第12讲 椭圆（十大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第12讲 椭圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程. 4、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 5、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线． 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 考点一：椭圆的定义 【典例1-1】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【典例1-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【变式1-1】（2024·高二·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-2】（2024·高二·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 考点二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【变式2-1】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【变式2-2】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）求焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆标准方程 【变式2-3】（2024·高二·甘肃兰州·期末）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程． 考点三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【典例3-2】（2024·高二·上海·期中）已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【变式3-1】（2024·陕西·二模）已知椭圆的上顶点为，且经过点． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，判断的形状并给出证明． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点P为圆上任一点，D为点P在x轴上的射影，且动点M满足，当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？ 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知动圆经过定点，且与圆：内切.求动圆圆心的轨迹的方程； 【变式4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．求动点的轨迹的方程. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【变式4-4】（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，圆，点，过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹的方程. 考点五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【典例5-2】（多选题）（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选题）（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 【变式5-2】（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·四川雅安·开学考试）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 考点六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高三·重庆·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（     ）. A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·贵州遵义·期末）椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是 A． B．   C．   D． 【变式7-2】（2024·高三·浙江杭州·阶段练习）如图，过椭圆上的动点引圆的两条切线，其中分别为切点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的范围为____________. 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·广东阳江·高二校考期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______. 【典例8-2】（2024·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________. 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______． 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______. 考点九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·上海宝山·高二海市行知中学校考期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______. 【典例9-2】（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【变式9-1】（2024·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________. 【变式9-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知点 (1)若是直线上任一点，求的最小值 (2)若是圆上任一点，求的最小值 (3)若是椭圆上任一点，求的最小值 【变式9-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【变式9-4】（2024·高二·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 考点十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【典例10-2】（2024·高二·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 【变式10-1】（2024·高二·上海·期末）已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 . 【变式10-2】（2024·高二·天津·阶段练习）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【变式10-3】（2024·高二·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【变式10-4】（2024·高二·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 1．（2024·高二·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·竞赛）以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 4．（多选题）（2024·高三·新疆·阶段练习）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆上存在点P，使 5．（多选题）（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 6．（多选题）（2024·高二·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 7．（2024·高三·四川成都·期中）已知函数满足，点既是函数的对称中心，又是椭圆：上的点，若椭圆的长轴长不小于3，则的离心率的取值范围是 . 8．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 9．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 . 10．（2024·高二·四川资阳·期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 11．（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 12．（2024·高三·全国·专题练习）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由． 13．（2024·高二·江西·阶段练习）（1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 14．（2024·高二·广东清远·阶段练习）已知椭圆E的方程为，与是E的左右两个焦点，是E的下顶点． (1)设斜率为1的直线l过点，且与E交于M，N两点，求弦的长； (2)若E上一点P满足，求三角形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 椭圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程. 4、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 5、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线． 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 考点一：椭圆的定义 【典例1-1】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知：，则， 即，解得. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【解析】因为， 所以的周长为24． 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，则， 由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：， 由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为， 故选：D. 【变式1-3】（2024·高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 考点二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 【典例2-2】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【解析】由焦点坐标可知，为轴椭圆， 设所求椭圆的标准方程为 两焦点分别为，， 又椭圆过点，，又 ，， 所以椭圆的标准方程为. 【变式2-1】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 【变式2-2】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）求焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆标准方程 【解析】由题意焦距为，得， 又焦点在轴上，所以焦点为，， 所以， 所以，， 所以椭圆方程为. 【变式2-3】（2024·高二·甘肃兰州·期末）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程． 【解析】（1）当椭圆的焦点在轴上时， 设其方程为 ()，则． 又点C在椭圆上，得，解得， 所以椭圆E的方程为．                          （2）当椭圆的焦点在轴上时， 设其方程为 ()，则． 又点C在椭圆上，得，解得， 这与矛盾． 综上可知，椭圆的方程为． 考点三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【解析】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 【典例3-2】（2024·高二·上海·期中）已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）设，则结合已知条件得：，，, ， . 平方整理得：，即， 的轨迹为的方程为. （2）根据已知条件可设直线l：，将代入方程， 整理得：， 设，，则，解得， 所以有：，， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线l方程为或. 【变式3-1】（2024·陕西·二模）已知椭圆的上顶点为，且经过点． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，判断的形状并给出证明． 【解析】（1）由题意知，所以椭圆方程为，代入点，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）为直角三角形，证明如下： 由题意可知斜率一定存在，设为， 设直线，，， 联立，消去得．易知． 则 又因为，， ， 所以，故为直角三角形． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点P为圆上任一点，D为点P在x轴上的射影，且动点M满足，当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？ 【解析】点M的轨迹是椭圆．理由如下： 设点M的坐标为，点P的坐标为， 因为，所以， 所以， 因为点在圆上， 所以，将代入上式，得， 所以M的轨迹是椭圆． 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 【解析】连接，由中垂线性质，有， 其中，则， 所以， 故的轨迹为以两点为焦点，长轴长为4的椭圆， 其中，，故，，， 所以的方程为. 【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知动圆经过定点，且与圆：内切.求动圆圆心的轨迹的方程； 【解析】设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径； 因为动圆M与圆内切， 所以，， 则. 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 因此轨迹方程为. 【变式4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．求动点的轨迹的方程. 【解析】因为，所以， 设，则（是参数），消去得， 即曲线的方程为. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【解析】设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆． 【变式4-4】（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，圆，点，过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹的方程. 【解析】圆的圆心，半径为4， 如图，因为，于是，而，则， 于是，因此E的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4的椭圆的一部分， 设椭圆方程为，则，，， 从而椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，则， 所以点E的轨迹的方程为. 考点五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【典例5-2】（多选题）（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，又，所以，， 又，即， 所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD. 故选：BCD 【变式5-1】（多选题）（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 对于A，的最大值为，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B错误； 对于C，设点，则，而， 因此面积的最大值等于，C正确； 对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径， 圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确. 故选：ACD 【变式5-2】（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【解析】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·四川雅安·开学考试）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【解析】因为椭圆，所以， 且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率． 故选：AD 考点六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆得，焦点， 因为椭圆与有相同的焦点，所以椭圆的焦点，则， 又因为与直线相切，则椭圆与直线只有1个交点， 联立方程组得，， 则，化简得，，解得或（不合题意舍）， 则，又，所以， 故选：A． 【典例6-2】（2024·高三·重庆·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设F关于直线l：对称的点为P，右焦点为， 再设FP的中点为M，由于O也为的中点，故，， 焦点中，，，所以， ，由椭圆的定义可知， 解得. 故选：A． 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，设. 则， 又， 则. 则. 故选：C 【变式6-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 【变式6-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线经过原点，设，，. . 又，，两式相减，得. ，.离心率为. 故选：B. 考点七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以， 即，，，所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为． 故选：A． 【典例7-2】（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个， 故选：C 【变式7-1】（2024·高二·贵州遵义·期末）椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是 A． B．   C．   D． 【答案】B 【解析】设，则．又由于，所以， 即可得． 所以点P在以OA为直径的圆上．且椭圆与该圆有公共点． 由，代入，得．由于过点A所以有一个根为，另一个根设为，则由韦达定理可得．又因为．所以解得，而， 故选：B． 【变式7-2】（2024·高三·浙江杭州·阶段练习）如图，过椭圆上的动点引圆的两条切线，其中分别为切点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的范围为____________. 【答案】 【解析】由且、与圆相切，所以四边形为正方形， 所以，，又， ，，又，所以． 故答案为： 考点八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·广东阳江·高二校考期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______. 【答案】 【解析】由已知可得，，可得，， 所以，，解得. 故答案为：. 【典例8-2】（2024·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________. 【答案】/0.25 【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故， 又，所以. 故答案为： 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______． 【答案】/ 【解析】由题设，解得， 所以长轴长与短轴长的比值为. 故答案为： 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______. 【答案】 【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得， 又由椭圆的离心率为，即，可得， 所以，所以，即椭圆的短轴长为. 故答案为：. 考点九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·上海宝山·高二海市行知中学校考期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______. 【答案】 【解析】当为锐角时，则向量数量积大于零， 由椭圆方程可得，， 设， 则①， 又②， ①②联立化简得， 解得或，所以， 故答案为： 【典例9-2】（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【答案】 【解析】由椭圆标准方程可知， 又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以 所以 易知，当且仅当三点共线时等号成立； 又，所以； 即的范围为. 故答案为： 【变式9-1】（2024·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________. 【答案】[3，5] 【解析】椭圆方程 椭圆的焦点 由在圆上，设， • 的取值范围[3，5]. 故答案为：[3,5]. 【变式9-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知点 (1)若是直线上任一点，求的最小值 (2)若是圆上任一点，求的最小值 (3)若是椭圆上任一点，求的最小值 【解析】（1） 若在直线上； 若不在直线上，. （2）若在圆内，则的最小值； 若在圆上，则的最小值0； 若在圆外，则的最小值. （3）若在椭圆上，则的最小值为0； 若不在椭圆上，设， 则， 因为，所以开口向上，对称轴为， 当时，即时，时取最小值为； 当时，即时，取最小值， 所以. 【变式9-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 【变式9-4】（2024·高二·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】不妨设椭圆的右焦点， 因为点是椭圆上的动点， 所以， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 又， 则的最小值为． 故答案为：． 考点十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【解析】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 【典例10-2】（2024·高二·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】10 【解析】由椭圆定义得，， 由余弦定理得 ， 即，解得， 由三角形面积公式得， 即，解得， 故该椭圆的短轴长. 故答案为：10 【变式10-1】（2024·高二·上海·期末）已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 . 【答案】3 【解析】由椭圆的定义知，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：3 【变式10-2】（2024·高二·天津·阶段练习）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【解析】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 【变式10-3】（2024·高二·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【解析】   由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 【变式10-4】（2024·高二·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【解析】（1）因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； （2）设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 1．（2024·高二·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【解析】因为 所以为线段上的点. 故选：D. 2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,，,，,， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 3．（2024·高二·全国·竞赛）以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，， 四个不同的点， 由题意知，则由正六边形的性质可得，． 由椭圆定义得， 所以， 故选：C. 4．（多选题）（2024·高三·新疆·阶段练习）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆上存在点P，使 【答案】BD 【解析】椭圆的左顶点为，右顶点为，上顶点为，下顶点为， 因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为， 若为左、右顶点与上（下）顶点时，则，解得，符合题意； 若为上、下顶点与左（右）顶点时，则，解得，符合题意； 综上可得，故A错误； 则椭圆方程为，所以，则椭圆的离心率，故B正确； 椭圆的焦距为，故C错误， 因为椭圆C的右焦点为，所以，即， 所以在椭圆上存在点P，使，故D正确. 故选：BD 5．（多选题）（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 【答案】CD 【解析】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 6．（多选题）（2024·高二·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 【答案】AB 【解析】由椭圆，得，，， 椭圆的焦距为，故A正确； 又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确； ，故C错误； 当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误． 故选：AB． 7．（2024·高三·四川成都·期中）已知函数满足，点既是函数的对称中心，又是椭圆：上的点，若椭圆的长轴长不小于3，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数满足， 所以函数关于点对称，即， 又因为椭圆经过点，则，即， 所以， 所以，又因为，所以，解得， 又，所以，即. 故答案为：. 8．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设椭圆E的上顶点为Q， 则，则， 又因为，则， 即E的离心率的取值范围是． 故答案为：. 9．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题可得，， 设为坐标原点，则, 所以 ,即， 因为，所以， 若存在四个不同的点满足，又， 所以，即，所以， 所以，所以， 故答案为: . 10．（2024·高二·四川资阳·期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，故可设其标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且经过点， 所以由椭圆的定义可知，， 则，故， 所以椭圆的标准方程为. 11．（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 12．（2024·高三·全国·专题练习）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由． 【解析】设动圆的圆心为Q（x，y），半径为R， 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为9， 因为，所以圆在圆内， 因为动圆Q与圆外切，与圆内切， 所以动圆Q在圆内，，， 所以， 所以圆心Q的轨迹为以，为焦点，焦距为6，长轴为10的椭圆． 13．（2024·高二·江西·阶段练习）（1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 【解析】（1）设点的坐标为， 由题意可得，两边平方得， 整理得，所以点的轨迹方程为. （2）依题意，设，则， 因为，则， 则，可得，解得，即. 因为点A在圆上，则，即， 所以点的轨迹方程是，点的轨迹是椭圆. 14．（2024·高二·广东清远·阶段练习）已知椭圆E的方程为，与是E的左右两个焦点，是E的下顶点． (1)设斜率为1的直线l过点，且与E交于M，N两点，求弦的长； (2)若E上一点P满足，求三角形的面积． 【解析】（1）由椭圆方程可得， 所以， 故直线的方程为， 联立，可得， 设，则， 所以， （2）由以及， 得， 故由余弦定理可得， 由于， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$