专题04 三角恒等变换（思维导图+5重点+10题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第三册）

专题04 三角恒等变换 知识点1 ：两角和与差的余弦 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； 简记为：“同名相乘，符号反”． 知识点2：两角和与差的正弦 1.两角和与差的正弦 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； 简记为：“异名相乘，符号同”． 2．辅助角公式： asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论＝±1，±，±的情况 常用： . 知识点3 ：两角和与差的正切 1.两角和与差的正切 T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．变形公式： tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)， tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)， 如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)， 1－tanαtanβ＝． 1＋tanαtanβ＝． 3.适用条件： 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． 知识点4 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S2α：sin 2α＝2sinαcosα； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 知识点5 ：简单的三角恒等变换 1．半角公式(不要求记忆) sin＝±，cos＝±　，tan＝±　＝＝.符号由所在的象限决定． 2.积化和差与和差化积 (1)积化和差公式(不要求记忆和应用) sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式(不要求记忆和应用) sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 题型归纳 【题型01 两角和与差的三角函数公式的“正用”】 满分技法 正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值． 1．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型02两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用”】 满分技法 1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 2.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 3．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 4．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 5．（2024·江苏盐城·一模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型03 利用“角的变换”求值】 满分技法 角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)．－α＝－， －α＝－，＋α＝π－，＋α＝π－. 9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 10．（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）已知，，且，均为锐角，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山西·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型04二倍（半）角公式的应用】 满分技法 1.熟记公式及其变形 2.理解倍与半的“广泛”意义. 12．（江苏省苏州大学2024届高三下学期高考考前数学指导卷）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高三下·云南大理·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 16．（多选）（23-24高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17.（多选）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【题型05根据三角函数值求角】 满分技法 1.解题的一般步骤是： （1）先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）； （2）根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)所得范围内是单调函数； （3）求α的一个三角函数值； （4）写出α的大小． 2.在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数． 18．（23-24高三下·福建莆田·阶段练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 19．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 20．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【题型06三角函数的求值问题】 满分技法 1.三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2.三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值． (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系． (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角． 21．（2024·河北沧州·二模）化简（    ） A．1 B． C．2 D． 22．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 【题型07三角函数式的化简问题】 满分技法 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 2.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号． 25．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）化简所得的结果是（    ） A． B．1 C． D． 26．（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 27．（多选）（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型08三角恒等式的证明】 满分技法 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 28．（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 30．（2023高一上·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【题型09研究三角函数的图像和性质】 满分技法 1.先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式. 2.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期 ①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝； ②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝. (2)对称性求最值 ①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于； ②对称中心到对称轴距离的最小值等于； ③两个最大(小)值点之差的最小值等于T. 3.三角函数是奇、偶函数的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下： (1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (3)若为奇函数则有. 5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法 (1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x. (2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可． (3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x. 31．（多选）（江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试题）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 32．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知是函数的一个零点. (1)求实数的值； (2)求单调递减区间. (3)若，求函数的值域. 【题型10 三角恒等变换与平面向量】 满分技法 向量运算与三角函数交汇问题解题关键点： （1）根据向量的坐标运算，建立三角函数关系式； （2）对三角函数关系式，运用同角关系、两角和差、二倍角公式等进行恒等变形； （3）运用换元法转化为，借助的性质分析解决问题. 33.（多选）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 34.（2017·江苏·高考真题）已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 过关检测 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 2.（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（多选）（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A．在上的最大值为 B．为偶函数 C．为奇函数 D．在上单调递减 6．（23-24高三上·江西萍乡·期中）求值： . 7．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 8．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 9．（23-24高一下·云南保山·期中）如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，． (1)若，求点B的坐标； (2)若，求的值． 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角恒等变换 知识点1 ：两角和与差的余弦 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； 简记为：“同名相乘，符号反”． 知识点2：两角和与差的正弦 1.两角和与差的正弦 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； 简记为：“异名相乘，符号同”． 2．辅助角公式： asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论＝±1，±，±的情况 常用： . 知识点3 ：两角和与差的正切 1.两角和与差的正切 T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．变形公式： tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)， tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)， 如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)， 1－tanαtanβ＝． 1＋tanαtanβ＝． 3.适用条件： 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． 知识点4 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S2α：sin 2α＝2sinαcosα； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 知识点5 ：简单的三角恒等变换 1．半角公式(不要求记忆) sin＝±，cos＝±　，tan＝±　＝＝.符号由所在的象限决定． 2.积化和差与和差化积 (1)积化和差公式(不要求记忆和应用) sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式(不要求记忆和应用) sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 题型归纳 【题型01 两角和与差的三角函数公式的“正用”】 满分技法 正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值． 1．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案. 【详解】，， ， ， 故选：D. 2.（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将切化弦，再由利用两角差的余弦公式化简，即可得解. 【详解】 . 故选：B 3．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【题型02两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用”】 满分技法 1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 2.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 3．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 4．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 5．（2024·江苏盐城·一模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，得， 所以的最小正周期. 故选：A. 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案. 【详解】，所以， 两边同除，得到，即. ，. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C 8．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点法作图，结合函数的图象得、和，再利用两角差的余弦公式，计算得结论. 【详解】解：因为，所以，而，因此， 即 因为，所以由“五点法”作图得：，解得， 由于,解得，故取，则， 因此. 因为，所以，. 因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，， 所以由和得：，， 因此 . 故选：A 【题型03 利用“角的变换”求值】 满分技法 角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)．－α＝－， －α＝－，＋α＝π－，＋α＝π－. 9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得，变形得， 所以. 故选：C 10．（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）已知，，且，均为锐角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意可得，，进而由即可求解. 【详解】因为、均为锐角，所以，所以． 由，得，，． 所以 . 故选：A. 11．（2024·山西·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合的范围分析可得，，再根据结合的范围分析可得，由结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为，则，且， 则，可得，， 又因为，则，且， 可得，， 所以 . 故选：D. 【题型04二倍（半）角公式的应用】 满分技法 1.熟记公式及其变形 2.理解倍与半的“广泛”意义. 12．（江苏省苏州大学2024届高三下学期高考考前数学指导卷）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正弦公式得到，再进行弦化切求解即可. 【详解】由两角和差的正弦公式得， 化简得，则 故，故D正确. 故选：D 13．（23-24高三下·云南大理·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化切之后计算即可得. 【详解】由，可知： . 故选：C. 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式将要求角用已知角表示即可求解. 【详解】由已知得 因为，根据同角三角函数基本关系式得 . 故选：A. 15．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 16．（多选）（23-24高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值判断D. 【详解】由和差化积公式，得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式，得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误. 故选：BC. 17.（多选）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的倍角公式与诱导公式、和差公式与诱导公式化简各式并求值，从而得解. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，因为 ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【题型05根据三角函数值求角】 满分技法 1.解题的一般步骤是： （1）先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）； （2）根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)所得范围内是单调函数； （3）求α的一个三角函数值； （4）写出α的大小． 2.在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数． 18．（23-24高三下·福建莆田·阶段练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】切化弦，以及二倍角的正弦可得，变形可得，从而可求. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，， 所以，所以． 故选：B． 19．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出，解出、，进而解出即可； （2）由均为锐角，先解出的取值范围；再解出，进而解出的值即可. 【详解】（1）∵，，，，∴、均为正数. ∴，， . ∴； （2）∵，，∴， 又∵， ∵，∴. 20．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值． 【详解】（1）由题意，，两点位于第二象限， ，的纵坐标分别为，． ，， ． （2）由于， ， 因为、为钝角，所以、， 故，． 【题型06三角函数的求值问题】 满分技法 1.三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2.三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值． (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系． (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角． 21．（2024·河北沧州·二模）化简（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简. 【详解】. 故选：B. 22．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 23．（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出. 【详解】因为， 所以 ， 得， 所以， 则 . 故答案为：. 【题型07三角函数式的化简问题】 满分技法 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 2.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号． 25．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）化简所得的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】结合弦切互化，结合辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】 ； 故选：B 26．（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 27．（多选）（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，利用正弦函数的和角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B，利用辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于C，根据余弦的二倍角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D，根据正切函数和角公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由则 所以，故D正确． 故选：AD． 【题型08三角恒等式的证明】 满分技法 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 28．（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对A，利用诱导公式和两角和的正弦公式运算判断；对B，利用两角和的正切公式运算；对C，利用二倍角正切公式运算判断；对D，利用辅助角公式运算判断. 【详解】对于A，因为 ，故A错误； 对于B，因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为 ，故D正确. 故选：BD. 29．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1） ； （2） . 30．（2023高一上·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦和差公式进行证明； （2）在（1）的基础上，变形即可. 【详解】（1）证明：因为, 将以上两式的左右两边分别相加，得 ， 故 （2）由（1）可得①， 设， 把代入①，即得. 【题型09研究三角函数的图像和性质】 满分技法 1.先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式. 2.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期 ①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝； ②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝. (2)对称性求最值 ①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于； ②对称中心到对称轴距离的最小值等于； ③两个最大(小)值点之差的最小值等于T. 3.三角函数是奇、偶函数的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下： (1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (3)若为奇函数则有. 5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法 (1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x. (2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可． (3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x. 31．（多选）（江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试题）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 【答案】BC 【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D. 【详解】， 对于A：的最小正周期为，错误； 对于B：令可得， 所以的图象关于直线对称，正确； 对于C：令可得，且， 所以的图象关于点对称，正确； 对于D：因为，所以， 由在上单调递增，上单调递减可知， 在上单调递增，在单调递减，错误； 故选：BC. 32．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知是函数的一个零点. (1)求实数的值； (2)求单调递减区间. (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数的单调性求得的单调递减区间； （3）根据（2）问的化简得到，由，得到的范围，结合余弦函数的图象分析即可求得值域. 【详解】（1）因为 又,解得. （2）由（1）可得, 令得，所以的单调递减区间为，. （3），， ，即 故时，函数的值域为. 【题型10 三角恒等变换与平面向量】 满分技法 向量运算与三角函数交汇问题解题关键点： （1）根据向量的坐标运算，建立三角函数关系式； （2）对三角函数关系式，运用同角关系、两角和差、二倍角公式等进行恒等变形； （3）运用换元法转化为，借助的性质分析解决问题. 33.（多选）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】 A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 34.（2017·江苏·高考真题）已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值． （2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值． 【详解】解：（1）∵向量． 由， 可得：， 即， ∵x∈[0，π] ∴． （2）由 ∵x∈[0，π]， ∴ ∴当时，即x＝0时f（x）max＝3； 当，即时． 过关检测 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，即， 即角的终边经过点，所以，， 所以. 故选：D 2.（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，求得，再根据角的范围计算即可. 【详解】 是第四象限角，， ，. 故选：B． 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，从而得到函数最大值； 【详解】 所以函数的最大值为. 故选：C. 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 5．（多选）（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A．在上的最大值为 B．为偶函数 C．为奇函数 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】降幂公式以及辅助角公式求出的解析式，结合三角函数的图象与性质再逐一分析所给命题的真假. 【详解】 , 对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误； 对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确； 对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确； 故选：BD 6．（23-24高三上·江西萍乡·期中）求值： . 【答案】 【分析】将写成，然后用两角差的余弦公式拆开；将用积化和差公式转化一下，然后整体代入原式即可求解. 【详解】， ， 代入原式得， 故答案为：. 7．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 8．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 9．（23-24高一下·云南保山·期中）如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，． (1)若，求点B的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，由三角函数的定义求出可求出B的坐标； （2）由两角和与差的正弦公式可求出，即可求出的值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以点B的坐标为． （2）， 所以，又，解得可得， 所以点为单位圆与轴负半轴交点，故． 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，得到，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 所以. 又因为，所以， 因为，所以，所以， . （2）解：因为，所以， 由（1）可知，则，所以， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$