第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 考点一：直线与椭圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式1-2】（2024·高二·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 考点二：椭圆的弦 【典例2-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高二·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】令，得，解得， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·高二·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解析】因为椭圆，可得，所以， 所以椭圆的右焦点的坐标为， 将，代入椭圆的方程，求得，所以. 故选：C. 【变式2-2】（2024·高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【解析】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于. 故选：B 【变式2-3】（2024·高三·全国·对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 【变式2-4】（2024·高二·河南平顶山·期中）直线被椭圆截得的线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得或， 所以，直线交椭圆于点、， 所以，. 故选：B. 考点三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【解析】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2） 由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 【典例3-2】（2024·高二·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【解析】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 【变式3-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 【变式3-2】（2024·高二·贵州黔西·开学考试）已知椭圆，短轴长为，离心率． (1)求椭圆的方程、椭圆的长轴长、焦距？ (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上点横坐标为，求面积． 【解析】（1）由题意知：，解得， 所以椭圆的方程为：，长轴长：，焦距：. （2）由题意知，, 又,解得：， 所以 【变式3-3】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 【解析】（1），， 椭圆的方程可化为，又点在椭圆上，， 椭圆的标准方程为. （2）由题意知直线不过原点且斜率存在， 设直线的方程为，，，， 联立，整理得， 则， ，， 又直线的斜率为，，解得. 即直线的斜率为. 考点四：直线与双曲线的位置关系 【典例4-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意，过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条， 根据双曲线的几何性质，可得在双曲线上，可得，解得， 又由双曲线的实半轴长，则半焦距， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 【典例4-2】（2024·高二·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立可得， 当时，即时，此时直线和双曲线的公共点只有1个，时，；时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又因为不是的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知直线和双曲线的公共点只有1个时，直线有4条. 故选：C. 考点五：双曲线的弦 【典例5-1】（2024·高二·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【典例5-2】（2024·高二·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知， 可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 【变式5-1】（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．由，得，， ∴. 故选：C． 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知离心率为的双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，直线：与双曲线交于、两点，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由离心率得到双曲线的方程可化为，再求出,由即得解.由双曲线的离心率为，可得，故， 故双曲线的方程可化为， 联立可得和， 故， 而， 由可得， 则， 故选：B. 考点六：双曲线的综合问题 【典例6-1】（2024·高二·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【解析】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 【典例6-2】（2024·高二·江西·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 【解析】（1）设双曲线的方程为, 代入,,得,解得, 所以双曲线的方程为． （2）由,得, 设,,,, 则中点坐标为,, 由韦达定理可得, 所以, 所以中点坐标为, 因为点在圆上， 所以,解得． 【变式6-1】（2024·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 【变式6-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【解析】（1） 因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 考点七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 【典例7-2】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【解析】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 考点八：抛物线的弦 【典例8-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】联立，消去可得， 设，， 所以， 又因为抛物线 的焦点在直线上， . 故选：B. 【典例8-2】（2024·高二·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题可知，则直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 解得，或，因为点在第一象限，所以， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（2024·高二·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意，所以. 故选：C. 【变式8-2】（2024·高二·陕西西安·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由题意抛物线的准线为， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果， 所以. 故答案为：D. 【变式8-3】（2024·高二·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 考点九：抛物线的综合问题 【典例9-1】（2024·高二·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【解析】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. 得，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 由，得，，. ， ，即直线关于x轴对称， 故. 【典例9-2】（2024·高三·全国·专题练习）离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合． (1)求抛物线的方程； (2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2， 故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点. ∴抛物线的方程为； （2）设，，，故直线的方程为，即， 所以，同理可得：， ∴，是方程的两个不同的根，则， ，由恒在以为直径的圆内， ，即． 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【解析】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 【变式9-2】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【解析】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 【变式9-3】（2024·高二·广东清远·期末）已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 【解析】（1）由O为坐标原点,且，得直线的方程为， 代入圆的方程，得， 解得或，则， 将点P的坐标代入的方程，得，则， 故C1的方程为 （2）由（1）可知，，， 因为直线不与坐标轴平行，所以直线斜率存在且不为， 设直线l的方程为， 联立， 整理得，. 设，则， 所以点M的横坐标为, 所以，则， 所以，故T是定值,且定值为 1．（2024·高二·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 2．（2024·高二·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解析】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 3．（2024·高三·全国·专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得， 又. 故选：D 4．（2024·高二·全国·单元测试）已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线中被椭圆E截得的弦长与被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，取时，：. 对于A：当时，， 与关于轴对称，截得的弦长相等； 对于B：当时，， 与关于轴对称，截得的弦长相等； 对于C：当时，， 与关于原点对称，截得的弦长相等； 对于D：由于直线的定点为，则，故在椭圆内， 则直线与椭圆恒有两个交点， 设直线与的交点为， 则由，消化简得：， 由韦达定理得：，， 由弦长公式得：， 所以， 整理得：； 由于直线的定点为，则，故在椭圆上， 当时，直线与椭圆相切，不满足题意； 易得当时，直线与椭圆恒有两个交点， 设直线与的交点为， 则由，消化简得：， 由韦达定理得：，， 由弦长公式得：， 所以， 整理得：， 因为，所以， 即与直线：被椭圆E截得的弦长不可能相等. 故选：D. 5．（2024·高二·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 6．（2024·高二·湖南株洲·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】双曲线，过的直线垂直于轴时， ； 双曲线两个顶点的距离为， 满足的直线有条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 故选：C 7．（2024·高二·江苏·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】双曲线，则，所以右焦点， 根据题意易得过的直线斜率存在，设为， 联立， 化简得， 所以， 因为中点横坐标为4，所以， 解得，所以， 则， 则． 故选D． 8．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期中）经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（        ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【解析】若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为，，此时有两条直线符合条件； 若与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；，此时有条直线符合条件； 综上可得，共有条直线符合条件，故选：B． 9．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【解析】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 10．（2024·高二·甘肃兰州·期末）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 故选：C 11．（2024·高二·江西抚州·期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设，由对称性，可知，故，代入中，解得， 故抛物线：， 易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点； 联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点， 故选：D 12．（2024·高二·广东广州·期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则（  ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】直线的倾斜角为，直线的斜率为1， 抛物线，焦点， 直线的方程为， 设， 联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，， 由韦达定理可得，，故. 故选：D. 13．（2024·高二·福建龙岩·期中）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示， 由抛物线的焦点为，可知， 所以抛物线方程为， 又是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点， 所以， 又，， 所以， 所以， 所以直线的斜率， 则直线的方程为， 联立直线与抛物线，得， 则， 所以， 故选：B. 14．（2024·高二·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得， ， 设，，则， 因为面积是面积的两倍，所以， 则，解得，则， 则，解得， 故， 则. 故选：B 15．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 【解析】（1）， ∴，又，∴， 故椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立， ∴，∴ 则，直线的斜率， 直线的方程为， 令，有 即 ， ∴直线过定点 16．（2024·高二·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【解析】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 17．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 18．（2024·高二·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【解析】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 19．（2024·高二·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【解析】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 20．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为F，直线与轴的交点为A，与C的交点为P，且． (1)求C的方程； (2)延长交抛物线于Q，O为坐标原点，求的面积． 【解析】（1）设，代入由中得， 所以，， 由题设得，解得（舍去）或． 所以的方程为； （2）由（1）知,, 所以直线方程为，即， 联立， 则,故， 故， 原点到直线的距离为， 故. 21．（2024·高二·陕西铜川·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为． (1)求抛物线C的方程； (2)求实数m的值． 【解析】（1）抛物线C的焦点为， ，即． ∴抛物线C的方程为． （2）由消去得，此时， ． ． 点M坐标为． ，解得或． 22．（2024·高三·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 【解析】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； （2）设过点的直线， 联立，得，， 则， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 考点一：直线与椭圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【典例1-2】（2024·高二·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-1】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-2】（2024·高二·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 考点二：椭圆的弦 【典例2-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】（2024·高二·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 【变式2-2】（2024·高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【变式2-3】（2024·高三·全国·对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-4】（2024·高二·河南平顶山·期中）直线被椭圆截得的线段长为（    ） A． B． C． D． 考点三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【典例3-2】（2024·高二·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【变式3-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 【变式3-2】（2024·高二·贵州黔西·开学考试）已知椭圆，短轴长为，离心率． (1)求椭圆的方程、椭圆的长轴长、焦距？ (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上点横坐标为，求面积． 【变式3-3】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 考点四：直线与双曲线的位置关系 【典例4-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 【典例4-2】（2024·高二·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 考点五：双曲线的弦 【典例5-1】（2024·高二·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知离心率为的双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，直线：与双曲线交于、两点，若，则=（    ） A． B． C． D． 考点六：双曲线的综合问题 【典例6-1】（2024·高二·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【典例6-2】（2024·高二·江西·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 【变式6-1】（2024·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【变式6-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 考点七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【典例7-2】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 考点八：抛物线的弦 【典例8-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例8-2】（2024·高二·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【变式8-1】（2024·高二·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（2024·高二·陕西西安·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【变式8-3】（2024·高二·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 考点九：抛物线的综合问题 【典例9-1】（2024·高二·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【典例9-2】（2024·高三·全国·专题练习）离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合． (1)求抛物线的方程； (2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【变式9-2】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【变式9-3】（2024·高二·广东清远·期末）已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 1．（2024·高二·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 3．（2024·高三·全国·专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·单元测试）已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线中被椭圆E截得的弦长与被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 6．（2024·高二·湖南株洲·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 A．条 B．条 C．条 D．条 7．（2024·高二·江苏·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 8．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期中）经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（        ） A．条 B．条 C．条 D．条 9．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 10．（2024·高二·甘肃兰州·期末）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 11．（2024·高二·江西抚州·期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·高二·广东广州·期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则（  ） A． B．4 C．6 D．8 13．（2024·高二·福建龙岩·期中）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高二·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 15．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 16．（2024·高二·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 17．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 18．（2024·高二·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 19．（2024·高二·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 20．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为F，直线与轴的交点为A，与C的交点为P，且． (1)求C的方程； (2)延长交抛物线于Q，O为坐标原点，求的面积． 21．（2024·高二·陕西铜川·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为． (1)求抛物线C的方程； (2)求实数m的值． 22．（2024·高三·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$