不符合题意； ②剪出两个五边形，内角和相等，所以符合题意； ③剪出一个三角形，一个五边形，所以不符合题意； ④剪出两个四边形，所以符合题意． 可知符合要求的有②④． 故选：D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）八边形内角和度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形是 边形． 【答案】十 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则， 解得． 即：这个多边形是十边形， 故答案为：十． 5．（22-23八年级下·广西桂林·期末）已知某n边形内角和是，求n的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据，解答即可． 【详解】根据题意，得，， 解得． 故n的值为8． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的高，是的交点，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】，见解析 【分析】根据分别是边上的高，可得，根据四边形内角和，即可求解， 本题考查了四边形内角和，解题的关键是：熟练掌握四边形内角和． 【详解】解： ∵分别是边上的高， ∴， 是的外角， ， 故答案为：． 【典型例题七 正多边形的内角问题】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列四组多边形中，能密铺地面的是(  ) ①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为是解题关键．根据围绕一点的各个角的和为进行一一判断即可． 【详解】解∶①正六边形与正三角形，正六边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面； ②正十二边形与正三角形，正十二边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面； ③正八边形与正方形，正八边角形每个内角，正方形每个内角，， 能铺满地面， ④正三角形与正方形，正三角形每个内角，正方形每个内角，，能铺满地面； 其中能铺满地面的是①②③④． 故选：A． 2．（2024·山东济宁·二模）如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ） A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和定理等知识，先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵多边形是正五边形， ∴内角是， ， ，即10个正五边形能围城这一个圆环， 所以要完成这一圆环还需7个正五边形 故选：C 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）边数为7边形的正7边形内角和为 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：， 即正七边形内角和为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广西柳州·期中）正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查多边形外角和定理，多边形的外角和是360度，先求出每个外角的度数，根据外角和360度求解即可． 【详解】根据题意有每个外角的度数为：， ， 故答案为：6． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）小明想:2015年世博会将在意大利米兰举行，设计一个内角和是2015°的多边形图案多有意义啊!你同意小明的想法吗?为什么? 【答案】不同意，小明的想法无法实现.理由见解析. 【详解】试题分析：n边形的内角和为（n-2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用2015°除以180°，看结果是否能整除． 试题解析： 不同意，小明的想法无法实现. 因为多边形的内角和公式为,其一定是180°的整数倍，而2015°不能被180°整除， 所以不可能有内角和为2015°的多边形. 6．（22-23八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．求的度数． 【答案】 【分析】先算出正方形和正六边形每个内角的度数，分别求出它们一个外角的度数，相加即可． 【详解】解：正方形的一个内角的度数为：，正六边形一个内角的度数为： ， 则： ． 【点睛】本题考查正多边形的每个内角度数，以及正多边形的一个外角的度数．熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 【典型例题八 多（少）算一个角问题】 1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 3．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是 度． 【答案】130 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则（n﹣2）×180﹣x＝2570， 180•n＝2930+x， ∴n＝， ∵n为正整数，0°＜x＜180°， ∴n＝17， ∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180°． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）一个n边形去掉一个角后，内角和为，求这个多边形去掉的内角度数及n的值． 【答案】， 【分析】先计算得到商和余数，再根据多边形的内角和的特点可得多边形的边数与去掉的那个内角的大小． 【详解】解：设多边形的边数是，而 ， ∴， 解得：， ∴这个多边形去掉的内角度数为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于理解多边形的内角和的特点． 6．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 【答案】(1)120度 (2)12边 【分析】（1）根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多算进去的内角度数：； （2）右（1）可知，多算进去的内角为， ∴这个多边形的内角和为：， ，解得：， ∴这个多边形边数为12． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角和公式． 【典型例题九 多边形截角后的内角和问题】 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】 本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得共有5条对角线的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则， 解得：（负值已舍去）． ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为4或5或6． 原多边形不可能是七边形 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 3．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 【答案】或或9 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示：    剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 4．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，求原多边形边数． 【答案】原多边形的边数可能是15或16或17 【分析】 此题考查了多边形的内角和公式．设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案． 【详解】解：设新的多边形的边数为n， ∵新的多边形的内角和是， ∴， 解得：， ∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十六边形， ∴原多边形的边数可能是15或16或17． 6．（23-24八年级上·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      【答案】剩下的多边形的内角和是或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，为三角形，则内角和为； 若边数不变，还是四边形，则内角和为； 若边数增加1，为五角形，则内角和， 综上，剩下的多边形的内角和是或或． 【典型例题十 复杂图形的内角和】 1．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．（2023·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论． 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【答案】540° 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 6．（2023九年级·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 【典型例题十一 正多边形的外角问题】 1．（2024·江苏无锡·三模）正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 【详解】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为． 故选：C． 2．（2024·山东·中考真题）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 3．（2024·广东东莞·一模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是 边形． 【答案】八 【分析】本题主要考查正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的定义及多边形外角和是解题的关键． 【详解】解：正多边形的每个外角相等，且其和为， ∴这个正多边形的边数为． 故答案为：八． 4．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）宁夏川民俗园为国家AAAA级旅游景区和红色旅游经典景区，小林去民俗园参加实践活动时发现，“金色礼仪大殿”内有正八边形图案，如图所示，则的大小为 度． 【答案】45 【分析】本题考查正多边形的外角性质．根据多边形的外角和是以及正八边形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵是正八边形的一个外角，而正八边形的每个外角都相等， ∴， 故答案为：45． 5．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的外角问题．根据题意，得到n边形的每一个外角都等于30°，再根据外角和为360度，求解即可．掌握正多边形的每一个外角都相等，是解题的关键． 【详解】解：∵一个n边形的每一个内角都等于150°， ∴n边形的每一个外角都等于30°， ∴． 6．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一个多边形的边数，它的每一个内角都等于，求： （1）边数；              （2）这个边形的内角和； 【答案】(1)12;(2)1800o 【分析】(1) 先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数; (2)根据内角和公式求解. 【详解】(1)∵它的每一个内角都等于150o, ∴每个外角都等于30o, ∴n=; (2)内角和为： 【点睛】考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 【典型例题十二 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）若一个多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角与外角和的关系，需要熟练掌握并灵活运用． 先根据平角的定义求出每一个外角的度数，再根据边数外角度数计算即可． 【详解】解：， ， 这个多边形是正九边形． 故选：B． 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是 C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．根据题意可知小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，再根据多边形的外角和性质即可得出答案． 【详解】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和， 小强转过的角度之和为． 故选：B． 3．（2024·福建厦门·二模）五边形的外角和为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题关键．根据多边形的外角和等于即可得． 【详解】解：因为多边形的外角和等于， 所以五边形的外角和为， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握基本知识是解决本题的关键． 由多边形的外角和等于得，代入即可求解度数． 【详解】解：由多边形的外角和等于得：， 而， ∴， 故答案为：80． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和三角形的外角性质，把所求的几个角转化为一个四边形的外角和即可求解． 【详解】解：如下图， 6．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 【典型例题十三 多边形内角和与外角和综合】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（    ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数是，根据一个内角是一个外角的两倍，可得该正多边形内角和是其外角和的倍，列出方程求解即可，熟练掌握多边形内角和公式、熟记多边形外角和为是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数是， ∵一个内角是一个外角的两倍， ∴该正多边形内角和是其外角和的倍， ∴， 解得：， ∴这个正多边形是正六边形． 故选：A． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解答本题的关键． 设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为，则相邻的内角为，由题意得， ， 解得：， 多边形的外角和为， ， 这个多边形的边数为10． 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是 边形． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的内角和外角综合．一个多边形的每一个内角都是，即每个外角是．正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】解：一个多边形的每一个内角都是，即每个外角是． ，则它是12边形． 故答案为：12． 4．（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的内角和及外角和，掌握边形的内角和公式及外角和为是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数为，由题意得 ， 解得：， 故答案：5． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为12． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得： ， 解得：． 答：这个多边形的边数为12． 6．（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的倍，求这个正多边形一个内角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为，根据题意得出，求出的值即可． 【详解】解：∵该正多边形的内角和等于外角和的倍， 设此多边形的边数为，则有：， 解得：， 内角的度数为． 【典型例题十四 平面镶嵌】 1．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）只用下列一种正多边形不能密铺成平面图案的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】考查了平面镶嵌(密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 平面图形䗙嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形． 故选：C． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（    ）                  （1）                （2）                    （3）                （4）   A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【分析】本题考查几何图形平面镶嵌(密铺)的基本性质，能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角． 【详解】解：（1）正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故符合题意； （2）正方形的每个内角是，能整除，能密铺，故符合题意； （3）正五边形的每个内角是，不能整除，不能密铺，故不符合题意； （4）正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故符合题意； ∴符合题意有（1）（2）（4）， 故选：A． 3．（22-23七年级下·重庆万州·期末）用正六边形的瓷砖铺满地面，围绕一点拼在一起的正六边形瓷砖的块数是 块． 【答案】3 【分析】证据正多边形的性质求出正六边形的内角，即可求值． 【详解】解：∵正六边形一个内角的度数为：， ∴围绕一点拼在一起的正六边形瓷砖的块数是：块， 故答案为：3． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角． 4．（22-23八年级上·天津宝坻·期中）把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需 个正三角形才可以镶嵌． 【答案】3 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出正三角形的个数即可． 【详解】解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°， 又∵3×60°+2×90°＝360°， ∴用2个正方形，则还需3个正三角形才可以镶嵌． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    【答案】能，见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计； 根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可． 【详解】解：能．设计方案图所示．    6．（22-23七年级下·山西晋城·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 【答案】见解析 【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成． 【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，， ∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面． 如图： 【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【变式训练1 多边形的概念与分类】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形． 【答案】首尾顺次 【详解】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． 故答案为首尾顺次. 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 【答案】 （1）三角形； （2）四边形； （3）十边形. 【详解】分析： 观察所给图案，找出构成图案的基本图形即可. 详解： 观察所给图案可知：组成该图案的基本图形有：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 故答案为：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 点睛：认真观察所给图案，熟悉常见的几何图形是解答本题的关键. 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 【答案】图①②④是多边形，图③不是多边形．其中图①是四边形，图②是五边形，图④是五边形． 【分析】根据多边形的概念进行判断． 【详解】①是多边形，是四边形； ②是多边形，是五边形； ③不是多边形； ④是多边形，是五边形． 【点睛】本题考查的是多边形的概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 6．（2023·湖南湘潭·中考真题）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ① ； ② ． 不同点： ① ； ② ． 【答案】解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形． ②正五边形的和正六边形内角都相等． 不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等． ②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点． 【详解】相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形． ②正五边形的和正六边形内角都相等． 不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等． ②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点． 【变式训练2 网格中多边形面积比较】 1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为(　　) A．7 B．10 C． D．8 【答案】A 【分析】利用分割法即可解决问题. 【详解】解：S四边形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7， 故选A． 【点睛】本题考查了四边形的面积和网格问题，利用图形得出各边长度是解题关键． 2．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】 本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】 解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 4．（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求进行下列作图． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，请画出经两次平移后得到的（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）； (2)连接和，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，画出经两次平移后得到的△A1B1C1； （2）根据网格即可求出四边形ACC1A1的面积． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求； （2）解：∵AC＝CC1＝C1A1＝A1A， ∴四边形ACC1A1是菱形， ∴四边形ACC1A1的面积＝ 4×8＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 6．（22-23七年级下·江西赣州·期末）如图，在7×12的方格纸中，每个小正方形的边长为一个长度单位，点A、B、C都在格点上． (1)将线段BC向上平移2个单位得到线段DE，在方格纸中画出线段DE，连接AD，AE； (2)三角形ADE的面积＝　　． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）用△ADE所在长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）△ADE的面积＝， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了作图—平移，割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式训练3 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形从一个顶点出发可引出7条对角线， ， 解得． 故选：D． 2．（23-24七年级上·甘肃白银·阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为________，这些对角线将多边形分成了________个三角形，这个多边形共有________条对角线（    ） A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【详解】解：从一个七边形的一个顶点可引出条对角线， 这些对角线把这个七边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）． 故选：B． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）n边形（）同一顶点处可引 条对角线． 【答案】/ 【分析】本题考查多边形的对角线，根据从n边形（）同一个顶点处可引条对角线作答即可． 【详解】解：n边形（）同一个顶点处可引条对角线； 故答案为：． 4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）过四边形的一个顶点作对角线，可将四边形分成 个三角形． 【答案】2/两/二 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：过四边形的一个顶点出发可以引1条对角线，把四边形分割成2个三角形， 故答案为2． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）画出图中多边形的所有对角线． 【答案】 【分析】将与每个顶点不相邻的顶点连起来即可. 【详解】解：分别将两个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来，如图： 【点睛】本题主要考查了多边形对角线的概念，熟记概念和娴熟的作图能力是解答本题的关键. 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？六边形……n边形呢？和同伴交流你的想法． 【答案】见解析 【分析】根据图形，得出从多边形一个顶点可以画出多少条对角线即可． 【详解】解：由图形可知，从四边形的一个顶点出发，可以画出1条对角线； 从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线； 从六边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线； 从七边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线； 可以发现，从多边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数比边数少3； 从n边形的一个顶点出发，可以画出（n-3）条对角线； 因为从一个顶点出发，有它本身这个顶点和左右相邻的各一个顶点不能连出对角线，故从多边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数比边数少3； 【点睛】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是准确识图，通过计算发现规律． 【变式训练4 对角线分成的三角形个数问题】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，理解从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形是解决问题的关键．根据从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形可得出答案． 【详解】解：从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成个三角形． ， 故选：C 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．根据选项一一对照判断即可． 【详解】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意． B、从这个多边形的顶点出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意， C、从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意， D、以上说法C正确． 故选∶C． 3．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）过五边形一个顶点的所有对角线，将这个五边形分成个三角形，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形的对角线性质，过n边形一个顶点可将其分成个三角形．即可求得答案． 【详解】解：过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（个）， 故答案为：3． 4．（22-23七年级下·四川成都·开学考试）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】2025 【分析】根据多边形的边数=三角形的个数+2，即可求解． 【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：2025． 【点睛】本题主要考查多边形的边数，理解多边形和三角形之间的联系是解题的关键．过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数． 【答案】8 【分析】根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意得，解得． ∴多边形的边数为8． 【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键． 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【分析】（1）根据图形，求解即可； （2）依据题中的图形，求解即可； （3）依据题中的图形，求解即可； （4）根据前面三种情况求解即可． 【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等； （2）可以得到4个三角形，它等于边数减1； （3）可以得到4个三角形，它等于边数减2； （4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质． 【变式训练5 多边形内角和问题】 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式． 根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有x条，由题意得： 解得： 故选B 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．先根据邻补角求出，再根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：， ， 五边形的内角和是， ， 故选：C． 3．（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度． 【答案】900 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 4．（2024·广西柳州·三模）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形内角和，根据内角和公式：（其中n表示多边形的边数），即可完成求解．掌握多边形内角和公式是关键． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 故答案为：720． 5．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，求出下列图形中x的值． 【答案】 【分析】根据多边形内角和定理，即可求得． 【详解】解：由题图1得，四边形的内角和为，则 ，解得 ， 由题图2得，四边形的内角和为，则 ，解得， 由题图3得，五边形的内角和为，则，解得． 【点睛】本题考查多边形内角和定理，掌握计算多边形内角和度数是解题关键． 6．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值 (1) (2) 【答案】(1)80 (2)110 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可； （2）根据五边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由题意得，， 解得． 【变式训练6 正多边形的内角问题】 1．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，设它的边数是，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设它的边数是， 由题意得：， 解得：， 故选：D． 2．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可 【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形， ∴， 故选：C 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）正方形的内角和是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，对于n边形，其内角和为，据此求解即可． 【详解】解：正方形的内角和是， 故答案为；． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知正n边形的每一个内角都等于，则n的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理．根据多边形的内角和定理：求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：10． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； （2）正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 6．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 【变式训练7 多（少）算一个角问题】 1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 2．（22-23七年级上·重庆云阳·阶段练习）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 【答案】十三/13 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则0<x<180， 则， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． 又∵n为正整数， ∴． 故答案是：十三． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0，并且小于180°． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组． 5．（2023八年级下·全国·专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°． 【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可； （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可． 【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为， 用余 则， 所以凸多边形的边数为 （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于， 用余， 所以没有计算在内的内角的度数为． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和的性质，熟练掌握多边形的有关性质是解题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【答案】130° 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果. 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n， 则（n-2）×180°-x=2570°， n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°， ∵0°＜x＜180°， 解得16.2＜n＜17.2， 又∵n为正整数， ∴n=17， 则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°． 【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值. 【变式训练8 多边形截角后的内角和问题】 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）将正方形截去一个角后，剩下的图形一定是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】此题考查图形的划分，进一步考查学生识图解决问题的能力，解题的关键是动手画图；一个正方形剪去一个角后，剩下部分可能是三角形，也可能是四边形；还可能是五边形，即可解答． 【详解】解：如图所示， 截去一个角后，剩下的图形可能为：三角形，四边形，五边形， 故选：D． 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 【答案】D 【分析】根据多边形外角和一定为360度即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形去掉一个角后得到的多边形可能边数增加，也由可能边数减小，也有可能不变， ∴内角度数，内角和度数，对角线条数都可能会发生变化， 又∵多边形外角和度数都为360度， ∴外角和度数一定不会发生变化， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线条数等问题，熟知多边形外角和都为360度是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数． 4．（22-23六年级下·山东烟台·期中）（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ； （2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ． 【答案】 36°/36度 6或7 【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可． （2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形． 【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等， ∴十边形的一个外角为360÷10＝36°． 故答案为：36°； （2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720， 解得：n＝6． ∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7． 故答案为：6或7． 【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一个长方形的桌面锯掉一个角后，剩余桌面的内角和是多少？ 【答案】，或 【分析】一个多边形（边数大于3）截去一个角后，不同的截法会出现3种不同的结果，再分类讨论即可． 【详解】解：长方形桌面锯掉一个角后，剩余桌面的情况有以下三种：    如图（1），当截线经过长方形桌面的两个顶点时，剩余桌面的形状是三角形，其内角和为； 如图（2），当截线经过长方形桌面的一个顶点与一条边时，剩余桌面的形状是四边形，其内角和为； 如图（3），当截线经过长方形桌面的两条边时，剩余桌面的形状是五边形， 其内角和是． 综上所述，剩余桌面的内角和为，或． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°． (1)求这个正多边形的边数； (2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 【答案】(1)这个正多边形的边数为8； (2) 【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可； （2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即这个正多边形的边数为8； （2）解：∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点）， ∴截完角后所形成的多边形为九边形， 则其内角和为：． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所形成多边形的边数是解题的关键． 【变式训练9 复杂图形的内角和】 1．（22-23八年级上·江西上饶·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　　　 ） A．180° B．270° C．360° D．720° 【答案】C 【分析】连接AB，根据三角形的内角和定理即可证得∠F+∠C=∠1+∠2，则∠EAC+∠DBF+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EAC+∠DBF+∠D+∠E+∠1+∠2=∠EAB+∠ABD+∠D+∠E，根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】连接AB， ∵∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠C+∠F， ∴∠EAC+∠DBF +∠C+∠D+∠E+∠F=∠EAC+∠DBF+∠D+∠E+∠1+∠2=∠EAB+∠ABD+∠D+∠E =360°． 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，证明∠F+∠C=∠1+∠2是关键． 2．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 4．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ． 【答案】0 【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案. 【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形， ∴=180°×2+360°=720° 如图2所示，将原六边形分成了四个三角形 ∴=180°×4=720° ∴m-n=0 故答案为0. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解. 5．（2023九年级·浙江嘉兴·学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135° 【分析】（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论； ②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明； ③根据题目提供的信息，总结出结论即可； （2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论； （3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°. 【详解】（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540° ∵∠A=∠H=∠G= ∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135° 即∠ABF＋∠GFB＝135°． ②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥EF． ③等角八边形的每一组正对边平行． （2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF， ∵AB＝EF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AF＝BE，AF∥BE， 又∵BC∥FG， ∴∠AFG＝∠EBC， 又∵BC＝FG， ∴△AFG≌△EBC， ∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB， ∵∠HGF＝∠BCD＝135°， ∴∠AGH＝∠ECD， 又∵∠H＝∠D＝135°， ∴△AGH≌△ECD， ∴CD＝GH，DE＝HA． （3）结论：至少需要已知5个内角为135°． ①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°， 如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形； ②若5个内角等于135°： ∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H． ∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和为（n-2）×180°；是解题的关键. 6．（22-23八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 【变式训练10 正多边形的外角问题】 1．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为． 由题意可知此多边形为正多边形，根据多边形外角和的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知此多边形为正多边形， 则正多边形的边数为． 故选：B． 2．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 根据多边形的外角和为即可作答． 【详解】解：． 故选：B． 3．（2023·山东聊城·一模）正八边形的一个外角的大小是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正n多边形的外角公式求解即可． 【详解】解：正八边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果正多边形的一个外角为，那么它是正 边形． 【答案】九 【分析】此题主要考查了多边形的外角和，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 因此它是九边形， 故答案为：九． 5．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角多60°，求这个多边形的边数． 【答案】6 【分析】本题考查多边形外角的性质，多边形的外角和，设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，从而可列出关于的方程，解出的值，即得出该多边形的每个外角大小，再根据多边形的外角和为求解，掌握多边形的内角与其相邻的外角的和为，多边形的外角和为是解题关键． 【详解】设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为， 由题意，得， 解得，即多边形的每个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 答：这个多边形的边数为6． 6．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下面是正多边形M和N的对话：    (1)求M和N的边数； (2)在计算N的每个内角的度数时，嘉嘉和琪琪的思路如下，请你任选一个思路进行解答． 嘉嘉 先计算内角和，再计算每个内角 琪琪 先计算每个外角，再计算每个内角 【答案】(1)M和N的边数分别是4和6 (2)见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解发即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）琪琪解法：正六边形的每个外角为：；故正六边形的每个内角为． 嘉嘉解法：． 【变式训练11 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）正六边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于， ∴正六边形的外角和等于， 故选：C． 2．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（  ） A．10米 B．18米 C．20米 D．36米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴他需要走20次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C 3．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）七边形的外角和等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 由于任意多边形的外角和是360度，即可得出答案． 【详解】七边形的外角和等于． 故答案为：． 4．（2024·山西运城·一模）如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则 度． 【答案】285 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵度， ∴； 故答案为：285 5．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，及其周长计算，根据题意可知，他需要转次才会回到原点，所以一共走了． 【详解】解：设边数为n，多边形外角和为360°， ∴， ∴正八边形的周长为， 答：一共走64米． 6．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】(1)能 (2)正八边形 (3)（2）中图形的周长为160米 【分析】（1）利用，能整除即可求解． （2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解． （3）利用周长公式即可求解． 【详解】（1）解：， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 【变式训练12 多边形内角和与外角和综合】 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知一个多边形的每个外角为，则该多边形的边数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角为， ∴该多边形的边数为， 故选：B． 2．（2024·湖北黄石·二模）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．根据题意可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：∵， ∴， ∴正多边形的一个外角为， ∴， 故选：B． 3．（2024·重庆·三模）若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多边形内角与外角，先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为，列出关于的方程式即可得出答案．熟练掌握多边形内角与外角和公式是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的内角和比外角和多， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为， 则， 解得：． 故答案为：8． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个多边形的内角和与外角和的差为，则这个多边形的边数是 . 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键． 5．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为9． 6．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 【变式训练13 平面镶嵌】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列图形中，只用一种作平面镶嵌，这种图形不可能是（　　） A．三角形 B．凸四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除．分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意； B、任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意； C、正六边形每个内角是，能整除，故能密铺，不符合题意； D、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意． 故选：D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）学校会议室的地面是用等边三角形和正六边形镶嵌铺成的，在每个等边三角形或正六边形的顶点周围有个等边三角形和个正六边形，则与的和为（    ）． A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了多边形的镶嵌，根据在每个顶点处各内角的和为列出二元一次方程，找到二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵每个等边三角形的内角为，每个正六边形的内角为， 由题意可得，， 即， 或 ∴或5． 故选：B 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 【答案】2 【分析】根据正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角为，据此即可求解． 【详解】解：正三角形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， 还需正多边形的每个内角为， 需要正六边形的个数为：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是要熟悉平面镶嵌的定义还要熟悉正多边形内角和外角的求法． 4．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段练习）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ． ①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形． 【答案】①②③ 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满； ②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满； ③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满； ④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙､不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 【答案】正六边形，理由见解析 【分析】根据题意，设这个多边形是n边形，它的一个内角是，根据题意，可得，再根据多边形内角和公式即可求得边数． 【详解】设这个多边形是n边形，它的一个内角是， 根据题意，得，故； 再根据多边形的内角和公式有： 解得． 故这种多边形是正六边形． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键． 6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 【答案】(1)②或④， (2)． 【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键． （1）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可； （2）求出正五边形的三个内角和，再用减掉即可． 【详解】（1）解：正三角形一个内角是， 正方形的一个内角是， 正五边形的一个内角是， 正六边形的一个内角是， ∴可以进行地面的镶嵌是②或④． （2）解：正五边形的每个内角度数为． 所以，． 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据四边形的定义“由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形”进行分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意； B.因为，所以能组成四边形，故本选项符合题意； C.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意； D.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了四边形的定义，熟练掌握四边形的定义是解题关键． 2．（22-23七年级上·四川达州·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过某个多边形一个顶点画对角线，把多边形分成个三角形，再结合题意可得，解方程即可得答案．此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握过某个多边形一个顶点画对角线，把多边形分成个三角形． 【详解】解：设多边形边数为， 过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形， ， 解得：． 故选：C． 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】题目主要考查多边形的性质及内角和与外角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形外角和为，正多边形的性质；根据多边形的每个内角相等，则其每个外角也相等，再由多边形外角和为即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴正八边形的每个内角相等， ∵正八边形的每个内角与其外角互补， ∴正八边形的每个外角相等， ∵多边形外角和为， ∴； 故选：D． 5．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴正多边形的边数为：， 根据多边形的外角和为， ∴则他每次转动θ的角度为：， 故选：D． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下面多边形的名称： (1)     (2)    (3) 【答案】 （1）五边形；　 （2）三角形； （3）四边形. 【详解】分析： 根据所给图形和多边形的定义进行分析解答即可. 详解： 题中所给3个多边形分别是： （1）五边形；（2）三角形；（3）四边形. 故答案为：（1）五边形；（2）三角形；（3）四边形. 点睛：知道“在多边形中，边数是n（n为不小于3的正整数）的多边形被称为n边形”是解答本题的关键. 7．（2023·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【答案】6 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可． 8．（22-23七年级上·吉林长春·期末）每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成 个三角形． 【答案】/ 【分析】先从特殊的四边形开始，例举过四边形，五边形，六边形的一个顶点出发的对角线可以把多边形分割后得到的三角形的数量，总结可得过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成个三角形． 【详解】解：从四边形一个顶点作对角线可得2个三角形， 从五边形一个顶点作对角线可得3个三角形， 从六边形一个顶点作对角线可得4个三角形， 从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成个三角形； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形变化类，熟记过n边形的同一个顶点作对角线，可以做条对角线，可以把n边形分成个三角形． 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是 ．    【答案】/150度 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的综合应用，周角的含义，本题先求解正六边形与正方形的一个内角，再结合周角的含义可得答案. 【详解】解：∵正六边形的每一个内角为：， 正方形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）将一个多边形的边数增加2，下列4个说法中，①内角和增加，②外角和增加360°，③内角和变为原来的2倍，④外角和变为原来的2倍；正确的有： ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据多边形内角和（为正整数）与多边形外角和为即可判断． 【详解】解：多边形内角和（为正整数）， 当多边形边数增加2时，内角和增加，内角和不一定变为的2倍，故①正确，③错误； 边形外角和为， 当多边形边数增加2时，外角和不会增加，故②错误，④错误； 故答案为：①． 【点睛】本题考查了多边形内角和与多边形外角和，熟记多边形内角和（为正整数）与多边形外角和为是解题的关键． 11．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，先将不规则的多边形转化为规则的多边形，再灵活运用多边形的内角和公式求解，此题运用了转化的思想方法．将不规则的多边形转化为规则的多边形是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 记为，为，则． ． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍 (1)求这个多边形的边数； (2)如这个多边形是正多边形，则它每一个内角的度数是__________． 【答案】(1)这个多边形的边数是6 (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和等知识点． （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据（1）的结论直接求解即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：， 解得：． 答：这个多边形的边数为6； （2）解：如这个多边形是正多边形，则它每一个内角的度数是， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； (3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个内角比一个外角大多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)该正多边形的一个内角比一个外角大 【分析】（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可； （2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可； （3）根据正多边形内角和外角的关系列式求解即可． 【详解】（1）理由：设多边形的边数为n． ， 解得． ∵n为正整数， ∴多边形内角和不可能为； （2）由题意可知，该多边形的边数为10， ∴； （3）． 答：该正多边形的一个内角比一个外角大． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提． 14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． (1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； (2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； (3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 【答案】(1)正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析 (2)同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析 (3)存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，验证见解析 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的内角和为是解此题的关键． （1）先求出正六边形的内角和，再求出每一个内角的度数，用除以内角的度数，看是否能够除尽，由此即可得出答案； （2）正方形的每个内角为，求出正八边形的每一个内角为，再结合，即可得出答案； （3）求出正方形的每个内角为，正五边形的每一个内角为，正二十变形的每一个内角为，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：正六边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： 正六边形的内角和为：， 正六边形的每一个内角为：， ， 正六边形能镶嵌成一个平面图形； （2）解：同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： 正八边形的内角和为：， 正八边形的每一个内角为：， ， 同时用块正方形和块正八边形能镶嵌成一个平面图形； （3）解：存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形， 理由如下： 正方形的每个内角为， 正五边形的内角和为：， 正五边形的每一个内角为：， 正二十边形的内角和为：， 正二十边形的每一个内角为：， ， 存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由块正二十边形、块正五边形、块正方形构成． 15．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 学科网（北京）股份有限公司 $$