2.2 直线的方程（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 【考点1：点斜式方程】 【考点2：直线两点式方程及辨析】 【考点3：直线截距式方程及辨析】 【考点4：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【考点5：由两直线垂直求方程】 【考点6：由两直线平行求方程】 【考点7：直线过定点问题】 知识点1 点斜式方程 1．点斜式方程：过点(x0，y0)且斜率k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)． 2．斜截式方程：纵截距b且率k的直线方程为y＝kx＋b． 【考点1：点斜式方程】 【典例1】直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A．B． C． D． 【变式1-1】过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【变式1-2】过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2 两点式方程 1．两点式方程：过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程为＝． 2．截距式方程：横截距a纵截距b的直线方程为＋＝1． 【考点2： 直线两点式方程及辨析】 【典例2】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【变式2-1】经过两点，的直线方程是 . 【变式2-2】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【考点3：直线截距式方程及辨析】 【典例3】多选题直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【变式3-2】纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【考点4：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【典例4】多选题若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-2】直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式4-3】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 知识点3 一般式方程 1.一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0． 2．一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． 【考点5：由两直线垂直求方程】 【典例5】过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【变式5-3】经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【考点6：由两直线平行求方程】 【典例6】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【变式6-2】过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点4 直线过定点问题 1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． 2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 【考点7：直线过定点问题】 【典例7】当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【变式7-1】直线恒过定点 . 【变式7-2】直线恒过定点 ． 【变式7-3】直线所过定点的坐标为 . 【变式7-3】已知直线过点和点，直线：，若，则 . 1．过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．“直线与直线相互平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 8．对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 9．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 11．已知直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D． 12．多选题若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 13．方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 14．（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 15．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 直线的方程 【考点1：点斜式方程】 【考点2： 直线两点式方程及辨析】 【考点3：直线截距式方程及辨析】 【考点4：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【考点5：由两直线垂直求方程】 【考点6：由两直线平行求方程】 【考点7：直线过定点问题】 知识点1 点斜式方程 1．点斜式方程：过点(x0，y0)且斜率k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)． 2．斜截式方程：纵截距b且率k的直线方程为y＝kx＋b． 【考点1：点斜式方程】 【典例1】直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 【变式1-1】过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论. 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 【变式1-2】过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 【变式1-3】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 知识点2 两点式方程 1．两点式方程：过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程为＝． 2．截距式方程：横截距a纵截距b的直线方程为＋＝1． 【考点2： 直线两点式方程及辨析】 【典例2】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 【变式2-1】经过两点，的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的两点式即可求解. 【详解】根据直线的两点式方程得，整理得. 故答案为： 【变式2-2】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 【变式2-3】已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为.    【考点3：直线截距式方程及辨析】 【典例3】多选题直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 【变式3-1】过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 【变式3-2】纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 【考点4：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【典例4】多选题若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 【变式4-1】已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 【变式4-2】直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 【变式4-3】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 知识点3 一般式方程 1.一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0． 2．一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． 【考点5：由两直线垂直求方程】 【典例5】过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 【变式5-1】已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 【变式5-2】已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【答案】B 【详解】 由题意，所求直线的斜率为.又AB的中点为(2，1)，所以所求直线方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0. 【考查意图】 两直线垂直的斜率判定． 【变式5-3】经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 【考点6：由两直线平行求方程】 【典例6】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 【变式6-1】直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可. 【详解】因为两直线平行， 则有， 解得，经验证此时两直线不重合， 故选：C. 【变式6-2】过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 因为在该直线上， 所以，得， 故该直线方程为， 故选：C 【变式6-3】过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【详解】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 知识点4 直线过定点问题 1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． 2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 【考点7：直线过定点问题】 【典例7】当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【答案】（－1，－1） 【详解】 解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）. 【考查意图】直线过定点. 【变式7-1】直线恒过定点 . 【答案】 【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 【变式7-2】直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将直线转化为，令，解方程即可. 【详解】将直线化为， 令，解得， 故直线的恒过点为. 故答案为： 【变式7-3】直线所过定点的坐标为 . 【答案】 【分析】将原方程改写成，再让解出即可. 【详解】由得， 联立方程得解得即定点坐标为. 故答案为： 【变式7-3】已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【答案】 【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可. 【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 1．过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 2．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得，解得. 【详解】易知的斜率为， 的斜率为，所以； 解得. 故选：C 3．“直线与直线相互平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得， ∴“”是“直线与直线相互平行”的充要条件． 故选：B. 4．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得直线的斜率，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】直线即的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，因为，所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 5．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 6．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果. 【详解】由题意知：直线恒过定点； 直线与轴分别交于点，； 在平面直角坐标系中作出直线如下图所示， 结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行； ，，倾斜角为，倾斜角为， 直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 7．直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】令，求出即得． 【详解】根据题意直线， 令，得，所以在x轴的截距为1. 故选：D 8．对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 【答案】C 【分析】 由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误； 在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误； 在中，令，解得，即直线过两点， ，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 画出直线的图象如图所示， 所以直线不经过第二象限，故D错误. 故选：C. 9．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 10．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】 利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式。 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ， ， 解得. 故选：B 11．已知直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为直线经过点， 所以， 所以 ， 当且仅当，即、时取等号. 故选：B 12．多选题若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和直线不过原点，将点代入求解. 【详解】解：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为； 当直线不过原点时，可设横纵截距分别为(或，均不为0)， 则直线方程为，可解得或， 则直线方程为或. 故选：ABD. 13．方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 【答案】18 【分析】分类作出图形即可求解. 【详解】当时，原方程为； 当时，原方程为； 当时，原方程为； 当时，原方程为. 作出上述四个方程图象如图： 由图可知，所求面积为. 故答案为：18 14．（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 15．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$