2.5 二次根式的乘除（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.5二次根式的乘除 【考点1：二次根式的乘法运算】 【考点2：二次根式的除法运算】 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【考点1：二次根式的乘法运算】 【典例1】计算下列各题． (1)； (2)； (3) (4)． 【变式1-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； 【变式1-4】计算： (1)； (2)； 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【考点2：二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)； (2) (3)． 【变式2-1】计算： (1) (2) 【变式2-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【变式2-4】计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点4： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 【典例5】若最简二次根式和可以合并，则 ． 【变式5-1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【变式5-3】若最简二次根式和能合并，则 ． 1．（2024春•五华区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•中山市期中）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•金东区期末）化简的结果是（　　） A．100 B．60 C．40 D．20 4．（2024•裕华区校级开学）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•郧西县期中）若成立，则（　　） A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6 6．（2023秋•龙华区校级期中）的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 7．（2023秋•禅城区期末）计算：（+）（﹣）＝　　． 8．（2024春•中山市期中）计算的结果是 　　． 9．（2024春•杨浦区期中）计算：． 10．（2024春•武昌区校级期中）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值： （1）x2﹣2xy+y2 （2）x2﹣y2． 11．（2023秋•闵行区期中）计算：（x＞0，y＞0）． 12．（2023春•乾安县期末）计算：×+． 13．（2024春•杨浦区期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1… （1）观察上面的规律，计算下列式子的值： （+++…+）（）． （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 14．（2022秋•永州期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把7+4化成一个完全平方式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5二次根式的乘除 【考点1：二次根式的乘法运算】 【考点2：二次根式的除法运算】 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【考点1：二次根式的乘法运算】 【典例1】计算下列各题． (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)15 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，按照二次根式乘法法则计算即可． （1）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （2）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （3）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． （4）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式1-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)10 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． （2）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)14 (2)8 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ． （2） ． 【变式1-4】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【考点2：二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式2-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 【变式2-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式2-4】计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式3-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点4： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义及判定，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式”即可求解，掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，原式不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，原式不是最简二次根式，不符合题意； D、，原式不是最简二次根式，不符合题意； 故选： B． 【变式4-1】下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键． 化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可． 【详解】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意； C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 【典例5】若最简二次根式和可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义理解，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式和可以合并，得出和是同类二次根式，则，求解得出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式5-2】已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式5-3】若最简二次根式和能合并，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，解一元一次方程，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键． 由题意得，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 1．（2024春•五华区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．，所以A不符合题意； B．是最简二次根式，所以B符合题意； C．，所以C不符合题意； D．，所以D不符合题意； 故选：B． 2．（2024春•中山市期中）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．×＝，故此选项符合题意； B．（）2＝2，故此选项不合题意； C．＝4，故此选项不合题意； D．÷＝，故此选项不合题意； 故选：A． 3．（2023秋•金东区期末）化简的结果是（　　） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【解答】解： ＝× ＝8×5 ＝40． 故选：C． 4．（2024•裕华区校级开学）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：＝＝． 故选：B． 5．（2024春•郧西县期中）若成立，则（　　） A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6 【答案】D 【解答】解：要使成立， 则， 解得：0≤x＜6，故D正确． 故选：D． 6．（2023秋•龙华区校级期中）的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【答案】A 【解答】解：， 故选：A． 7．（2023秋•禅城区期末）计算：（+）（﹣）＝　1　． 【答案】1． 【解答】原式＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 8．（2024春•中山市期中）计算的结果是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：＝＝＝2． 故答案为：2． 9．（2024春•杨浦区期中）计算：． 【答案】1． 【解答】解：原式＝××× ＝ ＝ ＝1． 10．（2024春•武昌区校级期中）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值： （1）x2﹣2xy+y2 （2）x2﹣y2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x＝+2，y＝﹣2， ∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（+2﹣+2）2＝16； （2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）＝2×4＝8． 11．（2023秋•闵行区期中）计算：（x＞0，y＞0）． 【答案】． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 12．（2023春•乾安县期末）计算：×+． 【答案】+3． 【解答】解：原式＝+3﹣2 ＝+3． 故答案为：+3． 13．（2024春•杨浦区期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1… （1）观察上面的规律，计算下列式子的值： （+++…+）（）． （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得＝﹣， 原式＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）•（+1） ＝（﹣1）•（+1） ＝2013﹣1 ＝2012； （2）＝+，＝+， ∵+＜+， ∴＜， ∴﹣＞﹣． 14．（2022秋•永州期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把7+4化成一个完全平方式． 【答案】（1）a＝m2+3n2，b＝2mn； （2）7+4＝（2+）2． 【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2， ∴a+b＝m2+2mn+3n2， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn； （2）7+4＝4+4+3＝（2+）2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$