2.4 二次根式的概念和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.4 二次根式的概念和性质 【考点1：二次根式的概念】 【考点2：二次根式有意义的条件】 【考点3：求二次根式的值] 【考点4；利用二次根式的性质化简】 【考点5：求二次根式中的参数] 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【考点1：二次根式的概念】 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【变式1-2】下列给出的式子是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-3】对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 【考点2：二次根式有意义的条件】 【典例2】若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式2-1】式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列实数的取值能使代数式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点3：求二次根式的值】 【典例3】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-1】若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】当时，二次根式的值为（    ） A．2 B． C． D． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【考点4；利用二次根式的性质化简】 【典例4】实数在数轴上的位置如图所示，化简： （    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．b D． 【变式4-2】实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 【考点5：求二次根式中的参数] 【典例5】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【变式5-2】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【变式5-3】设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．（2024春•兴宁区校级期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A．1 B． C． D．﹣3 2．（2024•无锡模拟）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 3．（2023秋•普陀区校级期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•闽清县期中）的值是（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．2 D．4 5．（2024春•宁乡市期中）若2＜x＜3，那么+的值为（　　） A．1 B．2x﹣5 C．1或2x﹣5 D．﹣1 6．（2024春•阳谷县期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 7．（2024春•凉州区期中）已知，则xy的值为（　　） A．3 B．8 C．24 D．11 8．（2024春•横州市期中）化简的结果为 　　． 9．（2024春•重庆期中）计算的结果是 　　． 10．（2024春•路桥区期中）数a在数轴上的位置如图所示，则＝　　． 11．（2024春•闽侯县期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　　． 12．（2024春•金山区期中）＝　﹣3　． 13．（2024春•河北区期中）当1＜a＜2时，代数式的值是 　　． 14．（2024•辽宁一模）计算：＝　　． 15．（2024春•慈溪市期中）化简：＝　　． 16．（2024春•克州期中）若实数x，y满足y＝++2，求的值． 17.（2024春•海珠区校级期中）已知；实数a，b在数轴上的位置如图所示． 化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 二次根式的概念和性质 【考点1：二次根式的概念】 【考点2：二次根式有意义的条件】 【考点3：求二次根式的值] 【考点4；利用二次根式的性质化简】 【考点5：求二次根式中的参数] 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【考点1：二次根式的概念】 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意； B、不是二次根式，故B不符合题意； C、是二次根式，故C符合题意； D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【变式1-1】下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 【变式1-2】下列给出的式子是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是二次根式，B正确，故符合要求； ，2，，不是二次根式，A、C、D错误，故不符合要求； 故选：B． 【变式1-3】对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念求解即可． 【详解】①：不是二次根式， ②：是二次根式． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式， 【考点2：二次根式有意义的条件】 【典例2】若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可． 【详解】解：依题意得：且， 解得且． 故选C． 【变式2-1】式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零，列式计算即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【变式2-2】下列实数的取值能使代数式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 ，根据这些条件列出关于x 的不等式组，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 根据选项，只能取 故选：B． 【变式2-3】式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， 故选：． 【考点3：求二次根式的值】 【典例3】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式3-1】若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【变式3-2】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 【变式3-3】当时，二次根式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【考点4；利用二次根式的性质化简】 【典例4】实数在数轴上的位置如图所示，化简： （    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ，， ． 故选：D． 【变式4-1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．b D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出，，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-2】实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简； 先根据数轴得出，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-3】实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 【考点5：求二次根式中的参数] 【典例5】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式5-1】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 【变式5-2】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 【变式5-3】设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，进而可求； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． 1．（2024春•兴宁区校级期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A．1 B． C． D．﹣3 【答案】C 【解答】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、﹣3不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（2024•无锡模拟）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 【答案】B 【解答】解：由题意得，a﹣3≥0， 解得a≥3． 故选：B． 3．（2023秋•普陀区校级期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； 不能化简，故D不符合题意； 故选：C． 4．（2024春•闽清县期中）的值是（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：， 故选：C． 5．（2024春•宁乡市期中）若2＜x＜3，那么+的值为（　　） A．1 B．2x﹣5 C．1或2x﹣5 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵2＜x＜3， ∴2﹣x＜0，3﹣x＞0， ∴+＝x﹣2+3﹣x＝1． 故选：A． 6．（2024春•阳谷县期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：∵a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a＜0，a+b＜0， ∴|a|+ ＝|a|+|a+b| ＝﹣a﹣（a+b） ＝﹣2a﹣b． 故选：A． 7．（2024春•凉州区期中）已知，则xy的值为（　　） A．3 B．8 C．24 D．11 【答案】C 【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， ∴y＝8， ∴xy＝3×8＝24， 故选：C． 8．（2024春•横州市期中）化简的结果为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：＝＝4． 故答案为：4． 9．（2024春•重庆期中）计算的结果是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：（）2＝2， 故答案为：2． 10．（2024春•路桥区期中）数a在数轴上的位置如图所示，则＝　a﹣1　． 【答案】a﹣1． 【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0， ∴， 故答案为：a﹣1． 11．（2024春•闽侯县期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　35　． 【答案】35． 【解答】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35． 12．（2024春•金山区期中）＝　﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵3﹣＜0， ∴＝|3﹣|＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．（2024春•河北区期中）当1＜a＜2时，代数式的值是 　1　． 【答案】1． 【解答】解： ＝|a﹣2|+|a﹣1|． 当1＜a＜2时， a﹣2＜0，a﹣1＞0． ∴原式＝2﹣a+a﹣1 ＝1． 故答案为：1． 14．（2024•辽宁一模）计算：＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝＝2． 故答案为：2． 15．（2024春•慈溪市期中）化简：＝　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵要使有意义，必须3﹣a≥0， ∴a≤3， ∴﹣（）2 ＝﹣（3﹣a） ＝3﹣a﹣3+a ＝0． 故答案为：0． 16．（2024春•克州期中）若实数x，y满足y＝++2，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，得1﹣x≥0，x﹣1≥0， 解得x＝1， 当x＝1时，y＝2． 当x＝1，y＝2时，＝． 17.（2024春•海珠区校级期中）已知；实数a，b在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】﹣2． 【解答】解：由图可知，b﹣1＞0，a+b＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝2（b﹣1）﹣（a+b）﹣（b﹣a） ＝2b﹣2﹣a﹣b﹣b+a ＝﹣2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$