精品解析：山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 （解析版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 (i为虚数单位)在复平面内对应点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 四等分切割如图所示圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角、、对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 10. 软木锅垫的正、反面可加置印刷公司logo、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. C. D. 点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上的最大值为2 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，长方体分别为棱的中点.用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是__________.（填：棱柱､棱锥､棱台其中一个） 13. 已知向量，若，则实数的取值范围是______． 14. 已知向量，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数模. 16. 已知单位向量满足 （1）求的值； （2）设与的夹角为，求的值； 17. 兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，， （1）求兴隆塔高的长； （2）在（1）的条件下求多面体的表面积； （3）在（1）的条件下求多面体的内切球的半径； 18. 已知向量，函数． （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若，且，求的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 19. 在中，，，对应的边分别为，，， （1）求； （2）若为线段内一点，且，求线段的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 （解析版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据 ，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限． 【详解】化简得 所以z在复平面内的坐标为 所以点在第二象限 所以选B 【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题． 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及正切函数的周期公式计算即可. 【详解】易知，则其最小正周期为. 故选：C 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 4. 我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合面度制的定义，以及扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设角所在的扇形的半径为，则，解得， 故. 故选：D. 5. 四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得， 所以圆柱侧面积. 故选：A 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得，进而得，即可得. 【详解】因为，所以， 故. 故选：B 7. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可. 【详解】设的中点为A， 则， 所以. 故选：D 8. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算可判断A；根据复数的模公式可判断B；由共轭复数概念和复数减法运算可判断C；根据复数除法运算和复数的模公式求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，因为，所以， 所以的虚部为，C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，D正确. 故选：ABD 10. 软木锅垫的正、反面可加置印刷公司logo、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. C. D. 点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用坐标系法，结合投影向量公式、向量的线性运算、模长公式及数量积公式对各选项逐一分析即可判断. 【详解】以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 对于A，由图可知， 所以， 向量在向量上的投影向量为,故A正确； 对于B，由图可知, 所以，，， 所以，故B正确； 对于C，，， ，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 因为点是正六边形内部（包括边界）的动点， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为-200.故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上的最大值为2 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】观察函数图象，，函数的周期为，， 由，得，而，则，， 对于A，函数的周期为，A正确； 对于B，，函数的图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确； 对于D，当时，，由，即， 得或，解得或，显然，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，长方体分别为棱的中点.用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是__________.（填：棱柱､棱锥､棱台其中一个） 【答案】棱柱 【解析】 【分析】根据棱柱定义即可. 【详解】左侧几何体有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,所以左侧几何体为棱柱 故答案为：棱柱 13. 已知向量，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的充要条件计算即可. 【详解】因为，所以不共线， 若共线，则，即， 所以时不共线. 故答案为： 14. 已知向量，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算得，然后利用二倍角公式及弦切互化代入计算即可. 【详解】因为向量，， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解； （2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得:，即， 所以，所以，， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 所以. 16. 已知单位向量满足 （1）求的值； （2）设与的夹角为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到方程，求出，进而求出，求出模长； （2）先计算出，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 因为为单位向量，所以， 所以，得到， 则， 则 【小问2详解】 因为，所以， 而 所以， 即 17. 兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，， （1）求兴隆塔高的长； （2）在（1）的条件下求多面体的表面积； （3）在（1）的条件下求多面体的内切球的半径； 【答案】（1）54米 （2）平方米； （3）米 【解析】 【分析】（1）设塔高，用x表示、，再利用余弦定理列方程求解即可； （2）利用题意判断四个面均为直角三角形，结合（1）的结果，利用三角形面积公式分别求出四个面的面积，求和即可； （3）根据题意将多面体分为以各面为底，内切球半径为高的四个三棱锥，利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 设米，中，，则， 在中，，且， 则，所以， 因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得(米). 【小问2详解】 由（1）知均为直角三角形， ，，所以， 所以在中，满足，所以为直角三角形； 所以， 所以平方米； 【小问3详解】 设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换： 所以米； 18. 已知向量，函数． （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若，且，求的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以即 又因为，所以函数在上单调递减区间为 【小问2详解】 若则，所以. 因为，所以， 所以， 所以 故. 【小问3详解】 将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则， 当时， 由方程有一解，可得的取值范围为． 19. 在中，，，对应的边分别为，，， （1）求； （2）若为线段内一点，且，求线段的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 【答案】（1） （2） （3）48 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可； （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值. 【小问1详解】 因为 所以， 由正弦定理， 所以 即：，又，所以； 【小问2详解】 （方法一）因为，所以， 所以， 所以 ，及 （方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图， 则 则： 所以； 【小问3详解】 根据柯西不等式： （当且仅当为正三角形时取等号） 即：的最小值为48. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$