22.1.2.2 二次函数y=ax²+c的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

22.1.2.2 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图象性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图象的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1-1】二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【典例1-2】二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 【变式1-1】抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【变式1-2】下列二次函数中，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【典例2-1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是(      ) A． B．   C．   D．   【典例2-2】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式2-1】二次函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式2-2】关于二次函数的说法中，不正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2-3】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值5 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若三点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点4 二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【变式4-1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（   ）              A． B． C． D． 1．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象上有三点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 5．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 6．已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（　　） A．B． C． D． 8．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 10．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为 ． 11．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 12．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2.2 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图象性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图象的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1-1】二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 【典例1-2】二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 【变式1-1】抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】由抛物线的顶点坐标直接得到对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则其对称轴是轴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 【变式1-2】下列二次函数中，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质．根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 【详解】解：A、的对称轴是直线，不符合题意； B、的对称轴是直线，不符合题意； C、， 的对称轴是直线，不符合题意； D、， 的对称轴是直线，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【典例2-1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是(      ) A． B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：二次函数y=x2+1中， a=1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)， 符合条件的图象是C. 故选C. 【典例2-2】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】二次函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴抛物线过第一、二象限； 故选A 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式2-2】关于二次函数的说法中，不正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由可判断选项A；由可得对称轴为y轴，可判断选项B；把点代入抛物线解析式可判断选项C；由对称轴及抛物线增减性可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，故选项A不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，故选项B符合题意； 把点代入，等式成立，故选项C不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键． 【变式2-3】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【变式2-4】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值5 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，当时，函数有最小值c，当时，函数有最大值c，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∵当时，， ∴二次函数有最大值， 故选B． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵在二次函数的图象上， ∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键． 【变式3-1】已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定抛物线的对称轴，根据两点离对称轴的远近，再结合抛物线的开口方向即可判断出、的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、， ∴点离直线远，点离直线近， 而抛物线开口向上， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当抛物线开口向上时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越小，反之则越大，掌握此特点是关键．当然，由于本题给出了具体的二次函数式及两点的横坐标，也可求得这两点的纵坐标，比较纵坐标即可． 【变式3-2】若三点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是轴，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是轴，关于y轴的对称点是， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 【变式3-3】若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， 而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近， ∴． 故选：C． 【考点4 二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 本题可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过二、三、四象限，，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，由直线可知，图象过一、二、三象限，，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，,故此选项错误； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，即，故此选项正确； 故选：D． 【变式4-1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（   ）              A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图象过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D. 1．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、c是常数，），其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 3．函数的图象上有三点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 【详解】∵函数的图象上有三点，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 4．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图象可以由二次函数 的图象向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图象开口向下，在对称轴左侧，图象上升，在对称轴右侧，图象下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 5．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，y有最大值，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶点坐标． 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝﹣x2+1的图象顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下即可判断求解． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+1的图象顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下 ∴大致图象如下： 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝ax2+k的特点． 8．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式可以得到二次函数的增减性，即当时，y随x增大而增大，然后求出当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，，当时，， 当时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质． 9．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 【答案】/ 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得到，再证明为等腰直角三角形得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，如图，则， ， ， 过点且平行于轴， 为等腰三角形， ∵轴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 10．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是a和b， ∴， 则抛物线解析式为：， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．也考查了抛物线顶点坐标为 11．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 12．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1) x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 图象见解析 (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可． 【详解】（1） x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$