2.3 直线的交点坐标与距离公式（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 【考点1：直线的交点坐标】 【考点2：由直线交点个数求参数】 【考点3：两点间的距离公式应用】 【考点4：点到直线的距离问题】 【考点5：点、直线的对称问题】 【考点6：两条平行直线间的距离】 知识点1 两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 【考点1：直线的交点坐标】 【典例1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】两直线和的交点为 ． 【变式1-2】已知直线和，则直线和的交点为 . 【变式1-3】已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2：由直线交点个数求参数】 【典例2】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式2-3】若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 知识点2两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 【考点3：两点间的距离公式应用】 【典例3】已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【变式3-1】三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式3-2】已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【考点4：点到直线的距离问题】 【典例4】点到直线的距离为 . 【变式4-1】原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-2】已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【考点5：点、直线的对称问题】 【典例5-1】点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【变式5-6】已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ． 【考点6：两条平行直线间的距离】 【典例6】两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式6-1】两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 1．平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．两条平行直线：，：之间的距离是（    ） A．1 B． C． D．2 3．若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 4．两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 6．设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 7．若直线与直线平行，则的斜率为（   ） A．6 B． C． D． 8．点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 10．点关于直线的对称点坐标为 . 11．若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 12．已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 13．求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 14．两条直线与之间的距离是 ． 15．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 16．已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 17．已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 18．已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 【考点1：直线的交点坐标】 【考点2：由直线交点个数求参数】 【考点3：两点间的距离公式应用】 【考点4：点到直线的距离问题】 【考点5：点、直线的对称问题】 【考点6：两条平行直线间的距离】 知识点1 两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 【考点1：直线的交点坐标】 【典例1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 【变式1-1】两直线和的交点为 ． 【答案】 【分析】联立两条直线的方程可得交点. 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 【变式1-2】已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【分析】 通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 【变式1-3】已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 【考点2：由直线交点个数求参数】 【典例2】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【变式2-1】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【详解】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B 【变式2-2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式2-3】若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 知识点2两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 【考点3：两点间的距离公式应用】 【典例3】已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形. 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：， 化简得：. （2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形， 又，则是等腰三角形， 所以是等腰直角三角形. 【变式3-1】三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【详解】由题设，则. 故选：B 【变式3-2】已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点间的距离公式得出三边长度，结合勾股定理逆定理证明，由此即可得解. 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 【变式3-3】已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 【考点4：点到直线的距离问题】 【典例4】点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式4-1】原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 【变式4-2】已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 【变式4-3】已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【考点5：点、直线的对称问题】 【典例5-1】点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【典例5-2】一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 【变式5-1】点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式5-2】点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 【变式5-3】已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点关于对称的点为，则，解得， 故选：B 【变式5-4】若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 【变式5-5】已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得点关于的对称点，从而得到，再由点斜式即可得到结果. 【详解】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 【变式5-6】已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用直线对称的性质求得直线的两点，从而利用点斜式即可得解. 【详解】直线取两点， 则它们关于对称的点为在直线上， 故直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 【考点6：两条平行直线间的距离】 【典例6】两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 【变式6-1】两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 【变式6-2】已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 【变式6-3】已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 1．平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，， 解得，所以， 故两平行直线间的距离． 故选：C． 2．两条平行直线：，：之间的距离是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为：，：， 所以它们之间的距离为. 故选：B. 3．若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 4．两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 5．已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 6．设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，利用对数的运算，求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 7．若直线与直线平行，则的斜率为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般方程可求得其斜率为，再由两直线平行即可求得的斜率. 【详解】将直线化为斜截式可得， 易知直线的斜率与直线的斜率相等，即的斜率为； 故选：D 8．点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 10．点关于直线的对称点坐标为 . 【答案】 【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以对称点为， 故答案为： 11．若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 12．已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 13．求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】求出两直线和的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【分析】由得 所以直线过点(2,5)和(1,1)， ∴所求的直线方程为，即：． 故答案为：． 14．两条直线与之间的距离是 ． 【答案】2 【分析】易知两直线与平行，将两直线方程化为系数相同的表达式，代入两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】将化为，可知两直线平行； 由两平行线间的距离公式可得，直线与之间的距离. 故答案为：2 15．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 16．已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 17．已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【详解】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18．已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$