2.1 平方根（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.1 平方根 【考点1：平方根的概念和表示】 【考点2：平方根的性质】 【考点3：利用开平方解方程】 【考点4：算术平方根的概念】 【考点5：算术平方根的非负性】 【考点6：算术平方根的小数点移动规律】 【考点7：与算术平方根有关的规律探索】 知识点1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 考点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识3：平方根的性质 【考点1：平方根的概念和表示】 【典例1】（2023秋•宽甸县期末）16的平方根是（　　） A．±16 B．±8 C．±4 D．±2 【变式1-1】（2023•前进区校级开学）化简的值为（　　） A．+6 B．±4 C．﹣6 D．±6 【变式1-2】（2023秋•榆树市校级期末）下列各数没有平方根的是（　　） A．0.1 B．0 C．﹣9 D．13 【变式1-3】（2022秋•沂源县期末）平方根等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1 【变式1-4】（2023春•确山县期中）（﹣2）2的平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【考点2：平方根的性质】 【典例2】（2023秋•雁塔区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 【变式2-1】（2022秋•长安区校级期末）已知一个正数m的两个平方根为3a﹣7和a+3，求a和m的值． 【变式2-2】（2023春•九龙坡区校级月考）已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m． 【变式2-3】（2022春•赤坎区校级期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【变式2-4】（2022春•米东区校级期末）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值． 【考点3：利用开平方解方程】 【典例3】（2022秋•东港区校级期末）计算： （1）3x2﹣27＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【变式3-1】（2023秋•滨州期中）求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【变式3-2】（2023秋•天宁区校级期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）（x﹣1）2＝16． 【变式3-3】（2023春•凤台县期中）求下列各式中x的值： （1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 【考点4：算术平方根的概念】 【典例4】（2023•宁阳县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【变式4-1】（2022秋•淄川区期末）有理数4的算术平方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 【变式4-2】（2023秋•遂平县期中）式子表示（　　） A．﹣3的算术平方根 B．6的算术平方根 C．9的平方根 D．9的算术平方根 【变式4-3】（2023秋•长安区期中）计算结果与相同的式子是（　　） A． B． C．± D． 【考点5：算术平方根的非负性】 【典例5】（2022秋•东港区校级期末）若|x+3|+＝0，则x+y的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【变式5-1】（2022秋•宣化区期末）若a，b为实数，设，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2022秋•广饶县校级期末）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 【变式5-3】（2022秋•永修县校级期末）已知，则（a+b）2013的值为（　　） A．2011 B．1 C．﹣1 D．无法确定 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点6：算术平方根的小数点移动规律】 【典例6】（2023秋•西湖区期中）已知：＝4.858，＝1.536，则＝（　　） A．0.1536 B．48.58 C．0.04858 D．以上答案全不对 【变式6-1】（2022秋•东港区校级期末）若，则中的x等于（　　） A．1040.4 B．10.404 C．104.04 D．1.0404 【变式6-2】（2023秋•电白区期中）已知，，则＝（　　） A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8 【变式6-3】（2023秋•滨州期中）已知，，那么约等于（　　） A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147 【考点7：与算术平方根有关的规律探索】 【典例7】（2023•六安模拟）判断下面各式是否成立 ①；②；③． 探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝　 　 （2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明． 【变式7-1】（2022秋•南海区校级月考）观察等式2；3；4；…；根据规律写出第（n﹣1）个等式为 　 　（n为自然数，且n≥2）． 【变式7-2】（2021春•沾化区期末）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则＝　　． 【变式7-3】（2023秋•江北区期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝　 　． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．的平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．16的算术平方根是（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 4．的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 5．若的值是3，那么a的值是（　　） A．9 B．3 C．﹣3 D．±3 5．已知正方形的面积为20cm2，则正方形的边长为 cm． 6．若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 7．已知a、b满足，则的平方根为 ． 8．若，则 ． 9．已知，则 ． 10．已知 和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 11．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 12．解方程： 13．求x的值 (1)； (2)． 14．若x，y是实数，且 (1)求x，y的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 平方根 【考点1：平方根的概念和表示】 【考点2：平方根的性质】 【考点3：利用开平方解方程】 【考点4：算术平方根的概念】 【考点5：算术平方根的非负性】 【考点6：算术平方根的小数点移动规律】 【考点7：与算术平方根有关的规律探索】 知识点1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 考点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识3：平方根的性质 【考点1：平方根的概念和表示】 【典例1】（2023秋•宽甸县期末）16的平方根是（　　） A．±16 B．±8 C．±4 D．±2 【答案】C 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16的平方根是±4． 故选：C． 【变式1-1】（2023•前进区校级开学）化简的值为（　　） A．+6 B．±4 C．﹣6 D．±6 【答案】D 【解答】解：， 故选：D． 【变式1-2】（2023秋•榆树市校级期末）下列各数没有平方根的是（　　） A．0.1 B．0 C．﹣9 D．13 【答案】C 【解答】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是﹣9， 故选：C． 【变式1-3】（2022秋•沂源县期末）平方根等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1 【答案】B 【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1， 故选：B． 【变式1-4】（2023春•确山县期中）（﹣2）2的平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【答案】A 【解答】解：（﹣2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 故选：A． 【考点2：平方根的性质】 【典例2】（2023秋•雁塔区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 【答案】（1）a＝﹣2，x＝49； （2）±5． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， ∴x＝（2a﹣3）2＝49． （2）将x＝49，a＝﹣2代入x+12a中，得 49﹣24＝25． ∵25的平方根为±5， ∴x+12a的平方根为±5． 【变式2-1】（2022秋•长安区校级期末）已知一个正数m的两个平方根为3a﹣7和a+3，求a和m的值． 【答案】a＝1，m＝16． 【解答】解：由题意得，3a﹣7+a+3＝0． ∴a＝1． ∴a+3＝4． ∴m＝16． 【变式2-2】（2023春•九龙坡区校级月考）已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15， ∴a+3＝﹣（2a﹣15）， 得，a＝4； 所以，m＝（a+3）2＝（4+3）2＝49； 【变式2-3】（2022春•赤坎区校级期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0， 解得，a＝1； （2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7， ∴m＝72＝49； （3）x2﹣16＝0， x2＝16， x＝±4． 【变式2-4】（2022春•米东区校级期末）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5， ∴2m+2＝16，3m+n+1＝25， 联立解得，m＝7，n＝3， ∴m+2n＝7+2×3＝13． 故答案为：13． 【考点3：利用开平方解方程】 【典例3】（2022秋•东港区校级期末）计算： （1）3x2﹣27＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【答案】（1）±3； （2）或﹣． 【解答】解：（1）3x2﹣27＝0， 3x2＝＝27， x2＝9， x＝±3； （2）4（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2＝， x﹣1＝， x＝或﹣． 【变式3-1】（2023秋•滨州期中）求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【答案】（1）x＝±5； （2）x＝9或x＝﹣7． 【解答】解：（1）移项，得x2＝25， 开平方，得x＝±5； （2）开平方，得x﹣1＝±8， 解得x＝9或x＝﹣7． 【变式3-2】（2023秋•天宁区校级期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）（x﹣1）2＝16． 【答案】（1）x＝． （2）x＝5或x＝﹣3． 【解答】解：（1）∵， ∴x2＝10． ∴x＝． （2）∵（x﹣1）2＝16， ∴x﹣1＝±4． ∴x＝5或x＝﹣3． 【变式3-3】（2023春•凤台县期中）求下列各式中x的值： （1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 【答案】（1），或； （2）x＝2或x＝﹣1． 【解答】解：（1）9x2﹣25＝0， 移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； 即，或； （2）4（2x﹣1）2＝36， 两边都除以4得，（2x﹣1）2＝9， 由平方根的定义得，2x﹣1＝±3， 即x＝2或x＝﹣1 【考点4：算术平方根的概念】 【典例4】（2023•宁阳县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【答案】B 【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 【变式4-1】（2022秋•淄川区期末）有理数4的算术平方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 【答案】A 【解答】解：∵2的平方为4， ∴4的算术平方根为2． 故选：A． 【变式4-2】（2023秋•遂平县期中）式子表示（　　） A．﹣3的算术平方根 B．6的算术平方根 C．9的平方根 D．9的算术平方根 【答案】D 【解答】解：， ∴表示的是9的算术平方根． 故选：D． 【变式4-3】（2023秋•长安区期中）计算结果与相同的式子是（　　） A． B． C．± D． 【答案】B 【解答】解：＝＝， ±＝±，则A不符合题意； ＝，则B符合题意； ±＝±1，则C不符合题意； ＝1，则D不符合题意； 故选：B． 【考点5：算术平方根的非负性】 【典例5】（2022秋•东港区校级期末）若|x+3|+＝0，则x+y的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【答案】B 【解答】解：由题意得，x+3＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣3，y＝2， 所以，x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 【变式5-1】（2022秋•宣化区期末）若a，b为实数，设，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵， ∴a+1＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝﹣1，b＝3， ∴a+b＝﹣1+3＝2， 故选：B． 【变式5-2】（2022秋•广饶县校级期末）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0， （a﹣1）2≥0，≥0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， 则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：C． 【变式5-3】（2022秋•永修县校级期末）已知，则（a+b）2013的值为（　　） A．2011 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵， ∴2a﹣4＝0，3+b＝0， 解得：a＝2，b＝﹣3， ∴（a+b）2013＝（2﹣3）2013＝（﹣1）2013＝﹣1； 故选：C． 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点6：算术平方根的小数点移动规律】 【典例6】（2023秋•西湖区期中）已知：＝4.858，＝1.536，则＝（　　） A．0.1536 B．48.58 C．0.04858 D．以上答案全不对 【答案】C 【解答】解：∵＝4.858， ∴＝0.04858． 故选：C． 【变式6-1】（2022秋•东港区校级期末）若，则中的x等于（　　） A．1040.4 B．10.404 C．104.04 D．1.0404 【答案】C 【解答】解：∵＝102， ∴1022＝10404， ∴10.22＝104.04， ∴x＝104.04． 故选：C． 【变式6-2】（2023秋•电白区期中）已知，，则＝（　　） A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式6-3】（2023秋•滨州期中）已知，，那么约等于（　　） A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， 故选：A． 【考点7：与算术平方根有关的规律探索】 【典例7】（2023•六安模拟）判断下面各式是否成立 ①；②；③． 探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝　5　 （2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①； ＝＝2； ②； ＝＝3； ③， ＝＝4； ∴＝5； （2）∴＝n， 证明：＝＝＝n． ∴＝n（n≥2）． 【变式7-1】（2022秋•南海区校级月考）观察等式2；3；4；…；根据规律写出第（n﹣1）个等式为 　n　（n为自然数，且n≥2）． 【答案】n． 【解答】解：∵2；3；4；…； ∴第（n﹣1）个等式为 n（n为自然数，且n≥2）， 故答案为：n． 【变式7-2】（2021春•沾化区期末）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则＝　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：a＝7，b＝9，即a+b＝16， 则＝＝4． 故答案为：4． 【变式7-3】（2023秋•江北区期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝　109　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵①；②；③；…； ∴m， ∴m＝10时，n＝99， ∴m+n＝109． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，有理数的乘方等知识．熟练掌握算术平方根，绝对值，有理数的乘方是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值，有理数的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 2．的平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键． 由题意可知，然后根据平方根可进行求解． 【详解】的平方根是． 故选：D． 3．16的算术平方根是（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握：“，那么这个正数叫做的算术平方根”是解题的关键． 【详解】解：16的算术平方根是4， 故选A． 4．的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．若的值是3，那么a的值是（　　） A．9 B．3 C．﹣3 D．±3 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．已知正方形的面积为20cm2，则正方形的边长为 cm． 【答案】2 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求出边长即可． 【详解】解：已知正方形的面积为20cm2，则正方形的边长为， 故答案为：. 6．若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根互为相反数．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 7．已知a、b满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值，根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则． 故的平方根为：． 故答案为：． 8．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的平方根，根据平方根的概念求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算．运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．已知 和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的含义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由平方根的性质列出关于m的方程，求解，从而可得这个正数． 【详解】解：根据题意知， 解得， 则，， ∴这个正数的两个平方根是， 故这个正数是49． 11．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 12．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键．先把的系数化为1，再利用平方根的定义解答即可． 【详解】解： ． 13．求x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 利用平方根的定义解各个方程即可． 【详解】（1）解：，                                            ； （2）解：， 或 或． 14．若x，y是实数，且 (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根； （1）根据算术平方根的非负性得出，进而得出，； （2）将，，代入代数式，求其算术平方根，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 解得：，则 （2）解：∵，， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$