2.5 直线与圆﹑圆与圆的位置关系（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5 直线与圆﹑圆与圆的位置关系 【考点1：直线与圆的位置关系】 【考点2：直线与圆的弦长】 【考点3：圆上的点到直接距离的最值】 【考点4：圆与圆的位置关系】 【考点5：圆与圆相交弦】 【考点6：切线及切线长】 【考点7：实际生活运用】 【考点8：综合运用】 知识点1 直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点2 圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点3 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点4 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【考点1：直线与圆的位置关系】 【典例1】已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式1-1】已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-2】已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【变式1-3】设直线，圆，则l与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【考点2：直线与圆的弦长】 【典例2】直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-1】直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】圆与圆的公共弦长为 . 【考点3：直线与圆的位置关系求距离的最值】 【典例3】已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3-1】由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点4：圆与圆的位置关系】 【典例4】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【变式4-1】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式4-2】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式4-3】圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【考点5：圆与圆相交弦】 【典例5】已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式5-1】圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【考点6：切线及切线长】 【典例6】圆与圆的公切线的方程为 ． 【变式6-1】圆与圆的公切线长为 . 【变式6-2】写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【考点7：实际生活运用】 【典例7】某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【变式7-1】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【变式7-2】如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【变式7-3】如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．    (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 【考点8：综合运用】 【典例8】已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【变式8-1】已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 【变式8-3】已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2．直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 4．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．若直线：与圆：只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 8．若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．与x轴相切于原点，且圆心为的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 12．已知圆与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 13．多选题点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．若直线与圆交于两点，则 . 15．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 16．过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 17．过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 18．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 直线与圆﹑圆与圆的位置关系 【考点1：直线与圆的位置关系】 【考点2：直线与圆的弦长】 【考点3：圆上的点到直接距离的最值】 【考点4：圆与圆的位置关系】 【考点5：圆与圆相交弦】 【考点6：切线及切线长】 【考点7：实际生活运用】 【考点8：综合运用】 知识点1 直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点2 圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点3 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点4 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【考点1：直线与圆的位置关系】 【典例1】已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交. 【详解】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交. 故选：C. 【变式1-1】已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-2】已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 【变式1-3】设直线，圆，则l与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较即可判断求解． 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相离． 故选：C． 【考点2：直线与圆的弦长】 【典例2】直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解. 【详解】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 【变式2-1】直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 【变式2-2】直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 由此可知圆的半径为，圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：D. 【变式2-3】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 【考点3：直线与圆的位置关系求距离的最值】 【典例3】已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用点即在圆上，又在直线上，可得，求解即可. 【详解】由题意知点在曲线上， 则圆心到直线的距离， 即， 又， 所以的最小值2． 故选：B. 【变式3-1】由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 【变式3-2】已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 【变式3-3】已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 【考点4：圆与圆的位置关系】 【典例4】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 【变式4-1】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【变式4-2】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【变式4-3】圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论. 【详解】由已知得圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 故， 所以圆与圆相交. 故选：A. 【考点5：圆与圆相交弦】 【典例5】已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 【变式5-1】圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】的圆心和半径分别为, ，故两圆相交， 将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为， 又知，， 则到直线的的距离， 所以公共弦长为， 故选:A． 【变式5-2】已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 【变式5-3】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 【考点6：切线及切线长】 【典例6】圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 【变式6-1】圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式6-2】写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 【考点7：实际生活运用】 【典例7】某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 【变式7-1】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)； (2)没有触礁危险，理由见解析. 【分析】（1）根据已知确定，，，再设圆的方程，将所过的点代入求参数，即得方程； （2）该船航线所在直线l与圆心C的距离，判断其与半径的大小，即可得结论. 【详解】（1）由已知，，． 法1：设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 法2：设圆C方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 （2）由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为． ∴海船行驶路线l:即， 圆心到l的距离， ∵， ∴没有触礁危险． 【变式7-2】如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 【变式7-3】如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．    (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 【答案】(1) (2)的横坐标范围为即可逃脱. 【分析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得，因为点M需在矩形场地内， 所以，故所求轨迹方程为．    （2）当线段FP与（1）中圆相切时，则， 所以，所以， 若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是． 【考点8：综合运用】 【典例8】已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可； （2）求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆的圆心坐标，再求出半径即可. 【详解】（1）因为圆与交于，两点， 所以两圆方程作差得直线的方程为． 又圆，所以点到直线的距离， 所以； （2），圆， 则，，则， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 所以点到直线的距离， 设圆的半径为，所以， 所以圆的方程为． 【变式8-1】已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果. 【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段， 因为圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相交所得的弦长为. （2）设圆关于直线对称所得的圆为圆， 由题意可得圆心与圆心关于直线对称， 设圆心，则，解得， 则，则圆的方程为. 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先设点，再根据向量垂直的坐标运算即可求解，也可以根据圆的定义得到P点的轨迹为以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的，进而得出P点的轨迹方程； （2）根据直线与完整的圆相切时，只有一个交点，即可求解. 【详解】（1）法一：设，因为， 所以由，得， 所以动点P轨迹方程为. 法二：由题，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的， 所以P点的轨迹方程为 （2）因为直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点（如图）， ①若斜率不存在，此时直线l方程为：，与圆切于点B， ②当直线l与圆相切斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线l方程为.      综上，直线l方程为或. 【变式8-3】已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 2．直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 3．两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 4．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 5．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值. 【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为， 又直线，其过定点， 故距离的最大值为. 故答案为：C 6．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 7．若直线：与圆：只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】由直线：与圆相切求解. 【详解】解：依题意，直线：与圆相切， 而圆的圆心.半径为2， 所以，解得. 故选：C. 8．若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 9．与x轴相切于原点，且圆心为的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助直线与圆相切的性质可得其半径，即可得解. 【详解】，圆心为， 故该圆的标准方程为. 故选：C. 10．已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到，求出的大范围，再由点在圆外，得到点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【详解】圆：，即， 则圆心为，半径，且，则， 又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外， 所以，解得或， 综上可得实数的取值范围是. 故选：D 11．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 12．已知圆与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的标准方程，利用条件列方程组求解即可. 【详解】由题意设所求的圆方程为， 则，即，解得， 所以圆的方程为. 故选：D 13．多选题点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得，即， 若点在圆内，则，解得：． 对照各个选项，可知B、C两项符合题意． 故选：BC． 14．若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 34．若直线与圆交于两点，则 . 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以， 故答案为： 15．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程. 【详解】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 故答案为： 16．过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 17．过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案. 【详解】由曲线知，该曲线为圆 且圆心为，半径为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为. 根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时 根据垂径定理可得，，解得 此时直线方程为. 故答案为：或. 18．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$