2.2 立方根（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.2 立方根 【考点1： 立方根的概念】 【考点2： 立方根的性质】 【考点3： 立方根的实际应用】 【考点4： 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5： 立方根的小数点移动的规律】 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【考点1： 立方根的概念】 【典例1】（2023秋•秦安县期末）的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 【变式1-1】（2023秋•榆树市期末）﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【变式1-2】（2023秋•新民市期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【变式1-3】（2023秋•青岛期中）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．15 C．25 D．5 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【考点2： 立方根的性质】 【典例2】（2022秋•东海县期末）计算＝　　． 【变式2-1】（2023秋•永安市期中）计算：＝　　． 【变式2-2】（2023•雁塔区校级开学）若，则k的值为 　　． 【变式2-3】（2023春•浦东新区校级期末）如果，那么x＝　　 ． 【考点3： 立方根的实际应用】 【典例3】（2023春•仓山区校级期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？ 【变式3-1】（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）． 【变式3-2】（2022春•山阳县期末）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【变式3-3】（2022春•嘉祥县月考）如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 【考点4： 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例4】（2023秋•哈尔滨期末）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【变式4-1】（2023秋•兰州期末）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的立方根． 【变式4-2】（2023春•寻乌县期末）正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 【变式4-3】（2022秋•让胡路区校级期末）已知2a﹣7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b﹣11的立方根是﹣2． （1）求a、b的值． （2）求a+b的平方根． 知识点3： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点5： 立方根的小数点移动的规律】 【典例5】（2023春•武威期末）已知＝4.098，＝1.902，则＝　 ． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则≈　　 ． ②若，则x≈　 　． 【变式5-2】（2023•凉州区开学）已知＝4.098，＝1.902，则＝　 　． 【变式5-3】（2023春•吉林期中）如果1.687，3.634，那么 　 　． 1．如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 2．计算：（    ） A．1 B． C． D．不存在 3．8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 4．已知是最大的负整数，是8的立方根，则代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．3 5．的绝对值是（    ） A．8 B．2 C． D． 6．若，则的值为（    ） A． B． C．25 D．5 7．的平方根是 ． 8．的立方根是 ；的立方根是 ． 9．若，，则 ． 10．的倒数是 ． 11．已知：，那么的立方根等于 ． 12．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是 ． 13．求下列各式中的值： (1)； (2). 14．计算： (1)； (2)． 15．解方程． (1) (2) 16．求x的值： (1)； (2)． 17．已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 18．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 19．要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 立方根 【考点1： 立方根的概念】 【考点2： 立方根的性质】 【考点3： 立方根的实际应用】 【考点4： 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5： 立方根的小数点移动的规律】 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【考点1： 立方根的概念】 【典例1】（2023秋•秦安县期末）的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 【答案】A 【解答】解：， ， ∴的立方根是2． 故选：A． 【变式1-1】（2023秋•榆树市期末）﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【答案】C 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故选：C． 【变式1-2】（2023秋•新民市期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：由题意得，x为负数， 又∵|x|＝64， ∴x＝﹣64， 故可得：x的立方根为：﹣4． 故选：D． 【变式1-3】（2023秋•青岛期中）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．15 C．25 D．5 【答案】A 【解答】解：由题意得， x﹣5＝0，y+25＝0， 解得x＝5，y＝﹣25， ∴ ＝ ＝ ＝﹣5， 故选：A． 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【考点2： 立方根的性质】 【典例2】（2022秋•东海县期末）计算＝　5　． 【答案】5． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：5． 【变式2-1】（2023秋•永安市期中）计算：＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：＝＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式2-2】（2023•雁塔区校级开学）若，则k的值为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：∵＝5﹣k＝k﹣5， ∴k＝5， 故答案为：5． 【变式2-3】（2023春•浦东新区校级期末）如果，那么x＝　±8　． 【答案】±8． 【解答】解：∵， ∴x2＝43＝64， ∴x＝±8． 故答案为：±8． 【考点3： 立方根的实际应用】 【典例3】（2023春•仓山区校级期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm， 依题意得 1000﹣8x3＝488， ∴8x3＝512， ∴x＝4， 答：截得的每个小正方体的棱长是4cm． 【变式3-1】（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）． 【答案】6cm． 【解答】解：设正方体的棱长为x cm，由题意得， π×62×2＝x3， 解得x＝6， 答：正方体的棱长约为6cm． 【变式3-2】（2022春•山阳县期末）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【答案】6cm． 【解答】解：设正方体容器的棱长为xcm，得， x3＝8×9×3 x3＝216 ∴x＝6 答：正方体容器的棱长为6cm． 【变式3-3】（2022春•嘉祥县月考）如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 【答案】18cm． 【解答】解：设这个正方体钢锭的棱长为x cm． 由题意得，． ∴x3＝2000π． ∴x＝≈≈18（cm）． ∴这个正方体钢锭的棱长为18cm． 【考点4： 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例4】（2023秋•哈尔滨期末）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【答案】（1）9； （2）﹣1． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7， ∴a+1+2a﹣7＝0， 解得：a＝2， 则a+1＝2+1＝3， 那么x＝32＝9； （2）∵b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，x+7＝9+7＝16，a+25＝2+25＝27， ∴b＝4，c＝3， 则c﹣b＝3﹣4＝﹣1． 【变式4-1】（2023秋•兰州期末）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的立方根． 【答案】（1）a＝4，b＝2； （2）a+2b的立方根是2． 【解答】解：（1）∵2a+1的一个平方根是3， ∴2a+1＝9， 解得a＝4； ∵1﹣b的立方根为﹣1， ∴b﹣1＝1， 解得b＝2； （2）∵a＝4，b＝2， ∴a+2b＝4+2×2＝8， ∴a+2b的立方根是2． 【变式4-2】（2023春•寻乌县期末）正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根是3﹣a和2a+7， ∴3﹣a+（2a+7）＝0， 解得：a＝﹣10 （2）∵a＝﹣10， ∴3﹣a＝13，2a+7＝﹣13． ∴这个正数的两个平方根是±13， ∴这个正数是169． 44﹣x＝44﹣169＝﹣125， ﹣125的立方根是﹣5． 【变式4-3】（2022秋•让胡路区校级期末）已知2a﹣7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b﹣11的立方根是﹣2． （1）求a、b的值． （2）求a+b的平方根． 【答案】（1）a＝1，b＝3； （2）±2． 【解答】解：（1）由题意得：2a﹣7+a+4＝0， 解得：a＝1， ∵b﹣11的立方根是﹣2， ∴bb﹣11＝﹣8， ∴b＝3； （2）∵a＝1，b＝3， ∴a+b＝4， ∵4的平方根为±2， ∴a+b的平方根为±2． 知识点3： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点5： 立方根的小数点移动的规律】 【典例5】（2023春•武威期末）已知＝4.098，＝1.902，则＝　19.02　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵＝1.902， ∴＝19.02， 故答案为：19.02． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则≈　0.7071　． ②若，则x≈　﹣0.006137　． 【答案】0.7071；﹣0.006137． 【解答】解：∵， ∴， ∵，； ∴x≈﹣0.006137． 故答案为：0.7071；﹣0.006137． 【变式5-2】（2023•凉州区开学）已知＝4.098，＝1.902，则＝　19.02　． 【答案】19.02． 【解答】解：∵＝1.902， ∴＝19.02， 故答案为：19.02． 【变式5-3】（2023春•吉林期中）如果1.687，3.634，那么 　16.87　． 【答案】16.87． 【解答】解：， 故答案为：16.87． 1．如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】 本题考查已知一个数的立方根求这个数．根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选C． 2．计算：（    ） A．1 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：B 3．8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根定义及计算，根据立方根定义即可得到答案，熟记立方根定义及计算是解决问题的关键． 【详解】解：8的立方根是， 故选：C． 4．已知是最大的负整数，是8的立方根，则代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算、立方根、有理数等知识点，能正确求出a、b的值是解此题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数，是8的立方根 ∴ ∴， 故选：D． 5．的绝对值是（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是． 故选：B 6．若，则的值为（    ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性与绝对值的非负性，求一个数的立方根，先运用非负数的性质求得，的值，再代入求解． 【详解】解：依题意， 解得：， ∴， 故选：A． 7．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 8．的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，注意先求出的值，再求它的立方根． 根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：； ，； 故答案为：；． 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质，掌握立方根的性质：是关键．由、立方根的性质与已知，即可求得结果． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 10．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，倒数的定义，解题的关键是掌握立方根的运算法则．根据立方根的运算直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 11．已知：，那么的立方根等于 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，立方根，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后代入求得的值，再利用立方根的定义即可求解；理解非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，， 则，， ， 的立方根为， 故答案为：． 12．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】根据平方根和立方根的定义，并结合题意可得，，，从而求得，，再代入求得，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根为， ∴，， ∵的立方根为2， ∴，， ∴，25的算术平方根为5； 故答案为：5. 【点睛】本题考查平方根和立方根、算术平方根的定义，整式代入求值、解一元一次方程，熟练掌握平方根和立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 13．求下列各式中的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了用平方根与立方根的定义求方程的解； （1）利用立方根的定义即可求解； （2）方程整理后，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：原方程整理得：， 则； （2）解：原方程整理得：， 则， 解得：或． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）先化简多重符号，再计算即可； （2）先计算有理数的乘方，化简绝对值，计算立方根，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．解方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】 本题考查了平方根、立方根．熟练掌握平方根、立方根的定义和性质是解题的关键． （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）首先将方程变形，然后把方程两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或； （2）解：， ， ， ， ． 16．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． （1）利用平方根进行求解即可； （2）利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴． 17．已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为3． 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念．先根据平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得， ∴， ∵的算术平方根为3， ∴的算术平方根为3． 18．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查平方根及立方根的定义，根据若，那么是的平方根记作，若，那么是的平方根记作直接求解即可得到答案； （2）本题考查算术平方根的定义，根据一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：当，时， ， ∴的算术平方根为． 19．要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 【答案】球形容器内部的半径是． 【分析】本题考查了立方根的应用，利用球的体积公式计算出球的半径，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设球形容器内部的半径是，根据题意，得， ∴， ∴， 答：球形容器内部的半径是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$