2.4 圆的方程（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 【考点1：由圆的方程求圆心与半径】 【考点2：求圆的标准方程】 【考点3：求圆的一般方程】 【考点4：二元二次方程与圆的关系】 【考点5：点与圆的位置关系】 【考点6：与圆有关的对称问题】 【考点7：与圆有关的轨迹问题】 【考点8：与圆有关的最值问题】 知识点1 圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【考点1：由圆的方程求圆心与半径】 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【变式1-1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】圆的圆心和半径分别是（     ） A．， B．，2 C．，1 D．， 【变式1-3】已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点2：求圆的标准方程】 【典例2】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点3：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点4：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【考点3：求圆的一般方程】 【典例3】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【变式3-1】求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【变式3-2】在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 【变式3-3】已知圆，若圆与圆关于直线对称，则圆方程 . 【考点4：二元二次方程与圆的关系】 【典例4】多选题若曲线是一个圆，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．6 【变式4-1】方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点5：圆过定点问题】 【典例5】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变式5-2】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【变式5-3】圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【考点6：与圆有关的对称问题】 【典例6】圆关于直线对称后的方程为（    ） A．B． C． D． 【变式6-1】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点7：与圆有关的轨迹问题】 【典例7】如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 ． 【变式7-1】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【变式7-2】已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【考点8：与圆有关的最值问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【变式8-1】已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式8-2】已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（    ） A． B． C．4 D． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 1.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 6．直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 8．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 10．经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（    ） A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 11．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 12．圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 13．已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（    ） A．B． C． D． 14．已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 15．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 圆的方程 【考点1：由圆的方程求圆心与半径】 【考点2：求圆的标准方程】 【考点3：求圆的一般方程】 【考点4：二元二次方程与圆的关系】 【考点5：点与圆的位置关系】 【考点6：与圆有关的对称问题】 【考点7：与圆有关的轨迹问题】 【考点8：与圆有关的最值问题】 知识点1 圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【考点1：由圆的方程求圆心与半径】 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 【变式1-1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 【变式1-2】圆的圆心和半径分别是（     ） A．， B．，2 C．，1 D．， 【答案】D 【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案． 【详解】由圆的方程， 可得它的圆心和半径分别为，． 故选：D． 【变式1-3】已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可 【详解】圆的方程为为标准形式， 即圆心与半径分别为， 故选：D. 【考点2：求圆的标准方程】 【典例2】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 【变式2-1】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【变式2-2】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案. 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 【变式2-3】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 知识点2：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点3：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点4：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【考点3：求圆的一般方程】 【典例3】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案； 方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 【变式3-1】求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式3-2】在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可． 【详解】由题意设圆的方程为， 代入三个点的坐标可得，解得， 所以的外接圆方程为， 故答案为：． 【变式3-3】已知圆，若圆与圆关于直线对称，则圆方程 . 【答案】 【分析】先利用配方法求得圆的圆心与半径，根据直线的对称性求得圆的圆心，从而得解. 【详解】圆可化为， 则其圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以，整理得，解得， 所以圆得方程为：. 故答案为： 【考点4：二元二次方程与圆的关系】 【典例4】多选题若曲线是一个圆，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】AD 【分析】根据方程表示圆求参数范围即可. 【详解】因为曲线表示圆，所以，解得或. 故选：AD 【变式4-1】方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简方程为，根据圆的标准方程，得到不等式，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 要使得方程表示一个圆，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式4-2】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程表示圆，化为标准式得出，由点在圆外，得出，即可结合得出答案. 【详解】圆化为标准式：， 则，即， 又点在圆的外部， ，解得， 综上：. 故选：C. 【变式4-3】若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【考点5：圆过定点问题】 【典例5】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5-1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变式5-2】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【变式5-3】圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上． 【详解】解：抛物线的标准方程为：， 抛物线的准线方程为，焦点为． 设动圆圆心为，则到的距离：． 动圆与直线相切， 到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点． 此圆恒过定点． 故选：B． 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【考点6：与圆有关的对称问题】 【典例6】圆关于直线对称后的方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 【变式6-1】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】 若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 【变式6-2】已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】 由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 【考点7：与圆有关的轨迹问题】 【典例7】如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，以为原点，建立平面直角坐标系，设，结合，求得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，再由扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 则点到的距离等于点到点的距离，即， 在底面中，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，可得， 设，由，可得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧， 又由，可得， 所以，即所对的圆心角为， 所以点的轨迹的长度为圆弧长为. 故答案为：. 【变式7-1】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求出P的轨迹方程，再求面积. 【详解】设，由题意，则， 平方化简得， 即的轨迹是半径为4 的圆，所围成图形面积为. 故答案为：. 【变式7-2】已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积. 【详解】设线段的中点，， 则，即， 又因为端点在圆上运动，所以， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆. 所以该圆的面积为. 故选：C. 【变式7-3】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 【考点8：与圆有关的最值问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得. 【详解】设，则 ， 即等价于点到点的距离的平方的两倍加八， 又， 即. 故选：B. 【变式8-1】已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】数形结合分析可得，当时能够取得的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由对勾函数的性质,可知，当且仅当时取等号， 结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4， 从而的最小值为. 故选：A 【变式8-2】已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，向量的坐标满足方程，结合向量的数量积公式求得结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，， ， 因为， 所以，即， ，则， 则， 则的最小值为4. 故选：C.    【变式8-3】在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可. 【详解】，当且仅当P在线段CO上时等号成立. 故选：B. 1.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 2．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可. 【详解】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以即为半径, 则根据题意得：，解得， 所以圆心坐标为：，半径为5，该圆的方程是, 展开得：. 故选：C. 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 5．曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解. 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 6．直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可. 【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、， 则的中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：B 7．圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 【答案】C 【分析】由题意可知，则，解之即可求解. 【详解】由，知， 则，解得或． 故选：C． 8．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可. 【详解】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 9．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 10．经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（    ） A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 【答案】D 【详解】由得即所求圆的圆心坐标为(1，1).又该圆过点(2，0)，所以其半径为＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 11．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 12．圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 【答案】C 【详解】 圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3. 13．已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的定义可知点的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果. 【详解】因为，所以点到圆心的距离恒为， 所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即， 故选：B 14．已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】已知圆心为，半径， 则圆的标准方程为：. 故答案为：. 15．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 【答案】/ 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$