2.1认识一元二次方程（分层练习，八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.1认识一元二次方程（八大题型提分练） 题型一 根据定义判定一元二次方程 1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 4．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值 5．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 6．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 7．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 8．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 12．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 题型四 一元二次方程的一般形式 13．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是(    ) A． B．1 C． D．0 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 题型五 根据一元二次方程的解求参数的值 17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（    ） A．2 B．－2 C．3 D． 18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 19．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值 21．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．2023 C．2024 D．2025 22．（23-24九年级上·山东聊城·期末）是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 23．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 题型七 一元二次方程的解的估算 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 26．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） 1 2 3 4 2 A． B． C． D． 27．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程 29．（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）某超市一月份的营业额为300万元，三月份时营业额增长到363万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A．300（1+x）2＝363 B．300x2＝363 C．300（1+2x）2＝363 D．300[1+（1+x）+（1+x）2] 30．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·陕西延安·期中）如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，有一张矩形纸片， 长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为(     ) A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如果是多项式的一个因式，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ． 7．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 10．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知方程配方后为，则 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 12．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习） (1)化简T； (2)若a是方程的一个根，求T的值． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1认识一元二次方程（八大题型提分练） 题型一 根据定义判定一元二次方程 1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式； ①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程； ②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程； ③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程； ④有2个未知数，故④不是一元二次方程； ⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程， 综上所述，共有2个一元二次方程， 故选：B． 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是 【解析】略 4．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 【答案】（1）是；（2）不一定是 【分析】（1）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； （2）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程； （2）∵ ∴ ∴ 当时，二次项系数为0，此时不是一元二次方程，当时，二次项系数为0，此时是一元二次方程， ∴原方程不一定是一元二次方程. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义. 题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值 5．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：B． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得，或， 故， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：1． 8．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元一次方程； （2）∵是一元二次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元二次方程． 题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， ． 故选：B 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，以及二次根式有意义的条件得出且，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故选：D． 11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【答案】（1）1   （2），；， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值； （2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得 解得． （2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程． 此时方程为，解得； 当即时，方程为一元一次方程， 此时方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面． 12．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 【答案】（1）；（2）m=-3；（3）m=±2. 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当时该方程是一元二次方程； （2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m即可； （3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m即可； 【详解】解：（1）∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：； （2）∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴将x=0代入可得：，解得：m=-3； （3）∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴将x=1代入可得：，解得：m=±2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 题型四 一元二次方程的一般形式 13．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是(    ) A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一次项系数是0， ∴， 解得：， 故选：C． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型五 根据一元二次方程的解求参数的值 17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（    ） A．2 B．－2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程， 把代入方程的出新方程，解方程即可． 【详解】解：把是一元二次方程得： ， 解得：， 故选：D． 18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， ∴， ∴； ∵是一元二次方程， ∴， ∴． 综上，的值是， 故选：B． 19．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴a的值为0． 故答案为：0． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值 21．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 22．（23-24九年级上·山东聊城·期末）是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意可得，将代数式变形得，再整体代入即可求解，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴原式， 故选：A． 23．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 题型七 一元二次方程的解的估算 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据表格得： 当时，， 当时，， ∵， ∴方程的一个解最接近． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 26．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） 1 2 3 4 2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 27．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格可知，当时，的值小于零，当时，的值大于零，可知当，会有一个的值使得的值为零，即可得出结论． 【详解】解：由表格可知：当时，的值小于零，当时，的值大于零， ∴，为常数的一个解x的范围是； 故选A． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 28．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程 29．（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）某超市一月份的营业额为300万元，三月份时营业额增长到363万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A．300（1+x）2＝363 B．300x2＝363 C．300（1+2x）2＝363 D．300[1+（1+x）+（1+x）2] 【答案】A 【分析】根据增长率公式，列出方程即可． 【详解】解：增长基数为300，两年后达到363万，由题意得： 300（1+x）2＝363 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率，关键是明确增长的基数，增长次数，增长后的值． 30．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出(x−1)张. ∴可列方程为：x(x−1)=1035． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 31．（23-24九年级上·陕西延安·期中）如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽，根据利用平移的性质得出草坪的面积=长为，宽为的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽，根据题意，得 故选：D． 32．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，有一张矩形纸片， 长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据长方形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：做成的纸盒的底面长，宽为， 故． 故选B． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， 则， 故选：． 2．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 3．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 4．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如果是多项式的一个因式，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程中其各个因式与其方程本身的关系，是多项式的一个因式，即方程的一个解是，代入方程求出的值，熟练掌握其中关系是解题的关键． 【详解】∵是多项式的一个因式， ∴方程的一个解是， 则把代入方程中得， 解得， 故选：． 5．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解不等式组，根据题意可得，则由乘法的性质可得或，由，得到或，即方程的两个根一个大于m，一个小于n，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴或， ∵，（）是关于的一元二次方程的两实根， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：1． 7．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 8．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 当时，原式． 故答案为：3． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 10．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知方程配方后为，则 ． 【答案】 【分析】分析题目，由已知得，可化为 ，可得，，解方程可得，的值，然后把字母的值代入进行计算可得结果． 【详解】由已知得：可化为 ， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12， 解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． （2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． 12．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习） (1)化简T； (2)若a是方程的一个根，求T的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）利用乘法公式进行计算即可； （2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵a是方程的一个根， ∴，即：， ∴． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$