22.1.1二次函数（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.1.1二次函数（八大题型提分练） 题型一、二次函数的识别 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、函数是二次函数，故本选项符合题意； D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 3．（11-12九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对．理由见解析 【分析】 本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 题型二、二次函数的一般形式 5．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 8．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 题型三、根据二次函数的概念求参数的值 9．（2024九年级下·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 10．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 11．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 题型四、根据二次函数的概念求参数的取值范围 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 14．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 15．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 16．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】（1）若这个函数是一次函数， 则且， 解得； （2）若这个函数是二次函数， 则， 解得且． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 题型五、判别二次函数的关系式 17．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键． 【详解】解：A、，是一次函数，错误； B、，v一定，是一次函数，错误； C、，是二次函数，正确； D、，h一定，是一次函数，错误； 故选C． 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（    ） A．正方形周长与边长的关系 B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C．速度一定时，路程与时间的关系 D．等边三角形的面积与边长的关系 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可． 【详解】解：A. 正方形周长与边长的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系，是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. 速度一定时，路程与时间的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； D. 等边三角形的面积与边长的关系，是二次函数关系，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 题型六、列二次函数关系式（增长率问题） 21．（21-22九年级上·河北保定·期末）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　） A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2 【答案】D 【分析】2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x) 2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为: y＝30000（1+x）2 故选： D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量． 22．（20-21八年级下·全国·课后作业）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式． 【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定． 23．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 24．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解； 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键． 题型七、列二次函数关系式（面积问题） 25．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 26．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 27．（2024·北京朝阳·一模）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键． 根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 28．（23-24九年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 题型八、列二次函数关系式（销售问题） 29．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 30．（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 31．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式．设每件降价元，则每件的利润是元，所售件数是件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式． 【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元， 依题意得， 故选：A． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】由题意得， ∴y是x的一次函数。      ， ∴z是x的二次函数． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 5．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，可得，再利用勾股定理表示，再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中， 在中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴y与x满足的函数关系是二次函数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键． 6．（20-21九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意， ∴a有四种选法：1、2、3、4， ∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4， ∴共有=100种， 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键． 7．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 8．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 10．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案． 【详解】解：∵BD=1，AD=y， ∴AB=y+1， ∵AB=AC， ∴AC=y+1， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1， ∴2y+1=x2-1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式． 11．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 12．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是 ． 【答案】m=2n2−n 【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1）， 第二层的正方形个数为（4×1＋1）， 第三层的正方形个数为（4×2＋1）， …… 第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为： 1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1] ＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1 ＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1） ＝n＋4 ＝n＋2n（n−1） ＝2n2−n． 即：m=2n2−n． 故答案为：m=2n2−n 【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数． 13．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， ， 即； 当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； 当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 14．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得，，，，， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得，，，， ∴． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.1二次函数（八大题型提分练） 题型一、二次函数的识别 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（11-12九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 题型二、二次函数的一般形式 5．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 8．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 题型三、根据二次函数的概念求参数的值 9．（2024九年级下·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 10．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 11．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 题型四、根据二次函数的概念求参数的取值范围 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 14．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 15．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 16．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 题型五、判别二次函数的关系式 17．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（    ） A．正方形周长与边长的关系 B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C．速度一定时，路程与时间的关系 D．等边三角形的面积与边长的关系 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 题型六、列二次函数关系式（增长率问题） 21．（21-22九年级上·河北保定·期末）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　） A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2 22．（20-21八年级下·全国·课后作业）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 23．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 题型七、列二次函数关系式（面积问题） 25．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·北京朝阳·一模）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 28．（23-24九年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 题型八、列二次函数关系式（销售问题） 29．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 31．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 4．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 5．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 6．（20-21九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 7．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 8．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 10．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 11．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 12．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是 ． 13．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ． 14．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$