暑假作业11 平行四边形11种综合问题【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

作业11 平行四边形综合问题精炼 题型目录 题型一：平行四边形的性质与判定综合应用 题型二：平行四边形的折叠问题 题型三：三角形中位线性质与判定 题型四：平行四边形背景下的动点问题 题型五：平行四边形的构造问题 题型六：矩形的折叠问题 题型七：矩形的动点问题 题型八：正方形中的45°角模型 题型九：正方形背景下的三垂直问题 题型十：中点四边形问题 题型十一：平行四边形背景下的最值问题 题型一：平行四边形的性质与判定综合应用 1．如图1，四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若于N，P为上一点，且，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，过A作于M，连接，若于H，，，求的长． 2．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，，探究与之间的数量关系． 有两名同学给出如下的证明思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，因为线段比较分散，所以通过平移将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图2，过点作，且使，连接； 如图3，小亮同学思考的时候，因为题目中有60°角，所以通过构造等边三角形将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图3，过点A作，且使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的几何图形去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，与相交于点，，，，，，求线段的长； 【学以致用】 （3）如图5，中，，、分别在、上，、交于点，，，若，，求的长． 3．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？       4．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 题型二：平行四边形的折叠问题 5．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 6．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 7．综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点P，如图①，连接，点 B 关于的对称点为点，连接，． 问题解决： (1)当与重合时，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)如图②，当 P 是中点时，连接，试求出 的值． (3)若，当时，直接写出线段的长． 题型三：三角形中位线性质与判定 8．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 9．【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 10．阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            图3                      图4 [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 题型四：平行四边形背景下的动点问题 11．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 12．如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 13．如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)的长为 ，的长为 ； (2)当t为何值时，线段恰好被平分？ (3)如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 题型五：平行四边形的构造问题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 16．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1x1,y1，P2x2,y2，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：，他还利用图2证明了线段P1P2的中点Px,y的坐标公式： （1）已知点M2,1,N2,5，则线段MN长度为 ； （2）请求出以点A2,2,B2,0,C3,1，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标； （3）如图3，OL满足y2xx0，点P2,1是OL与x轴正半轴所夹的内部一点，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使PEF的周长最小，求出周长的最小值. 题型六：矩形的折叠问题 17．如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 18．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．       19．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 20．实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 21．在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．    初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图1）． ①当点P与点A重合时，_________°，当点E与点A重合时，_________°， ②当点F与C重合时，_________； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上，、交于点O时（如图2）， ①求证：四边形为菱形； ②若，则_________ ③若的面积为S，则S的取值范围为_________； 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图3）．当时，_________． 题型七：矩形的动点问题 22．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 23．综合与探究 在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，点，分别从点A，同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，，分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点，相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出的值． (3)若点向点运动，点向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，求的值． 当时，四边形为菱形． 24．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________．       题型八：正方形中的45°角模型 25．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 题型九：正方形背景下的三垂直问题 26．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 27．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 28．如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 29．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 31．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 题型十：中点四边形问题 32．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 33．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 34．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    题型十一：平行四边形背景下的最值问题 35．如图，矩形中，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为，连接与相交于点．则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则最小为2 36．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 37．如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 38．【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 39．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 40．已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． (1)如图1，当四边形是正方形时，求的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式； (3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小． 41．同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为 cm； (2)如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则 °．重叠部分的面积为 ； (3)如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个 形，证明你的结论； (4)在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是 cm，重叠部分的周长最大周长是 cm． 42．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有； (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 43．已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长； ②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共129页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业11 平行四边形综合问题精炼 题型目录 题型一：平行四边形的性质与判定综合应用 题型二：平行四边形的折叠问题 题型三：三角形中位线性质与判定 题型四：平行四边形背景下的动点问题 题型五：平行四边形的构造问题 题型六：矩形的折叠问题 题型七：矩形的动点问题 题型八：正方形中的45°角模型 题型九：正方形背景下的三垂直问题 题型十：中点四边形问题 题型十一：平行四边形背景下的最值问题 题型一：平行四边形的性质与判定综合应用 1．如图1，四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若于N，P为上一点，且，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，过A作于M，连接，若于H，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：过点P作，如图所示： ， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， 根据等腰三角形的性质可得到：； （3）解：∵过A作于M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴． 2．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，，探究与之间的数量关系． 有两名同学给出如下的证明思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，因为线段比较分散，所以通过平移将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图2，过点作，且使，连接； 如图3，小亮同学思考的时候，因为题目中有60°角，所以通过构造等边三角形将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图3，过点A作，且使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的几何图形去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，与相交于点，，，，，，求线段的长； 【学以致用】 （3）如图5，中，，、分别在、上，、交于点，，，若，，求的长． 【答案】（1），证明见解析（2）（3） 【详解】（1）； 若选择小鹏同学的解题思路，证明过程如下： 如图2，过点作，且使，连接，，则四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 若选择小亮同学的解题思路，证明过程如下： 如图3，过点A作，且使，连接，，则四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）过点A作，过点D作，两直线交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点B作，过点C作，两直线交于点N，连接，过点N作的垂线，垂足为点M，则四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ． 3．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    【答案】【方法运用】；【拓展提升】12；【拓展应用】． 【详解】（1）【方法运用】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． （2）【拓展提升】解：∵，的面积为1， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；， 同【方法运用】得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （3）【拓展应用】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴而， 过作，，    ∴， ∴， ∴， 由，， ∴， 故答案为：． 4．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 题型二：平行四边形的折叠问题 5．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 由折叠得：， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案：． 6．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 【答案】C 【详解】根据折叠的性质，得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A，B都错误； ∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x， ∴，根据折叠的性质，得到， ∴； 故C正确； ∴，平行四边形的面积是8， ∴四边形等于， 设点E到的距离为h， 则 ， 解得， 故D错误． 故选C． 7．综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点P，如图①，连接，点 B 关于的对称点为点，连接，． 问题解决： (1)当与重合时，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)如图②，当 P 是中点时，连接，试求出 的值． (3)若，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)(3)或 【详解】（1）四边形是平行四边形， 且． ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， 当与重合时，如图，连接， 由对称的性质可知，， ， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：， ． （2）连接，由轴对称的性质可知，． P 是中点， ， ， ． ， 即， ， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， ． （3）由（1）可知是等腰直角三角形， ， ． 分两种情况讨论：① 当点在点的右侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， ， ． ②当点在点的左侧时，如图， ， 由对称的性质得：， 过点作于点， 设，则，，， ，解得， ． 综上所述，的长为或 ． 题型三：三角形中位线性质与判定 8．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析（3） 【详解】（1）证明：、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ； （2）解：如图，连接，取的中点，连接，， ，，，， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：连接，取的中点，连接，， ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理为的中位线， ，， ， ， ， ． 10．阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            图3                      图4 [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 【答案】见解析 [自主探究]证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解； [尝试应用]连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用四边形的中位线性质即可求解． 【详解】自主探究（方法2） 解：∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴ ，且， ∵， ∴， 在中，， ∴，即； [尝试应用]连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵分别是边的中点， 由（1）得，即， ∴． 故答案为：． 题型四：平行四边形背景下的动点问题 11．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 【答案】(1)(2)秒或秒或秒(3)的长为(4) 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （4）如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 12．如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 【答案】(1)经过秒钟两点第一次相遇 (2)或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或 【详解】（1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得： ， 解得：， ∴经过秒钟两点第一次相遇； （2）解：①当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即：，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形； ③时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时M、N重合，不能构成平行四边形． 综上分析可知：运动了秒或秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或． 13．如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 【答案】(1)，，(2)①或时，；② （1）根据非负数的性质求出字母的值，写出坐标即可； （2）①分和两种情况，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质列出方程即可； ②延长交于点M，过Q作于H，证明，设，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴A，C，D三点的坐标为，，； （2）解：①∵，， ∴轴． 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴，解得． 当时，过C作交于E， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，过C作于H，则， ∵，， ∴， ∵． ∴，解得． 综上：或时，．   ②当时四边形为平行四边形． 由①可知此时， ∴，，则， 延长，交于点M，过Q作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴． 设，则，，，， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 14．如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)的长为 ，的长为 ； (2)当t为何值时，线段恰好被平分？ (3)如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 【答案】(1)4，8 (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线，构造直角三角形，注意理解运动情况，分类讨论思想是解题的关键． （1）过C作于E，根据直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出和； （2）过Q作交于N，设与交于M，根据平行四边形的性质证明得到，从而求出t值； （3）分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：过C作于E，如图1， ∴， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （2）解： 运动时间为t（）， 由题意，得，， 如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2， 线段被平分， ， 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ∴当t为4秒时，线段恰好被平分； （3）解：在中，， ， ， ，， ， ， 过P作于F，则，如图1， ， ， ， ， ， D在y轴上， ， 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 综上，点D的坐标为或 题型五：平行四边形的构造问题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 【答案】(1) 存在点P的坐标，且P(0, )；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P， 如下图所示： 设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)， ，解之得， ∴直线BM解析式为， 令x=0，解得y=， ∴存在点P的坐标，且P(0, )， 故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, )； (2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD， 设D(m,0)，由中点坐标公式可知： 线段AC的中点坐标为，即， 线段BD的中点坐标为，即， 又线段AC与BD中点为同一个点， ∴，解得， 故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒， ∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：2秒； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)， 情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ， 线段AB的中点坐标为，线段PQ的中点坐标为， 又线段AB和线段PQ的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(4,0)，Q(0,3)； 情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP， 线段AQ的中点坐标为，线段BP的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(-2,0)，Q(0,1)； 情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ， 线段AP的中点坐标为，线段BQ的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(2,0)，Q(0,-1)； 综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 16．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1x1,y1，P2x2,y2，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：，他还利用图2证明了线段P1P2的中点Px,y的坐标公式： （1）已知点M2,1,N2,5，则线段MN长度为 ； （2）请求出以点A2,2,B2,0,C3,1，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标； （3）如图3，OL满足y2xx0，点P2,1是OL与x轴正半轴所夹的内部一点，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使PEF的周长最小，求出周长的最小值. 【答案】（1）；（2）（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）；（3）△PEF周长的最小值是4. 【详解】解：（1）∵M（2，﹣1），N（﹣2，5）， ∴MN==， 故答案为； （2）∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1）， ∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1）， 设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3， ∴此时D点坐标为（﹣3，3）； 当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）； 当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3）， 综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）； （3）如图，设P点关于x轴的对称点为P1，P点关于直线y=2x的对称点为P2，连接PP1交x轴于点H，连接PP2交直线y=2x于点G，连接P1P2，分别交x轴、直线y=2x于点F、E，由对称性知，PE=P2E，PF=P1F，PE+EF+PF=P2E+EF+P1F=P1P2， 此时△PEF的周长最小，等于P1P2的长. ∵PP2⊥OG，OG的解析式为y=2x， ∴可设直线PP2的解析式为， 把P点坐标（2,1）代入上述解析式，得b=2， ∴直线PP2的解析式为， 联立方程组，解得.          ∴G点的坐标为（）. 设P2点的坐标为（a，b），因为G是PP2的中点，所以， 解得：，所以P2点的坐标为（）， 又因为P1的坐标是（2,－1）， 所以由两点距离公式，得. 故△PEF周长的最小值是4. 题型六：矩形的折叠问题 17．如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 【答案】(1)(2)存在，当时，四边形是平行四边形(3) 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，则， ∴， ∵，则 ∴， ∵，即， ∴，即：， ∴； （2）存在，当时，四边形是平行四边形，理由如下： 在矩形中，，则， 由折叠得，，，则， 则与不可能平行， 如图，当，为对角线时， 设交于O，当，时，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，存在，当时，四边形是平行四边形； （3）连接，，， 由翻折可知，，， ∴垂直平分，则， ∵ ∴， ∴ ∵点在的角平分线上， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）知，，即：， 由（1）知，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 18．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)(2)①；②，见详解(3)或 【详解】（1）解：连接，    由于折叠，，垂直平分， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， ， ， ∴， ， 故答案为：； ②四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， 后同①可求； （3）当点Q在点F下方时，如图：    由于折叠，， ， ，， 设，则，，， 由勾股定理得，， 解得：， ； 当点Q在点F上方时，如图： ，，， ，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 19．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 【答案】操作一：见详解；操作二：；操作三： 【详解】操作一：证明：四边形是矩形， ，． 由折叠得，，． ，， ． 又∵，， ； ∴； 操作二：由折叠得，．．． ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：； 操作三：连接，过点F作于点T，如图，    根据操作二可得：是的垂直平分线， ， ， 当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为， ， 在（2）中已求出， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴最小的最小值为， 故答案为：． 20．实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90，45；（2）时的菱形EPFD的边长为；（3）存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是对问题的分类讨论． （1）当点与点重合时，是的中垂线，，当点与点重合时，此时； （2）当点在上，点在上时，是的中垂线，，四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，设菱形的边长为x，则，由勾股定理得：，进而求得； （3）情况一：，设，则，则，求得；情况二，，设，则，则，求得． 【详解】（1）当点与点重合时，如图1， ∴是的中垂线， ∴， 当点与点重合时，如图2， 此时， 故答案为：90，45； （2）当点在上，点在上时，如图3， ∵是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， 当时，设菱形的边长为， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴时的菱形的边长为：； （3）存在， 情况一：如图4，连接， ∵， ∴， 设，则，则， ∵， ∴， ∴， 解得：； 情况二，如图5， ∵， ∴， 设，则，则， 则， ∴， 解得：， 综上，线段的长为：或． 21．在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．    初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图1）． ①当点P与点A重合时，_________°，当点E与点A重合时，_________°， ②当点F与C重合时，_________； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上，、交于点O时（如图2）， ①求证：四边形为菱形； ②若，则_________ ③若的面积为S，则S的取值范围为_________； 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图3）．当时，_________． 【答案】（1）①，②，②；（2）①证明见解析；②当时，菱形的边长为；③；（3）或． 【详解】解：（1）①当点P与点A重合时，如图1，    ∴是的中垂线， ∴， 当点E与点A重合时，如图2，    此时； ②如图3，∵矩形，，， ∴，，，    由对折可得：，， ∴， ∴； （2）①当点E在上，点F在上时，如图4，    ∵是的中垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ②当时，设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ， ∴当时，菱形的边长为； ③由①得：四边形为菱形， ∴， 当A，E重合时，，此时面积最小，    最小面积为， 如图6，当，B重合时，最大，此时面积最大，    设，则， ∴，解得：， 最大面积为：， ∴． （3）如图7，连接，    ∵， ，， ∴， ∴， 设，则，则， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 即， 如图8，    ∵， ，， ∴， ∴，，则， 设，则，则，， 则，，， ∴， 解得：．即． 综上：的长为或． 题型七：矩形的动点问题 22．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：∵垂直平分于， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． （2）解：①根据矩形性质可得：， Ⅰ、当点在上时，时，当点在上时， ∵与不平行， ∴此时，，，四点不可能构成平行四边形； Ⅱ、当点在上，点在上时，， ∴当时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． 由题意，得，， ∴， 解得． ∴当秒时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． Ⅲ、当点在上时，点在或上，此时，，，四点也不能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才可能构成平行四边形． 综上：． ②若以四点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： Ⅰ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 得； Ⅱ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 此时，， ∴， ∴； Ⅲ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，与满足的数量关系式是． 23．综合与探究 在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，点，分别从点A，同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，，分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点，相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出的值． (3)若点向点运动，点向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴ 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图：∵四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②如图，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， 解得： 综上，四边形为矩形时或12； （3）解：如图，连接与交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：，解得：， ∴，即， 当时，四边形为菱形． 24．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 【答案】(1)2；5 (2)①详见解析；② (3) (4) 【详解】（1）解：如图1中，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； （2）①连接 四边形为矩形，    四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q    四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． （3）如图4中，    当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）, ， ∴， ∴， ∴S的最小时，x为； 故答案为： ． （4）解：如图3中，    在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 题型八：正方形中的45°角模型 25．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)， 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． （2），证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴；    ∴； ∵； 即． （3）如图1.解：∵，， ∴， 把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点； ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， ； ； ；    在和中， ， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形； ∴， ， 同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，；    ； ，； ； 在直角中，； ∴ ∴， 由旋转的性质可知，； 是等腰直角三角形； ∴， ∴． 题型九：正方形背景下的三垂直问题 26．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①见解析；② (3) 【详解】（1）解：∵a，b满足式子， ∴a=6，b=3， ∴，； （2）解：①取OA的中点K，连接KE，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵，K为OA的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在△AKE和△ECF中， ， ∴， ∴； ②延长CD，并在延长线上截取，连接AH，如图所示， ∵四边形AOCD是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， 由①可知， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在Rt△ECG中，， 解得， ∴， ∴． （3）解：在外角平分线上取点F，使，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作轴于点R， 在Rt△ORF中，， ∴的最小值为． 27．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子成立， ∴， ∴， ∴a=6， ∴b=3， ∴点A的坐标为（0，6），E（3，0）； ∴OA=6， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=CD=OA=6， ∴D（6，6）， 故答案为：（6，6），（3，0）； （2）解：①如图①，取OA的中点K，连接KE， ∵∠AEF=90°， ∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°， ∴∠FEC=∠OAE， ∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC， ∴AK=EC，OK=OE， ∴∠OKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AKE=∠ECF， 在△AKE和△ECF中， ， ∴△AKE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； ②如图②，延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH， ∵四边形AOCD是正方形， ∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°， ∴△AOE≌△ADH（SAS）， ∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD， 由①知AE=EF， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=45°， ∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°， ∴∠GAH=∠GAE， ∴△AEG≌△AHG（SAS）， ∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD， ∴∠AEO=∠AEG， ∵， ∴∠AGH=∠GNE=∠AGE， ∴EN=EG， 同理可得GM=GE， ∴GM=EN， 又∵GM⊥EN， 设DG=x，则CG=6-x， ∴OE=CE=3， ∴EG=x+3， 在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2， 解得x=2， ∴EG=EN=GM=5， ∴S四边形MNGE=＝； （3）解：在外角平分线上取点F，使CF=AO，连接，， ∴∠OAP=∠QCF=45°， ∵AP=CQ， ∴△APB≌△CQF（SAS）， ∴PB=QF， ∴BP+BQ=BQ+QF， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作FR⊥x轴于点R， ∵∠DCF=∠RCF=45°， ∴△CFR为等腰直角三角形， ∵AO=CF=6， ∴CR=FR=， ∴OR=， 在Rt△ORF中，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 28．如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)16(3) 【详解】（1）证明：在上取点，使，连接， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：四边形的面积不变，为， 连接， ， ∴， ， 四边形的面积为正方形的面积， 四边形的面积为； （3）解：作于， ， ， ， 由得，， ，， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理得，直线的解析式为， 当时， ， ， ， ． 29．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 31．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40° 【详解】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4， ∵CE＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴四边形DECG是正方形， ∴CG＝CE＝2； （3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°＋40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4，当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 题型十：中点四边形问题 32．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 33．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 34．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、，    当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 题型十一：平行四边形背景下的最值问题 35．如图，矩形中，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为，连接与相交于点．则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则最小为2 【答案】D 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，故A正确； 若， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则为等腰三角形，故B正确； 过点E作交于点N，过点P作交于点M，过点B作交延长线于点G， 若， 则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故C正确； D、若，则， 连接， 当时，最小， ∵， ∴三点共线，即， ∴， ∴， ∴， 则最小为，故D错误； 故选：D． 36．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 37．如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4(2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值(3)6 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 38．【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【详解】解：（1）①， 由勾股定理得：，； 故答案为：　，； ②矩形中，， ， 故答案为：10； （2）过点E作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ ， 如图，作点A关于的对称点，作点F关于的对称点，过作于K，连接， ∴，， ∴， 则当三点共线时，最小， ∴， ∴， 即的最小值为． 39．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 【答案】(1)；(2)(3)(4) 【详解】（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于， 则此时的值最小， ∵和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，点的横坐标是，此时； 故答案为：；； （2）解：∵点与关于直线对称， ∴的最小值是的长， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴， 在中， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图，设与交于点，连接，， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长， ∵正方形的面积为， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （4）解：如图，作垂足为与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是中线， ∴， ∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 40．已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． (1)如图1，当四边形是正方形时，求的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式； (3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小． 【答案】(1)(2)(3)当时，最大；当时，最小 【详解】（1）如图1中， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，连接，作于Q，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大， 在中，， ∴S的最大值． ②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴． 41．同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为 cm； (2)如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则 °．重叠部分的面积为 ； (3)如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个 形，证明你的结论； (4)在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是 cm，重叠部分的周长最大周长是 cm． 【答案】(1)(2)30，(3)菱，理由见详解(4)40，58 【详解】（1）解：由折叠可知四边形是正方形， ∴， ； 故答案为； （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ，分别为，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴垂直且平分线段， ∴， 由折叠可知， ， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠可知， ∴，即， ； 故答案为30，． （3）解：重叠四边形的形状是菱形；理由如下： 因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形． 如图1，过作于点，于点， 又， ， ， 四边形的形状是菱形； 故答案为菱． （4）解：由（2）可知：分开的两张矩形纸片的宽都为， 根据点到直线垂线段最短可知：当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最短周长为． 最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大． 设，则． 在中，， 解得． 则菱形的最大周长为； 故答案为40，58． 42．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有； (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)见解析 (2)四边形AECF的面积为，保持不变；△CEF的面积有最大值，最大值为 【详解】（1）证明：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴∠BAC=60°， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF=60°， ∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3， ∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∴， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE=CF． （2）四边形AECF的面积不变． 理由：由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF， 故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值； 作AH⊥BC于H点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 在Rt△ABH中，根据勾股定理得： ， ∴S四边形AECF=S△ABC=； ∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=S菱形ABCD﹣S△AEF ， ∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化， ∵△AEF为等边三角形， ∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值， ∵当AE⊥BC时，AE最小， ∴AE的最小值为AH的长， 过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示： ∵△AEF为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即△CEF的面积的最大值为． 43．已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长； ②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面积最大为 【详解】解：（1）连接，， 、、、分别是，，，的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）①如图2，过点作延长线于， ，， ， 又，， ， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得， 故； ②如图2，延长交延长线于， 由已知可得，四边形是矩形， 由①知， 同理可证， 菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积， ， 即， ， ，，，， ， ， 当取最大值时菱形面积最大， 当与重合时有最大值，即取到最大值， 此时， ， 当时，菱形面积最大为． 试卷第2页，共129页 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