2.6 二次根式的加减（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.6二次根式的加减 【考点1：二次根式的加减】 【考点2：二次根式的混合运算】 【考点3：二次根式的化简求值】 【考点4： 二次根式的实际应用】 【考点5： 分母有理化】 知识点1：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【考点1：二次根式的加减】 【典例1】（2023秋•九台区校级期中）计算：． 【变式1-1】（2023秋•南安市期中）计算：． 【变式1-2】（2023秋•朝阳区期中）计算：． 【变式1-3】（2023春•武平县期末）计算：． 知识点2：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点2：二次根式的混合运算】 【典例2】（2022秋•玉门市期末）计算： （1）； （2）． 【变式2-1】（2022秋•贺兰县校级期末）化简： （1）； （2）． 【变式2-2】（2023春•宣化区期中）计算： （1）； （2）． 【变式2-3】（2023秋•南召县期中）计算： （1）； （2）． 【考点3：二次根式的化简求值】 【典例3】（2022秋•新田县期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+3xy+y2． 【变式3-1】（2023春•惠阳区期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2． 【变式3-2】（2023秋•仁寿县期中）已知：，．求值： （1）x+y； （2）x2y+xy2． 【变式3-3】（2022秋•祁阳县期末）已知，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣2ab+b2． 【考点4： 二次根式的实际应用】 【典例4】（2023秋•兴文县期中）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 【变式4-1】（2023秋•陈仓区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【变式4-2】（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，） （1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 【变式4-3】（2023春•巴彦县期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 知识点3：分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【考点5： 分母有理化】 【典例5】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 【变式5-1】（2023春•张店区期中）观察下列等式： ①＝＝﹣1； ②＝＝﹣； ③＝＝﹣； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　 　； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 【变式5-2】（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）＝＝； （2）＝＝＝3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：﹣． 解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0． 由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝． 即﹣＝． 请你解决下列问题： （1）2﹣3的有理化因式是 　 　； （2）化简：++； （3）化简：﹣． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 6．的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 7．计算 ． 8．计算的结果是 ． 9．已知，则代数式的值为 ． 10．若，则 ． 11．若，则 ． 12．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为 ． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2) 15．计算： (1)； (2)． 16．已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 17．【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6二次根式的加减 【考点1：二次根式的加减】 【考点2：二次根式的混合运算】 【考点3：二次根式的化简求值】 【考点4： 二次根式的实际应用】 【考点5： 分母有理化】 知识点1：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【考点1：二次根式的加减】 【典例1】（2023秋•九台区校级期中）计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 【变式1-1】（2023秋•南安市期中）计算：． 【答案】+4． 【解答】解：原式＝3﹣2+4＝+4． 【变式1-2】（2023秋•朝阳区期中）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式＝2﹣3＝． 【变式1-3】（2023春•武平县期末）计算：． 【答案】﹣72． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ 知识点2：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点2：二次根式的混合运算】 【典例2】（2022秋•玉门市期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝． （2）原式＝2+3+﹣5 ＝． 【变式2-1】（2022秋•贺兰县校级期末）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）8． 【解答】解：（1） ＝9﹣7+2﹣2 ＝2； （2） ＝6﹣+3 ＝8． 【变式2-2】（2023春•宣化区期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）﹣2+2． 【解答】解：（1） ＝4+ ＝7； （2） ＝18﹣12﹣（5﹣2+3） ＝18﹣12﹣8+2 ＝﹣2+2． 【变式2-3】（2023秋•南召县期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4+； （2）10﹣6． 【解答】解：（1）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （2）原式＝3﹣4+9﹣6+2 ＝10﹣6 【考点3：二次根式的化简求值】 【典例3】（2022秋•新田县期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+3xy+y2． 【答案】（1）；（2）24． 【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y） ＝ ＝ ＝； （2）原式＝（x+y）2+xy ＝ ＝ ＝20+4 ＝24． 【变式3-1】（2023春•惠阳区期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2． 【答案】（1）； （2）15． 【解答】解：（1）由题意得： ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ＝4×2 ＝8； （2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy ＝ ＝ ＝16﹣1 ＝15． 【变式3-2】（2023秋•仁寿县期中）已知：，．求值： （1）x+y； （2）x2y+xy2． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）； （2）由（1）知，，， ∴， ∴． 【变式3-3】（2022秋•祁阳县期末）已知，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣2ab+b2． 【答案】（1）24； （2）32． 【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2， ∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24； （2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32． 【考点4： 二次根式的实际应用】 【典例4】（2023秋•兴文县期中）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　3　dm，　4　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　2　个这样的木条． 【答案】（1）3，4； （2）6dm2； （3）2． 【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm， 故答案为：3，4； （2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm， ∴剩余木料的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm）， ∵3，， ∴能截出2×1＝2块这样的木条． 故答案为：2． 【变式4-1】（2023秋•陈仓区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】（1）10；（2）． 【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7， ∴p＝＝10． ∴△ABC的面积S＝＝10； （2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD， ∴×8×AD＝10， ∴AD＝． 【变式4-2】（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，） （1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵小明家住20层，每层的高度近似为3米， ∴h＝20×3＝60（米）， ∴t＝＝＝（秒）， ∴该物品落地的时间为秒； （2）该玩具最低的下落高度为h＝＝64（米）， ∴t＝＝＝≈＝3.5776（秒）． ∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人． 【变式4-3】（2023春•巴彦县期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1）长方形ABCD的周长是； （2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝＝＝． 答：长方形ABCD的周长是； （2）蔬菜地的面积＝ ＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）． 39×8×15＝4680（元）． 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 知识点3：分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【考点5： 分母有理化】 【典例5】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9． 【变式5-1】（2023春•张店区期中）观察下列等式： ①＝＝﹣1； ②＝＝﹣； ③＝＝﹣； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　＝﹣　； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第n个等式为＝﹣； （2）原式＝＝2﹣； （3）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝12﹣1． 故答案为：（1）＝﹣ 【变式5-2】（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）＝＝； （2）＝＝＝3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：﹣． 解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0． 由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝． 即﹣＝． 请你解决下列问题： （1）2﹣3的有理化因式是 　2+3　； （2）化简：++； （3）化简：﹣． 【答案】（1）2+3； （2）+； （3）2． 【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3， 故答案为：2+3； （2）原式＝++ ＝++2+ ＝+； （3）原式＝﹣ ＝﹣ ＝+1﹣+1 ＝2． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的性质和加法和除法运算法则，熟练掌握二次根式的性质和加法和除法运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简、二次根式的加法和除法运算法则计算后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，根据题意得，然后计算，最后对应位置数字相等即可得出，代入求解即可，熟练掌握二次根式的化简及加减运算是解题关键 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C 3．已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 4．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则和无理数估算的方法是解题的关键． 先计算出原式，再估算出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5．的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了倒数，二次根式的乘法等知识两个数的积为1，则两个数互为倒数，根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选A． 6．的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案． 【详解】解： 原式 故选：C． 7．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同时乘，计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【详解】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：，， ． 故答案为： 12．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算是解题的关键． 先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积． 【详解】解：由题意得两个正方形的边长为，， ∴剩余木板的面积为， 故答案为：15． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查二根式加减混合运算．熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）根据完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据二次根式的乘法和除法运算，然后再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 16．已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：， ； （2）解：， ． 17．【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． （1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用分母有理化化简a，b，利用提公因式法把原式变形，代入算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， ， ； （3） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$