专题2.5 二次根式乘除（五个考点2个易错点）（题型专练+易错的题型）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题2.5 二次根式乘除（五个考点2个易错点） 【考点1：二次根式的乘法运算】 【考点2：二次根式的除法运算】 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 【易错点1 同类二次根式】 【易错点2 最简二次根式】 【考点1：二次根式的乘法运算】 1．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．计算的正确结果是 ． 3．计算∶ 4．计算的结果是 ． 5．计算：的结果为 ． 6．计算： ． 7．二次根式计算：； 8．计算：； 9．化简． (1)． (2)（）． (3) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)； 【考点2：二次根式的除法运算】 14．计算： （1）；     （2）；     （3）． 15．计算： （1）；     （2）． 16．计算： （1）；      （2）；      （3）；      （4）． 17．计算 （1）       （2）           (3)     (4)    18．计算: (1)-÷； (2)÷； 19．计算：. 20．计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷． 21．计算： (1)；  (2)； (3)－÷；  (4)3÷. 【考点3：二次根式的乘除法运算】 22．计算：． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算：． 25．计算： 26．计算：． 27．计算∶． 28．计算： 29． 计算：． 30．计算：． 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 31．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 33．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 34．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 35．下列式子中与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 36．如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 37．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 38．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 39．写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 ． 【易错点1 同类二次根式】 1．（2023春•清江浦区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•榆树市二模）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　　． 【易错点2 最简二次根式】 1．（2023春•南沙区期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•平南县模拟）化简＝　　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 二次根式乘除（五个考点2个易错点） 【考点1：二次根式的乘法运算】 【考点2：二次根式的除法运算】 【考点3：二次根式的乘除法运算】 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 【易错点1 同类二次根式】 【易错点2 最简二次根式】 【考点1：二次根式的乘法运算】 1．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算， 先求出，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．计算的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 3．计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的运算法则，即可求解， 本题考查二次根式的乘法，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解： ． 故答案为：2 5．计算：的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：3． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 7．二次根式计算：； 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．运用二次根式的乘法法则计算即可；掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 8．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 9．化简． (1)． (2)（）． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简及乘法运算， （1）根据二次根式性质化简即可； （2）利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果； （3）原式各项利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴； （3）． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． （2）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可： （1）原式； （2）原式． 【详解】（1）原式 （2）原式 13．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 【考点2：二次根式的除法运算】 14．计算： （1）；     （2）；     （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用二次根式的乘除法法则化简即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键． 15．计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简． 16．计算： （1）；      （2）；      （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得； （2）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得； （3）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可得； （4）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可得. 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解题关键． 17．计算 （1）       （2）           (3)     (4)    【答案】（1）4；（2）；（3）2；（4） 【分析】（1）首先利用二次根式除法的运算法则对其进行可得 ，接下来对其进一步计算即可；（2）首先对已知的式子进行变形可得 ，接下来利用二次根式除法的计算法则对其进行计算即可. （3）首先对已知的式子进行变形可得 ，接下来利用二次根式除法的计算法则对其进行计算即可. （4）直接把除法转化为乘法进行计算即可. 【详解】（1）= =2 （2）== （3）== = （4）= 【点睛】此题考查二次根式的除法，解答本题的关键是熟练掌握二次根式除法的运算法则. 18．计算: (1)-÷； (2)÷； 【答案】(1-20；(2)-4ab. 【分析】（1）利用单项式除法法则结合二次根式的除法法则进行计算即可； （2）先确定符号，然后利用二次根式的除法法则进行计算即可. 【详解】(1) -÷=×= -=-20； (2)÷=-=-=-4ab. 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键. 19．计算：. 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可. 【详解】， =， =. 【点睛】在进行二次根式相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 20．计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷． 【答案】（1）2；（2）-20；（3）-4ab. 【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案 【详解】（1）÷==2； （2）−÷)=-3÷=-3×=-20； （3）÷=-=-4ab. 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 21．计算： (1)；  (2)； (3)－÷；  (4)3÷. 【答案】(1) ;(2) ；（3）-3 ；（4）. 【详解】试题分析：（1）根据二次根式的除法法则 计算即可；（2）根据二次根式的除法法则 计算即可；（3）根据二次根式的除法法则 计算后化为最简二次根式即可；（4）根据二次根式的除法法则 计算后化为最简二次根式即可. 试题解析： （1）； （2）； （3）； （4）. 【考点3：二次根式的乘除法运算】 22．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． 24．计算：． 【答案】 【分析】原式先化简各二次根式后再进行乘除运算即可． 【详解】解： = = 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确进行二次根式的化简是解答本题的关键． 25．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 26．计算：． 【答案】 【分析】先计算二次根式的乘除法，再计算有理数的减法即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 27．计算∶． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序． 28．计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 由二次根式被开方式非负可知，即， ， ． 【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键． 29．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． 30．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 根据与得：， ∴原式 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式． 【考点4： 最简二次根式的相关概念】 31．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：A项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意；     B项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意；    C项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意；     D项，，不能化简，本项是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 33．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 34．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴23﹣a＝2时，a＝21； 23﹣a＝8时，a＝15； 23﹣a＝18时，a＝5； 23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）； ∴符合条件的正整数a的值为5、15、21． ∴a的最小值为5． 故选D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念． 【考点5： 最简二次根式与同类二次根式综合】 35．下列式子中与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 利用二次根式性质分别化简，然后即可得出答案． 【详解】解：A．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．是同类二次根式，故此选项符合题意； C．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 36．如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．因为二次根式化简后能与合并，所以二次根式化简后与为同类二次根式，即是的整数倍，代入选项的值验证即可． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意； B、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意； C、当时，，与是同类二次根式可以合并，故符合题意； D、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故符合题意； 故选：C． 37．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以加减合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：6． 38．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：3． 39．写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，据此解答． 【详解】， ∴与是同类二次根式，这个二次根式可以是， 故答案为：． 【易错点1 同类二次根式】 1．（2023春•清江浦区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可． 【解答】解：＝2，因此选项A不符合题意； ＝3，因此选项B符合题意； ＝2，因此选项C不符合题意； ＝2，显然与不是同类二次根式，因此选项D不符合题意； 故选：B． 2．（2023•榆树市二模）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】把化为最简形式，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【解答】解：＝2， ∵简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴4﹣3x＝2， 解得x＝． 故答案为：． 【易错点2 最简二次根式】 1．（2023春•南沙区期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． ＝，所以A选项不符合题意； B． 为最简二次根式，所以B选项符合题意； C． ＝2，所以C选项不符合题意； D． ＝2，所以D选项不符合题意； 故选：B． 2．（2023•平南县模拟）化简＝　3　． 【答案】3． 【分析】利用二次根式的运算法则进行化简即可． 【解答】解：＝×＝3， 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$