2.4 圆周角（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.4 圆周角 【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】 【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】 【考点4圆内接四边形的综合运用】 【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】 知识点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点2 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】 【典例1】如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【典例2】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，圆上依次有四个点，交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】 【典例3】如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点A、B、C、D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 知识点3 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【考点4 圆内接四边形的综合运用】 【典例4】如图，已知四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【变式4-2】如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 【变式4-3】如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °． 【考点5 求外接圆直径】 【典例5】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 1．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2．如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，内接于， 若， 那么的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，A，B，C为上的三个点．，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（    ） A． B．4 C． D．3 7．如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 8．如图 ，为的直径，C是上的一点，若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 9．如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 10．如图，四边形内接于，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 11．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，是的内接三角形，，连接，则 ．    13．如图，是的内接三角形，若，，则 ． 14．如图，是的一条弦，连接， 交于点C，连接，若，则的度数为 ． 15．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 圆周角 【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】 【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】 【考点4圆内接四边形的综合运用】 【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】 知识点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点2 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】 【典例1】如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于度，求出，从而由圆周角定理得，最后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1-2】如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选． 【变式1-3】如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理应用，先根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵的直径经过弦的中点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【典例2】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据等腰三角形的性质得出，根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵=， ∴ ∵四边形内接于， ∴； 故选：B． 【变式2-1】如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线得出，根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2-2】如图，圆上依次有四个点，交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等．熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】 【典例3】如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-1】如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到，．连接，由圆周角定理求出，由邻补角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理即可求出． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是劣弧的中点， ， ． 故选：B 【变式3-2】如图，点A、B、C、D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点B是弧的中点， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：D． 【变式3-3】如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一定理得到，再证明得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 知识点3 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【考点4 圆内接四边形的综合运用】 【典例4】如图，已知四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形对角互补，得到，由圆周角定理即可求解， 本题考查了，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵内接于， ∴， ∴，即：， ∴， 故选：D． 【变式4-1】如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧上一点，连接，，利用圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【详解】解：记D为优弧上一点，连接，，    ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， 故选：D． 【变式4-2】如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，由是的直径可得，又由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 【考点5 求外接圆直径】 【典例5】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【变式5-1】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式5-2】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 【变式5-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 1．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，90°的圆周角所对的弦是直径，先根据等边对等角的到，然后得到，进而求出，然后根据是圆O的直径即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是圆O的直径，即半径长为10cm， 故选A． 2．如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，多边形内角和，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，内接于， 若， 那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据圆周角定理即可得到结果． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，A，B，C为上的三个点．，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，求得，再利用题中信息得到，即可解答，熟练运用圆周角定理进行角度转换是解题的关键． 【详解】解：由题意， ， ， ， 故选：B． 5．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，连接得到点是的中点，再解直角三角形，即可得到，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， ， 为的中线， ， ，， ， 故选：C． 7．如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角求出，然后根据圆周角定理的推论得，再依据含角的直角三角形的性质求出长，最后根据勾股定理求长即可． 【详解】解： 为直径， ， 和是同弧所对的圆周角， ， ， ， ． 故选：D． 8．如图 ，为的直径，C是上的一点，若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，根据得，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又，求得的度数，然后由的平分线交于，求得的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 平分， ， ． 故选：C． 10．如图，四边形内接于，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等． 本题考查的是圆周角定理，解题的关键是同弧或等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理求出再根据三角形内角和进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 11．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D ∵， ∴， ∵， ∴，【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先作出弧所对的圆周角， 根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为弧所对的圆周角， 故选：D． 12．如图，是的内接三角形，，连接，则 ．    【答案】50 【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 13．如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，是的一条弦，连接， 交于点C，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则，再利用三角形内角和定理求解，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， 由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为，解题的关键是正确理解在以为直径的上，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$