第一章 一元二次方程（单元检测卷，基础）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第一章 一元二次方程章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 2．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 4．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 5．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 6．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．6×10﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．6×10﹣4x2＝32 7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 8．已知1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1 B．﹣4 C．2 D．1 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2024的值为 　 　． 10．关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有一个根为3，则另一个根为 　 　． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　． 12．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根之积为 　 　． 13．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的方程x2﹣15x+54＝0的两个实数根，则此菱形的面积是 　 　． 14．根据国家统计局公布的数据显示，2023年全国粮食总产量为69541万吨，2021年全国粮食总产量为68285万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 　 　． 15．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　 　． 16．已知a是方程x2﹣2x﹣2024＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为 　 　． 三．解答题（共9小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）； （2）x2﹣4x＝0． 18．（6分）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为200元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 19．（6分）若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值． 20．（8分）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为14.4万人． （1）求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率； （2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？ 21．（8分）阅读材料： 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0， 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0， 所以m+1＝0，n﹣3＝0． 所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： 已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，试求长方形ABCD的面积． 22．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围． 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 25．（10分）为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗．在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A、B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个． （1）若生产线A、B共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划A、B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【解答】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0． 2．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得到x1•x24． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 【分析】根据关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，可得，即可解得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得m＜0且m≠﹣1； 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根需满足Δ＞0． 4．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．6×10﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．6×10﹣4x2＝32 【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm， 根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32． 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣k）＞0， 解得k＞﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 8．已知1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1 B．﹣4 C．2 D．1 【分析】先设方程x2﹣3x+m＝0的另外一个根为x2，然后根据两根之和为，即可求得x2的值． 【解答】解：设方程x2﹣3x+m＝0的另外一个根为x2， ∵1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根， ∴（1）+x2＝3， 解得x2＝2， 故选：C． 【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程两根之和为． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2024的值为 　2021　． 【分析】先根据m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根得到2m2﹣3m＝﹣1，再整体代入求解即可． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m+1＝0即2m2﹣3m＝﹣1， ∴6m2﹣9m+2024＝3（2m2﹣3m）+2024＝2021， 故答案为：2021． 【点评】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，熟练掌握方程的解法是解题的关键． 10．关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有一个根为3，则另一个根为 　﹣2　． 【分析】设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到3+t＝1，然后解关于t的一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一根为t， 根据根与系数的关系得，3+t＝1， 解得t＝﹣2， 即方程的另一个根为﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是　﹣1　． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，然后解关于a的方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根之积为 　﹣4　． 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得方程x2﹣2x﹣4＝0的两根之积为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 13．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的方程x2﹣15x+54＝0的两个实数根，则此菱形的面积是 　27　． 【分析】根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的方程x2﹣15x+54＝0的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：27． 【点评】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质，掌握根与系数的关系解题的关键． 14．根据国家统计局公布的数据显示，2023年全国粮食总产量为69541万吨，2021年全国粮食总产量为68285万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 　68285（1+x）2＝69541　． 【分析】利用2023年全国粮食总产量＝2021年全国粮食总产量×（1+这两年全国粮食总产量的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：68285（1+x）2＝69541． 故答案为：68285（1+x）2＝69541． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　x2﹣38x+37＝0　． 【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积． ∵草坪的面积为243平方米， ∴（28﹣x）（10﹣x）＝243． 化为一般式为：x2﹣38x+37＝0． 故答案为：x2﹣38x+37＝0． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．已知a是方程x2﹣2x﹣2024＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为 　4046　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣2a＝2024，再把2a2﹣4a﹣2变形为2（a2﹣2a）﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2024＝0的根， ∴a2﹣2a﹣2024＝0， ∴a2﹣2a＝2024， ∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2024﹣2＝4046． 故答案为：4046． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解答题（共9小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）； （2）x2﹣4x＝0． 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）， 去括号得：4x﹣2＝3x+3， 移项得：4x﹣3x＝3+2， 合并同类项得：x＝5； （2）∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点评】本题考查解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程，一元二次方程的一般方法． 18．（6分）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为200元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 【分析】设每次降价的百分率为x，依题意得，200（1﹣x）2＝128，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得，200（1﹣x）2＝128， ∴（1﹣x）2＝0.64， 1﹣x＝0.8或1﹣x＝﹣0.8， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为20%． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．找到等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 19．（6分）若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值． 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：由题意得： |m﹣2|＝2且m2﹣2m≠0， 解得m＝4． 即m的值为4． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 20．（8分）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为14.4万人． （1）求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率； （2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？ 【分析】（1）设新增关注人数的月平均增长率为x，根据“2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为14.4万人”列出方程求解即可； （2）根据（1）中求出的增长率，分别求出后面几个月的新增关注人数即可解答． 【解答】解：（1）设新增关注人数的月平均增长率为x， 10（1+x）2＝14.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为20%； （2）5月份新增关注人数为：14.4×（1+20%）＝17.28（万人）， 6月份新增关注人数为：17.28×（1+20%）＝20.736（万人）， 答：6月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人． 【点评】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a（1+x）n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a（1﹣x）n． 21．（8分）阅读材料： 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0， 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0， 所以m+1＝0，n﹣3＝0． 所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： 已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，试求长方形ABCD的面积． 【分析】根据配方法和非负数原理求出a，b的值，再根据长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0， a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0， （a﹣4）2+（b﹣3）2＝0， ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝4，b＝3， ∵a，b分别是长方形ABCD的长、宽， ∴长方形ABCD的面积为：4×3＝12． 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，配方法的应用，掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 22．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于﹣3，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中， Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， ∴（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于﹣3， ∴k+1＜﹣3，解得：k＜﹣4， ∴k的取值范围为k＜﹣4． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于﹣3，找出关于k的一元一次不等式． 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　p　，x1x2＝　1　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键． 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝1＞0，即可得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，求出方程的两个解为x1＝k，x2＝k+1，再进行分类讨论即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0． ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， （x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， ∴x1＝k，x2＝k+1 即AB、AC的长为k、k+1， 当AB＝BC时，即 k＝4，满足三角形构成条件； 当AC＝BC时，k+1＝4，解得 k＝3，满足三角形构成条件． 综上所述，k＝4或 k＝3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 25．（10分）为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗．在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A、B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个． （1）若生产线A、B共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划A、B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【分析】（1）设B生产线生产护目镜x小时，则A生产线生产护目镜（12﹣x）小时，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于5500个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为y小时，则A生产线每小时生产护目镜（480﹣10y）个，B生产线每小时生产护目镜（620﹣15y）个，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设B生产线生产护目镜x小时，则A生产线生产护目镜（12﹣x）小时， 根据题意得：400（12﹣x）+500x≥5500， 解得：x≥7， ∴x的最小值为7． 答：B生产线至少生产护目镜7小时； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为y小时，则A生产线每小时生产护目镜400﹣10（y﹣8）＝（480﹣10y）个，B生产线每小时生产护目镜500﹣15（y﹣8）＝（620﹣15y）个， 根据题意得：（480﹣10y）y+（620﹣15y）y﹣400×8﹣500×8＝3300， 整理得：y2﹣44y+420＝0， 解得：y1＝14，y2＝30（不符合题意，舍去）． 答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$