专题22.1.2.2 二次函数y=ax²+c的图象和性质（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题22.1.2.2 二次函数的图象和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x=2 C．直线 D．直线x=﹣3 3．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4） 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 4．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 5．关于抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当时，函数y随x的增大而减小 6．已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 7．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 8．下列对于二次函数，说法不正确的是（　　） A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴 9．对于二次函数，下列说法，不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小 C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值 10．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 13．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（   ） A． B．5 C．或5 D．5或 15．抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 16．抛物线经过点，那么 ． 17．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 18．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2＋1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 20．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 22．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．若二次函数的图象经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=） 24．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C． D． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1.2.2 二次函数的图象和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x=2 C．直线 D．直线x=﹣3 【答案】A 【详解】解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为， 故对称轴为x==0， 所以对称轴为y轴． 故选：A． 3．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4） 【答案】D 【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）． 故选D． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 4．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点．将点代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵与y轴交点的纵坐标为3， ∴在函数图象上，代入解析式的：， ∴； 故选D． 5．关于抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当时，函数y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴函数有最大值，当时，函数y随x的增大而减小， ∴四个选项中只有选项B符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与系数的关系和二次函数的性质是解题的关键． 6．已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ； 故选：B． 7．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 8．下列对于二次函数，说法不正确的是（　　） A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴 【答案】B 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知的图象与性质． 【详解】解：A. 开口向上，最小值为3，说法正确； B. 图象与y轴交于，说法错误； C. 当时，y随x的增大而减小，说法正确； D. 其图象的对称轴是y轴，说法正确； 故选B． 9．对于二次函数，下列说法，不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小 C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值 【答案】B 【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利用二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D． 【详解】解：A、∵二次函数中，，∴此抛物线开口向下，故本选项正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴，∴当时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，当时，y有最大值是3，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象有最低点， 函数图象开口向上， 则， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 12．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】A.若，则，故本选项不符合题意； B.若，则，故本选项不符合题意； C.若，则，故本选项不符合题意； D.若，则，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（   ） A． B．5 C．或5 D．5或 【答案】D 【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值． 【详解】解：当x＜3时， 令2x2-3=15， 解得x=-3； 当x≥3时， 令3x=15， 解得x=5； 由上可得，x的值是-3或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 15．抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 【答案】下降 【分析】根据抛物线的性质判定即可． 【详解】∵抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴抛物线在轴的右侧y随x的增大而减小， 故答案为：下降． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 16．抛物线经过点，那么 ． 【答案】1 【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可． 【详解】∵抛物线经过点， ∴6=4a+2， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图象过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 17．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 18．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2＋1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】A 【分析】根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出y1、y2、y3，然后解答即可． 【详解】解：y1＝（−1）2＋1＝2， y2＝22＋1＝5， y3＝（−3）2＋1＝10， 所以，y1＜y2＜y3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 【答案】A 【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1， E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2）， ∵抛物线开口向下， ∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键． 20．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线图象，确定图象开口，对称轴，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 当时，函数开口向上，对称轴为，则时，函数值随自变量的增大而增大， ∵点，点中，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 21．已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 22．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式得到二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴， 故选D． 23．若二次函数的图象经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所给点到对称轴的距离大小即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且图象开口向上， 又，，， ∴ 故答案为： 24．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 15 学科网（北京）股份有限公司 $$