2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 【考点1：由斜率判断两条直线平行】 【考点2：由斜率判断两条直线垂直】 【考点3：已知直线平行求参数】 【考点4：已知直线垂直求参数】 【考点5：直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 知识点 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 【考点1：由斜率判断两条直线平行】 【典例1】多选题下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【变式1-2】下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【考点2：由斜率判断两条直线垂直】 【典例2】已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【变式2-1】多选题下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【变式2-3】如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【考点3：已知直线平行求参数】 【典例3】若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【变式3-1】已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【变式3-2】设不同的直线，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式3-3】已知直线和，若，则 . 【考点4：已知直线垂直求参数】 【典例4】已知直线与直线垂直，则 ． 【变式4-1】已知直线，，若，则实数a的值为 . 【变式4-2】已知直线，，若，则m的值为 ． 【变式4-3】已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 【考点5：直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【典例5】已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【变式5-1】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 4．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若直线与平行，则实数（   ） A． B．4 C． D． 6．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 7．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 9．经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 11．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（    ） A． B．1 C．0或 D．1或 12．已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 13．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 14．多选题给出下列命题正确的是（    ） A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B．直线恒过定点 C．已知直线与直线垂直，则实数的值是 D．已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 15．已知直线与平行，则 ． 16．已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 【考点1：由斜率判断两条直线平行】 【考点2：由斜率判断两条直线垂直】 【考点3：已知直线平行求参数】 【考点4：已知直线垂直求参数】 【考点5：直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 知识点 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 【考点1：由斜率判断两条直线平行】 【典例1】多选题下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可. 【详解】两直线， 其平行的充要条件为且或， 对于A项，易知且，即A正确； 对于B项，易得，有且，即B正确； 对于C项，易知且，即C正确； 对于D项，易知，D项不符合. 故选：ABC 【变式1-1】过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 【变式1-2】下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案. 【详解】直线斜率为，纵截距为， A选项：直线斜率为，纵截距为，符合； B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； 故选：A. 【变式1-3】已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】，证明见解析. 【分析】根据两条直线的斜率求得正确答案. 【详解】由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 由图可知：直线.      【考点2：由斜率判断两条直线垂直】 【典例2】已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 【变式2-1】多选题下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 由两条直线斜率相乘为-1，判断两直线的垂直. 【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项. 故选：BC 【变式2-2】判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 【分析】（1）根据斜率乘积不等于即可判断； （2）根据两直线倾斜角即可判断. 【详解】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 【变式2-3】如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 【考点3：已知直线平行求参数】 【典例3】若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 【变式3-1】已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 【变式3-2】设不同的直线，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】由直线平行的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，解得，经检验，符合题意. 故选：D. 【变式3-3】已知直线和，若，则 . 【答案】2 【分析】根据两直线平行，则两直线斜率相等，得到，解出即可. 【详解】直线的斜率为，， 直线的斜率，即， 经检验，满足题意. 故答案为：2. 【考点4：已知直线垂直求参数】 【典例4】已知直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 【变式4-1】已知直线，，若，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值． 【详解】因为直线，，且， 所以，解得， 故答案为：． 【变式4-2】已知直线，，若，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】根据两直线垂直得到，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：4. 【变式4-3】已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 【答案】 【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值. 【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直， 则直线的斜率. 故答案为： 【考点5：直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【典例5】已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【答案】(1) (2)或12或 【分析】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 【变式5-1】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 【变式5-2】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即, 故选：C． 【变式5-3】如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 2．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 【答案】B 【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线. 【详解】因为A（4，0），B（0，2）， 所以线段AB的中点为（2，1）， 所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0， ∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0. 故选：B. 4．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 5．若直线与平行，则实数（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，斜率相等，截距不等即可求出答案. 【详解】由题意知，的斜率分别是，，由与平行，得， 此时两直线在y轴上的截距分别为3和，符合题意. 故选：C. 6．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直线平行与斜率的关系可构造方程解得符合题意. 【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即， 解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去； 所以可得. 故选：C 7．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果. 【详解】因为，则有，解得或， 故选：B. 9．经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 10．已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 先利用平行求出，再利用斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为，所以且，所以. 两直线的斜率为，所以倾斜角为. 故选：C. 11．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（    ） A． B．1 C．0或 D．1或 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值即可. 【详解】∵ ∴ 即 解得或， 故选：D. 12．已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用斜率公式求得，再由两直线的位置关系，得到，即可求解. 【详解】由点，可得， 因为直线与直线垂直，可得，即，解得， 所以直线的斜率为. 故选：A. 13．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可求得. 【详解】直线的斜率为2，两直线垂直， 故直线的斜率，即. 故选：D． 14．多选题给出下列命题正确的是（    ） A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B．直线恒过定点 C．已知直线与直线垂直，则实数的值是 D．已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】BD 【分析】根据空间向量、直线过定点、直线垂直、四点共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以与不平行，A选项错误. B选项，由， 得，由， 解得，所以定点为，B选项正确. C选项，由， 解得或，C选项错误. D选项，由于， 其中，所以四点共面，D选项正确. 故选：BD 15．已知直线与平行，则 ． 【答案】3或5 【分析】由题意，不难发现时符合题意，然后利用直线平行的条件解答即可． 【详解】解：当时，，，两条直线平行， 当时，有，解得，代回检验，符合题意. 故答案为：3或5． 16．已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$