专题1.4 二次函数的实际应用（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题1.4 二次函数的实际应用（5个考点） 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 【考点1 运动类（1）落地模型】 1．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系．明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如下表： 水平距离 竖直高度 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 2．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； (2) 甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 5．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．    (1)求足球运动路线的函数解析式． (2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）． (3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离． 6．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处． (1)求抛物线的解析式； (2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 【考点2 运动类（2）最值模型】 7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 8．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 9．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图像如图2所示. （1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系式； （2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？ （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？ 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 10．我校锡绣公社将在月份举行社团作品义卖，出售一批由学校师生亲手制作的创意书签（平均制作成本为每枚元，定价为每枚元），并将筹集的善款捐给我校对口援建的青海省海东市学校．设第天（为正整数）的销售量为枚，与的函数关系如图所示．售卖窗口设置在学校南门对面的友谊书店，由于月份书店要增加人手，售卖书签的成本逐日上涨，第天小卖部从每枚书签中抽成为元． (1)求与的函数表达式． (2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出在第几天时当天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 11．某企业销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 12．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 13．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 14．这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图像如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个．    (1)当时，求y与x的函数表达式； (2)若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 15．电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且）．部分数据如下表所示： 销售单价x（元/个） 55 60 70 销售量y（个） 220 200 160 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值； (3)电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围． 16．目前，云南省有130多种水果资源，约占全国的．第十六届亚洲果蔬产业博览会是中国领先的水果产业链贸易盛会，此次博览会，云南出产的苹果、蓝莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品种深受全国经销商们青睐．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售罄，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与之间的函数关系为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 17．进价为每件元的某商品，售价为每件元时，每星期可卖出件．市场调查反映∶如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出件，但售价不能低于每件元．设每件降价元(为正整数)． (1)设每星期的销售量为件，求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润． 18．某商场购进一批商品，商品的进价为每件元，售价为每件元时，每天可卖出件；如果每件商品的价格每上涨元，则每天少卖件，设每件商品涨价元，每天获利元． (1)当售价定为多少元时，每天获利最大？并求出最大利润； (2)由于某种原因，该商品的进价提高了元件，且物价部门规定该商品售价不得超过元件，若每天获得的最大利润是元，求的值． 19．城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 20．某宾馆有100个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间． (1)用含x的式子表示下列各量． ①供游客居住的房间数是______间； ②每个房间每天的定价是______元； ③该宾馆每天的总利润w是______元； (2)若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？ (3)该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 21．“民以食为天”，袁隆平院士生前领导的海水稻种植实验获得成功．海水稻大米已经进入市场并广受好评．某商场准备购进一种海水稻大米，每千克大米的进价为 6 元．试销期间发现：当每于克大米的售价为 14元时，日销量为 500 kg；每千克降价 0.1元，日销量增加 25 kg．设每千克售价为x元． (1)求每日总获利W(元)与x 的关系式． (2)若要日销量不低于1000 kg，每日总获利W 最多是多少元? (3)若要使每日总获利不低于2500元，日销量至少是多少千克?(规定大米的售价为正整数．) 【考点5面积类】 22．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 23．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 24．如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域． (1)设垂直于墙的篱笆长是，花园面积是，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？ 25．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 26．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 27．如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【考点6拱桥类】 28．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 29．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 30．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 31．河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 32．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 33．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 34．某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为米时，单个小孔的水面宽度为米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求大孔对应抛物线的解析式． (2)当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面多少米? (3)当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度多少米? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 二次函数的实际应用（5个考点） 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 【考点1 运动类（1）落地模型】 1．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系．明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如下表： 水平距离 竖直高度 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．通过图表求出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式；把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：由表格可知当时，；当时，， 可得对称轴为直线，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 令，则， 解得，或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米． 故选：D． 2．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令，可得点，可判断①；把函数解析式化为顶点式可得判断②；再令，可判断③． 【详解】解：当时，， ∴点， ∴出球点离点的距离是，故①正确； ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∴羽毛球最高达到，故②正确； 当时，， 解得：， ∴点， ∴羽毛球横向飞出的最远距离是，故③错误； 故选：C 3．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； (2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 【答案】(1)①  ②此球能过网 (2)乙扣球不过网 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可； ②把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与比较大小即可判断是否过网；（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的解析式，得到点的坐标 ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入即可解题． 【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 ， 由题意得， ， 解得 ∴， ②把代入 得:， ， ∴ 此球能过网； （2）把代入得: ，解得： ， ， 当时, ， ∴点的坐标 ， 设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ， ， 当时, ， ∴乙扣球不过网． 5．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．    (1)求足球运动路线的函数解析式． (2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）． (3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离． 【答案】(1) (2)足球不能射门成功 (3)移动的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将代入抛物线求出的值即可； （2）求出当时，，即可得出答案； （3）设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为，由题意得出平移后的抛物线经过点，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解： 米， 当时，， 足球不能射门成功； （3）解：小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入， 设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为， ， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 移动的距离为米． 6．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处． (1)求抛物线的解析式； (2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确解得该抛物线解析式是解题关键． （1）根据题意，设该抛物线解析式为，然后将将点代入求解即可； （2）对于抛物线，令，解得的值，进而确定点坐标，根据题意比较点横坐标与8.4的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得，该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在轴正半轴上， ∴， 又∵， ∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分． 【考点2 运动类（2）最值模型】 7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∴当时，汽车滑行的距离最远为； 故答案为：15． 8．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 【答案】8 【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为，前行的距离为米，再求出当时，汽车前行的距离，据此即可求得． 【详解】解：， ， 当时，前行的距离最大，最大距离为米， 当时，， 汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为：(米)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键． 9．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图像如图2所示. （1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系式； （2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？ （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？ 【答案】（1）；（2）；（3）符合，理由见解析. 【分析】（1）利用顶点坐标设出顶点式，再将（0，1.8）代入即可求出； （2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式即可； （3）由题意可知：若第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，此时它们关于对称轴对称，再根据相差2s，即可得到第一发爆炸时的时间，代入求函数值即可判断. 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为：（3，19.8） ∴设飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系式为： 将（0，1.8）代入得： 解得： ∴飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系式为：. （2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式中得： 答：第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为11.8米. （3）由第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度， ∴此时它们关于对称轴对称 ∵这种烟花每隔2秒发射一发花弹 ∴此时第一发花弹爆炸的时间为：3＋2÷2=4s 将t=4代入关系式中得： ∵17.8米＞16米 ∴花弹的爆炸高度符合安全要求. 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式和理解题意是解决此题的关键. 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 10．我校锡绣公社将在月份举行社团作品义卖，出售一批由学校师生亲手制作的创意书签（平均制作成本为每枚元，定价为每枚元），并将筹集的善款捐给我校对口援建的青海省海东市学校．设第天（为正整数）的销售量为枚，与的函数关系如图所示．售卖窗口设置在学校南门对面的友谊书店，由于月份书店要增加人手，售卖书签的成本逐日上涨，第天小卖部从每枚书签中抽成为元． (1)求与的函数表达式． (2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出在第几天时当天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)，在第30天时当天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确求出函数解析式是解题的关键． （）根据函数图象和利用待定系数法即可求出表达式； （）根据题意分和两种情况求出函数解析式即可，分别求出每个范围内的最值，比较后即可得到答案． 【详解】（1）当时，， 当时， 设，由图象可得： ， 解得：， ∴， 综上可知：； （2）当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， ∴当时，， 当时， 当时，解得 ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随着x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上可知，与的函数表达式为，在第30天时当天的销售利润最大，最大利润是元 11．某企业销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)，每件销售价为16元时销售利润最大为144元． 【分析】本题考查二次函数的应用，求一次函数的解析式，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天销售利润每件的销售利润销售量得出函数解析式，再配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）解：根据题意知， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为144； ∴每件销售价为16元时销售利润最大为144元． 12．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把和分别代入得： ， 解得： ， ∴y与x的函数表达式为． （2）当时， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时， ， 当时， ， ∵不在范围内，当时，W随x的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 13．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当时，即第天利润最大，最大利润为元； (3)天． 【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解； （）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解； （）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解． 【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得 ∴，（不符合题意，舍去）； 答：此品牌柑橘每次降价的百分率为； （2）由题意，第一次降价后的价格为元， 当时， 当时， 当时，， ∵，随的增大而减小， ∴当时，（元）， 当时，， ∵， ∴当时，最大值为（元） 综上可知：， ∴当时，即第天利润最大，最大利润为元； （3）由题意，当时，， ∴解得：， ∴， 又为正整数， ∴，故此时为天利润不低于元， 当时，， ∴解得：， ∴当时，有，此时， 故此时有天利润不低于元． 又（天）， 综上可知，共有天利润不低于元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键． 14．这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图像如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个．    (1)当时，求y与x的函数表达式； (2)若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 【答案】(1)； (2)甲产品生产90个，乙产品生产270个，才能使文创公司的制作费最少，最少5625元． 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，把 ，代入，得到方程组，解方程组，即得； （2）设总制作费为元，根据，，得到，当时，，W随x的增大而增大，得到时，最小值为5850元；当时，，对称轴为直线，与关于对称，当时，W随x的增大而减小，时，最小值为5625元，即得． 【详解】（1）设y与x的函数表达式为， 把 ，代入， 得，， ， ∴； （2）设总制作费为元， 由题知：，， ∴ ①当时， ， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，最小，最小为（元）， ②当时， ， ∴对称轴为直线， ∵， 与关于对称，当时，W随x的增大而减小， ∴时，取最小值， 最小值为（元）， ∵， ∴当时，取最小值，最小为5625元， 此时， 答：甲产品生产90个，乙产品生产270个，才能使文创公司的制作费最少，最少5625元． 【点睛】本题主要考查了函数的应用．熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，总价与单价和数量的关系，一次函数的增减性，二次函数的对称性和增减性，是解答本题的关键． 15．电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且）．部分数据如下表所示： 销售单价x（元/个） 55 60 70 销售量y（个） 220 200 160 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值； (3)电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围． 【答案】(1)； (2)（元）． (3)销售单价x的范围是：． 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1100元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得： 解得： ∴； （2）解：依题意，， ∵， ∴由二次函数的性质可知，时，W有最大值， （元）． （3）解：依题意，当时，， 解这个方程得，，， ∵， ∵电商平台希望每周获得不低于1100元利润， ∴销售单价x的范围是：． 16．目前，云南省有130多种水果资源，约占全国的．第十六届亚洲果蔬产业博览会是中国领先的水果产业链贸易盛会，此次博览会，云南出产的苹果、蓝莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品种深受全国经销商们青睐．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售罄，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与之间的函数关系为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为800 【分析】本题主要考查了二次函数的应用： （1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，； 当时，设函数解析式为， 又图象过，， ∴． ∴． ∴此时函数解析式为． 综上，当时，． （2）解：由题意，结合（1）当时，单价为， 此时销量， ∴日销售额为． 当时，销量，单价为， ∴日销售额为 ． 又， ∴当时，W随x的增大而增大． ∴当时，当时，W取最大值，最大值为800． 综上，当时，当时，W取最大值，最大值为800元． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 17．进价为每件元的某商品，售价为每件元时，每星期可卖出件．市场调查反映∶如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出件，但售价不能低于每件元．设每件降价元(为正整数)． (1)设每星期的销售量为件，求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润． 【答案】(1)，且x为正整数 (2)定价或元，最大利润为元 【分析】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值在时取得． （1）用原来的销售量加上增加的销售量即可求出y与x的函数关系式，再根据售价不能低于每件元，x为正整数，即可求出x的取值范围； （2）根据销售利润=销售量x (售价-进价)，列出平均每天的销售利润w (元)与降价x元之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：， ∵ 所求的函数关系式为，其中为正整数． （2）设每星期的利润为元． 当时，有最大值元． 为正整数． 当时，元； 当时，元． 故定价或元时有最大利润，最大利润为元 18．某商场购进一批商品，商品的进价为每件元，售价为每件元时，每天可卖出件；如果每件商品的价格每上涨元，则每天少卖件，设每件商品涨价元，每天获利元． (1)当售价定为多少元时，每天获利最大？并求出最大利润； (2)由于某种原因，该商品的进价提高了元件，且物价部门规定该商品售价不得超过元件，若每天获得的最大利润是元，求的值． 【答案】(1)当售价定为元时，每天获利最大，最大利润是元； (2)5 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键读懂题意，列出函数关系式． （1）根据总利润每件利润销量可得：，由二次函数性质可得答案； （2）求出，由物价部门规定该商品售价不得超过元件，知，可得时，取最大值，即有，解方程即得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 当时，取最大值， 元， 当售价定为元时，每天获利最大，最大利润是元； （2）根据题意得：， ，对称轴， 抛物线开口向下， 物价部门规定该商品售价不得超过元件， ，即， 随的增大而增大， 时，取最大值， 每天获得的最大利润是元， ， 解得， 的值为． 19．城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每盒售价最高为16元； (2)a的值为2； (3)当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元． 【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，则月销量为盒，根据月销量不低于300盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设月销售利润为y元，根据月利润每盒的利润销售量列出函数解析式，在（1）的条件下由函数的性质求最值． 本题考查了二次函数、 一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （3）找准等量关系，正确列出函数解析式． 【详解】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元， 则月销量为盒， 依题意得：，解得：， 答：每盒售价最高为16元； （2）依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：a的值为2； （3）设月销售利润为y元， 根据题意得：， ∴对称轴为， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2700， ∴当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元． 20．某宾馆有100个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间． (1)用含x的式子表示下列各量． ①供游客居住的房间数是______间； ②每个房间每天的定价是______元； ③该宾馆每天的总利润w是______元； (2)若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？ (3)该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)①；②；③； (2)空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是2000元 (3)每间房价定价为元，总利润最大为21280元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设该宾馆每天的总利润为w元，空闲房间每天储存货物获得的总利润为元， 由（1）得：，，将代入关系式列出一元二次方程，解方程，再利用二次函数性质求解即可； （3）先确定x的取值范围为，再根据二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设空闲房间有x间，由题意得： ①供游客居住的房间数是间； ②每个房间每天的定价是元； ③该宾馆每天的总利润w是元； 故答案为：①；②；③； （2）设该宾馆每天的总利润为w元，空闲房间每天储存货物获得的总利润为元， 由（1）得：， 将代入得： 解得：， ，且二次函数对称轴为， 游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，， 当时，s有最大值，为， 空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是2000元； （3）该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，且宾馆有100个房间供游客居住， ，且 ， 由（2）得， ， x为整数，，且二次函数对称轴为， 当时，w最大，最大值为， 此时，每间房价定价为元，总利润最大为21280元 21．“民以食为天”，袁隆平院士生前领导的海水稻种植实验获得成功．海水稻大米已经进入市场并广受好评．某商场准备购进一种海水稻大米，每千克大米的进价为 6 元．试销期间发现：当每于克大米的售价为 14元时，日销量为 500 kg；每千克降价 0.1元，日销量增加 25 kg．设每千克售价为x元． (1)求每日总获利W(元)与x 的关系式． (2)若要日销量不低于1000 kg，每日总获利W 最多是多少元? (3)若要使每日总获利不低于2500元，日销量至少是多少千克?(规定大米的售价为正整数．) 【答案】(1) (2)若要日销量不低于1000kg，每日总获利W最多是6250元 (3)若要使每日总获利不低于2500元，日销量至少是500kg 【分析】 此题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意写出函数关系式． （1）设每千克售价为x元．由题意列出函数关系式即可； （2）先求得的取值范围，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每千克售价为x元．由题意得 ； （2）解：由题意得， 解得． ∵，∴抛物线开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W 有最大值 6250． 答：若要日销量不低于1000kg，每日总获利W最多是6250元； （3）解：由题意得 解得， ∵大米的售价为正整数，∴． 设日销量为 y kg， 则． ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，y最小为 500． 答：若要使每日总获利不低于2500元，日销量至少是500kg． 【考点5面积类】 22．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为； (3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题． （1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围； （2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论； （3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）， 当时，矩形场地的总面积最大，最大为； （3）由题意得，， 将代入得：， 解得：， ， 不符合要求，舍去， 矩形场地的最大总面积不能达到． 23．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为 (2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为， ∴无盖纸盒的底面的边长为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴剪掉的小正方形的边长为； （2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 24．如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域． (1)设垂直于墙的篱笆长是，花园面积是，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？ 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，S的最大值为300 (2)至少要购买400株牡丹 【分析】题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）设垂直于墙的边为米，根据矩形面积公式得，由二次函数性质可得答案； （2）设A区域平行墙的篱笆长，则B区域平行墙的篱笆长，根据A区域面积不小于B区域面积的2倍，列出不等式，求出y的最小值即可； 【详解】（1）解：设垂直于墙的篱笆长是，则平行于墙的篱笆长为， 由题意得， ， 当时，S有最大值是300， ∴S关于x的函数表达式为，S的最大值为300； （2）设A区域平行墙的篱笆长，则B区域平行墙的篱笆长， 由题意得，解得：， y的最小值是20，则的最小值是400， 至少要购买400株牡丹； 25．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 26．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 27．如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． (1) 设的长为米，根据矩形性质得米，根据题意，可得，根据矩形的面积公式列方程求解即可． (2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米， 点在线段上， 米， ， ，即， ， 故根据题意得展览馆的面积为， 解得： ， (，故舍去)， 答：为米． （2）展览馆的面积为，的长为米， 当点在线段延长线上，， 由，得此时， 则， 上式可化为， 故当时，有最大值，即， 答：为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米． 【考点6拱桥类】 28．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 29．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当米时，三根“光带”长度之和的最大值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，用的值表示出，，的长度，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】（1）解：由题意知，顶点，， 可设该抛物线的函数表达式为， 抛物线过原点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为，则，， 根据抛物线的轴对称性质，可得， 故， ， ， 当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米． 30．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】(1) (2)所以需要采取紧急措施 (3)球会落在桥上 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到此时水面宽度为，与比较即可求解； （3）设足球轨迹抛物线表达式为：，再将代入，求得足球轨迹抛物线表达式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）解：将代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为， 又， 所以需要采取紧急措施； （3）解：若人朝轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：， 代入得：， 解得：， ， 令，得， 所以球会落在桥上． 31．河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)升降梯的最低高度应为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是y轴，从而可设抛物线为，又B为，故求得a的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为，故可令，则，从而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为，对称轴是y轴， ∴可设抛物线为． 又B为， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 当时，， 即， 在上取点，使，如图所示， 则升降梯的最低高度． 升降梯的最低高度应为． 32．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 33．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键． （1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答； （2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 34．某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为米时，单个小孔的水面宽度为米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求大孔对应抛物线的解析式． (2)当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面多少米? (3)当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度多少米? 【答案】(1) (2)4米 (3)米 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）如图1，由题意知，顶点坐标为，，，设大孔对应抛物线的解析式为，待定系数法求解析式即可； （2）如图1，，将代入，计算求解，进而可得点坐标，然后作答即可； （3）将代入，计算求解可得，当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面的距离；如图1，由题意知，，设，则，，设右侧小孔对应抛物线的解析式为，待定系数法求得右侧小孔对应抛物线的解析式为，将代入，求得，，根据当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1， 由题意知，顶点坐标为，，， 设大孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴大孔对应抛物线的解析式为； （2）解：如图1，， 将代入得，， ∴， ∴当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面4米； （3）解：将代入，解得，； ∴当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面米； 如图1，由题意知，， 设，则，， 设右侧小孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴右侧小孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，，， ∵， ∴当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$