专题04 充分条件与必要条件9种常见考法归类（91题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件9种常见考法归类（91题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分条件的判断 考点三 必要条件的判断 考点四 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点五 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点六 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点七 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （1） 探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点八 充要条件的证明 考点九 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 （四）依据既不充分也不必要条件求参数 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 解题策略 1、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 2、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 3、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． （2）必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 4、充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 5、对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 6、条件关系判定的常用结论 7、“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 8、p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 9、探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 10、应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 11、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 1.【多选】（2024秋·高一阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 2.（2024秋·高一阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 （二）判断命题的真假 3.（2024秋·高一阶段练习）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 5.（2024秋·上海·高一阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 6.（2024秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 考点二 充分条件的判断 7．（2024秋·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 8．（2024·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高一课时练习）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 考点三 必要条件的判断 10．（2024·江苏·高一假期作业）“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 11．（2024·江苏·高一假期作业）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 12．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 考点四 探求命题成立的一个充分、必要条件 13．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·全国·高三专题练习）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 17.【多选】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）二次函数的图像恒在轴上方的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（2024·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 考点五 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 19．（2024·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 20．（2024·全国·高一假期作业）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024秋·四川成都·高一校考阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围. 22．（2024秋·高一校考课时练习）已知集合，，. (1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. (2)若，求实数a的取值范围. 23．（2024秋·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）根据必要条件求参数的取值范围 24．【多选】（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 25．（2024秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 26．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）集合，. (1)求； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 27．（2024秋·青海西宁·高一校考期中）已知命题P：方程没有实数根． (1)若P是真命题，求实数t的取值集合A； (2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围． 28.（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 29．（2024秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知集合，集合. (1)是否存在实数，使是的充分条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由； (2)是否存在非负实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 考点六 充分、必要、充要条件的判断 （2） 充分不必要条件的判断 30．（2024·全国·高一假期作业）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（2024秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）“集合”是“集合”的______条件． 32．（2024秋·高一课时练习）“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”). 33．（2024秋·广东惠州·高一统考期中）“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34.（2023·天津红桥·统考二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35.（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 36．（2024秋·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）在中，“”是“是等腰三角形”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 37．（2024秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）必要不充分条件的判断 38．（2024秋·山东泰安·高一校考期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（2024秋·陕西西安·高二校考期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40.（2023春·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 41．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43.（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）已知是实数，那么“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（2024秋·山西太原·高一太原十二中校考阶段练习）设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2024·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ （三）充要必要条件的判断 46．（2024·上海宝山·统考一模）已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 47．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 48．（2024秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 49．【多选】（2024秋·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）下列命题中叙述不正确的是（    ） A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 50．【多选】（2024秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（    ） A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 （四）既不充分也不必要条件的判断 51．（2024秋·天津南开·高一崇化中学校考期末）命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 52．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 53．（2024·天津·校联考一模）若，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（2024秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点七 探求命题为真的一个充要条件 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 55．（2024秋·江苏连云港·高一校考期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 56．（2024·全国·高一假期作业）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 57．【多选】（2024秋·山东·高一山东师范大学附中校考阶段练习）“”的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 58．（2024秋·上海青浦·高一校考阶段练习）“”的一个必要非充分条件是___________. 59．（2024秋·河南驻马店·高一校考阶段练习）不等式在R上恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． （三）探求命题为真的一个充要条件 60．（2024·上海松江·统考一模）下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 61．（2024·全国）三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 62．（2024秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）设，则“”的一个充要条件是（    ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 63.（2023秋·四川成都·高二校考期末）不等式在上恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 64.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意恒成立的充要条件是__________． 65.（2023·山东青岛·高一山东省青岛第十六中学校考期中）不等式在实数上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 考点八 充要条件的证明 66．（2024秋·高一课时练习）设，求证：的充要条件是. 67．（2024秋·高一课时练习）已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件. 68．（2024·全国·高一假期作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 69．（2024秋·陕西西安·高二校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 70.（2024秋·高一课时练习）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 71．（2024秋·陕西宝鸡·高一校考阶段练习）已知 ，求证：是的充要条件. 考点九 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 72．【多选】（2024秋·安徽合肥·高一校考期末）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 73．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）. 74．【多选】（2024秋·广东江门·高一校考阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 75．（2024·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 76．（2024·高一单元测试）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 77.（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 78．（2024秋·江苏扬州·高一期末）已知集合，在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. (1)当时，求； (2)若______，求实数a的取值范围. （二）依据必要不充分条件求参数 79．（2024·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 80.（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 81．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2024·高一课时练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________． 83．（2024·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 84．（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 85.（2023秋·高一单元测试）不等式的解集是，关于的不等式的解集是 (1)若时，求； (2)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 86.（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知集合，. (1)若，求实数k的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. （三）依据充要条件求参数 87．（2024秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______. 88．（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 89．（2024秋·陕西西安·高三校考期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=_________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_______（答案不唯一，写出一个即可） 90．（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 91．（2024秋·高一单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件9种常见考法归类（91题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分条件的判断 考点三 必要条件的判断 考点四 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点五 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点六 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点七 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （1） 探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点八 充要条件的证明 考点九 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 （四）依据既不充分也不必要条件求参数 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 解题策略 1、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 2、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 3、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． （2）必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 4、充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 5、对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 6、条件关系判定的常用结论 7、“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 8、p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 9、探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 10、应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 11、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 1.【多选】（2024秋·高一阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【答案】ABC 【解析】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题. 故选：ABC. 2.（2024秋·高一阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【解析】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题， 只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，故选：D （二）判断命题的真假 3.（2024秋·高一阶段练习）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确;故选：C． 4.（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 【答案】C 【详解】对A，若，则，所以A正确． 对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确． 对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误． 对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确． 故选：C. 5.（2024秋·上海·高一阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【详解】由得，则，，所以， 则，解得， 所以关于的方程组有唯一解. 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D 6.（2024秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误； B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误； C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误； D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确， 故选：D. 考点二 充分条件的判断 7．（2024秋·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义求解. 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件， 结合选项，可得A正确； 故选:A. 8．（2024·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【详解】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 9．（2024·高一课时练习）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 【答案】(1)是充分条件 (2)是充分条件 (3)不是充分条件 (4)是充分条件 【分析】（1）根据充分条件的定义判断； （2）根据充分条件的定义判断； （3）根据充分条件的定义判断； （4）根据充分条件的定义判断. (1) 菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； (2) 矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； (3) 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； (4) 菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． 考点三 必要条件的判断 10．（2024·江苏·高一假期作业）“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 【答案】 必要 充分 【分析】由于，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答. 【详解】由于， 所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件． 故答案为：必要；充分 11．（2024·江苏·高一假期作业）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 【答案】 ①② ③ 【分析】①即为或，即a，b中至少有一个为0；②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由知a与b同号，即a，b都不为0.再根据充分条件和必要条件的定义即可作答 【详解】①即为或，即a，b中至少有一个为0； ②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③由知a与b同号，即a，b都不为0. 综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”， 所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③. 故答案为：①②；③ 12．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 考点四 探求命题成立的一个充分、必要条件 13．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解. 【详解】和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ， 故选：AB 14．（2024秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立. 【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误； 对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误； 对于C，当时，，可得到，C正确； 对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误. 故选：C. 15．（2024·全国·高三专题练习）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由进行推导，能推出的即为应选项 【详解】因为，所以，所以是的一个必要条件， 若 不能得到，， 故选：A 16．（2024·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 17.【多选】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）二次函数的图像恒在轴上方的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】二次函数的图像恒在轴上方的充要条件为， 又 ，所以必要条件为、. 故选：BD 18．【多选】（2024·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 考点五 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 19．（2024·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 20．（2024·全国·高一假期作业）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 21．（2024秋·四川成都·高一校考阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）求出，进而求出交集和补集； （2）由成立的充分条件得到，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）若成立的充分条件，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时满足题意； 当时，即，时， 得，解得，故； 综上：，即. 22．（2024秋·高一校考课时练习）已知集合，，. (1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可； （2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件， 所以，解得，. （2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为. 23．（2024秋·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由充分条件以及即可求解. 【详解】当时，，此时，则 故选：B （二）根据必要条件求参数的取值范围 24．【多选】（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 25．（2024秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件的性质进行求解即可. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合B为非空集合，故有解得，所以a的取值范围. 26．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）集合，. (1)求； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求解不等式得到，，从而求出； （2）根据“”是“”的必要条件得到是的子集，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）， 所以或， ， 故或或 （2）若“”是“”的必要条件，则是的子集， 若，故，解得：， 若，则，解得：， 综上：，故实数a的取值范围是 27．（2024秋·青海西宁·高一校考期中）已知命题P：方程没有实数根． (1)若P是真命题，求实数t的取值集合A； (2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出关于t的不等式即可求得实数t的取值集合A； （2）分类讨论并列不等式组去求a的取值范围． 【详解】（1）若P是真命题，则，解得，则． （2）因为是的必要条件，所以， 当时，由，得，此时，符合题意； 当时，则有，解之得， 综上所述，a的取值范围为． 28.（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由，可得，则 又，且是的充分条件， 可得，解之得，则实数的取值范围为； （2）由（1）得， 当时， ，，此时，是的必要条件，符合要求； 当时，由是的必要条件， 可得，解之得， 综上，实数的取值范围为. 29．（2024秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知集合，集合. (1)是否存在实数，使是的充分条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由； (2)是否存在非负实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】（1）要使是的充分条件，需使，列出不等关系即可求解. （2）首先判断出，其次要使是的必要条件，需使，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）要使是的充分条件，需使， 即解得， 实数的取值集合为. （2）由题知，，故， 要使是的必要条件，需使. ，解得，. 即非负实数的取值集合为. 考点六 充分、必要、充要条件的判断 （2） 充分不必要条件的判断 30．（2024·全国·高一假期作业）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 31．（2024秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）“集合”是“集合”的______条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用定义法直接判断. 【详解】因为包括和AB. 所以由“集合”可得到“集合”，所以充分性满足； 而“集合”不一定得到“集合”，所以必要性不满足. 所以“集合”是“集合”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 32．（2024秋·高一课时练习）“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”). 【答案】充分不必要条件 【分析】利用集合法求解. 【详解】由解得：，记集合. 由解得：，记集合. 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 33．（2024秋·广东惠州·高一统考期中）“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析两个集合和的关系，从而推出命题之间的关系 【详解】解不等式，得 而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件 故选：B 34.（2023·天津红桥·统考二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知，， 或，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 35.（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，，设 ，解得：或，设或 显然A是B的真子集，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 36．（2024秋·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）在中，“”是“是等腰三角形”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角形的知识直接判断即可. 【详解】由“”，可推出“是等边三角形”，即是等腰三角形； 由“是等腰三角形”，无法推出“”. 所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件 故选：B 37．（2024秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质知； 等腰梯形对角线也相等， 所以推不出， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． （二）必要不充分条件的判断 38．（2024秋·山东泰安·高一校考期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】解：因为不能推出，且可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A 39．（2024秋·陕西西安·高二校考期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程的解结合充分条件与必要条件的定义得出答案. 【详解】解得或， 则可推出或， 可推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 40.（2023春·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【详解】因为，且，则，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 41．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，令，满足，但； 若，则一定成立， 所以“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 42．（2024秋·陕西渭南·高二统考期末）已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为或，所以由不能推出且，即充分性不满足； 但由且可得，即由且可推出，所以必要性满足； 所以是且的必要不充分条件. 故选：B. 43.（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）已知是实数，那么“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 即“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 44．（2024秋·山西太原·高一太原十二中校考阶段练习）设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若,四边形ABCD不一定是菱形 若四边形ABCD为菱形,则一定有成立 所以“”是“四边形ABCD为菱形”的必要不充分条件 故选:B． 45．（2024·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】逐个判断是否有且即可． 【详解】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意； ②若，则根据子集的性质可得，即p：； 故是的充要条件，不符题意； ③对于，当时，， 故，∴是的必要而不充分条件，符合题意； ④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意； 综上，是的必要而不充分条件的有①③． 故选：D． （三）充要必要条件的判断 46．（2024·上海宝山·统考一模）已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案. 【详解】令，，则是偶数，而都是奇数； 若a，b都是偶数，显然是偶数. 所以，“是偶数”是“a，b都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 47．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断即可判. 【详解】∵若则，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； ∵“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； ∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题； ∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题． 故选：BD. 48．（2024秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． 49．【多选】（2024秋·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）下列命题中叙述不正确的是（    ） A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可. 【详解】由关于的方程有实数根可得， 由可得关于的方程有实数根， 所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确； 由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形， 所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误； 由不能推出， 所以“”不是“”的充分条件，C 错误； 当时，若，则，若，则， 所以“”是“”的充要条件， 所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误； 故选：BCD. 50．【多选】（2024秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（    ） A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 【答案】ABC 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项A正确. 对于选项B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项B正确. 对于选项C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项C正确. 对于选项D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项D错误. 故选：ABC. （四）既不充分也不必要条件的判断 51．（2024秋·天津南开·高一崇化中学校考期末）命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】判断是否成立，验证充分性； 判断是否成立验证必要性. 【详解】若则或者，所以得不到，即充分性不成立. 当时则所以必要性不成立. 故选：C 52．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】先推导出充分性不成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为，所以或，则或， 故充分性不成立， 若，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 53．（2024·天津·校联考一模）若，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举出反例，证明出充分性和必要性均不成立. 【详解】不妨设，满足，但不满足，充分性不成立， 若，满足，但不满足，故必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 54．（2024秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】或，因此是的既不充分也不必要条件， 故选：D． 考点七 探求命题为真的一个充要条件 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 55．（2024秋·江苏连云港·高一校考期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【详解】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 56．（2024·全国·高一假期作业）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是； 对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是； 对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是； 对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是. 故选：C （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 57．【多选】（2024秋·山东·高一山东师范大学附中校考阶段练习）“”的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将必要不充分条件转化为包含关系即可得到结果. 【详解】由，可得构成集合，结合选项可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分条件. 故选:ABC. 58．（2024秋·上海青浦·高一校考阶段练习）“”的一个必要非充分条件是___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据必要非充分条件的定义写出一个条件即可. 【详解】若可推得，而推不出， 而一定有，但不一定. 故答案为：（答案不唯一） 59．（2024秋·河南驻马店·高一校考阶段练习）不等式在R上恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式在R上恒成立得出m的范围后，根据必要不充分条件的定义即可得出答案，注意区分谁是条件，谁是结论. 【详解】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解 ，解得：， 因此： A选项为充要条件，故A错误； B选项与没有交集，即推不出，故B错误； C选项比范围大，即可推出，反之无法推出，故C正确； D选项比范围小，即可推出，反之无法推出，则是“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C. （三）探求命题为真的一个充要条件 60．（2024·上海松江·统考一模）下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解. 【详解】当时，满足，不满足；当时，满足，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A不正确； 因为，所以是成立的充要条件，所以B正确； 当时，，，；当时，满足，但不满足，所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 当时，；当时，满足，但不满足，所以是的充分不必要条件，所以D不正确. 故选：B 61．（2024·全国）三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 【答案】D 【分析】，，不全为零即，，中至少有一个不是零. 【详解】解：，，不全为零即，，中至少有一个不是零 故选：D． 62．（2024秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）设，则“”的一个充要条件是（    ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 【答案】C 【分析】根据充要条件的知识求得正确答案. 【详解】或中至少有一个为. 故选：C 63.（2023秋·四川成都·高二校考期末）不等式在上恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则在上恒成立等价于的图像全在轴上方， 而开口向上，所以问题等价于，即，解得， 即在上恒成立等价于， 故在上恒成立的一个充要条件为. 故选：A. 64.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意恒成立的充要条件是__________． 【答案】 【详解】解：当时，显然满足条件， 当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得： 综上，， 所以不等式对任意恒成立的充要条件是， 故答案为： 65.（2023·山东青岛·高一山东省青岛第十六中学校考期中）不等式在实数上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，该不等式成立； 当，即时，该不等式成立； 综上，得当时， 关于的不等式恒成立， 所以，关于的不等式恒成立的充分必要条件是． 故选：B. 考点八 充要条件的证明 66．（2024秋·高一课时练习）设，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质进行证明即可. 【详解】充分性：若，∵，∴，即； 必要性：若，∵，∴，即. 所以的充要条件是. 【点睛】本题考查了充要条件的证明，考查了不等式的性质应用，考查了推理论证能力 67．（2024秋·高一课时练习）已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分必要条件的定义证明． 【详解】必要性：对于x，y∈R，若x2+y2=0， 则x=0，y=0，即xy=0， 故xy=0是x2+y2=0的必要条件. 充分性：对于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立， 故xy=0不是x2+y2=0的充分条件. 综上所述，对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件. 68．（2024·全国·高一假期作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】根据充要条件的定义进行证明即可． 【详解】（1）必要性：由，得，即， 又由，得，所以. （2）充分性：由及， 得，即. 综上所述，的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 69．（2024秋·陕西西安·高二校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性. 【详解】证明：（1）充分性：由得. 即满足方程. 是方程的一个根 （2）必要性：是方程的一个根， 将代入方程得. 故是一元二次方程的一个根的充要条件 是 70.（2024秋·高一课时练习）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ，即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 71．（2024秋·陕西宝鸡·高一校考阶段练习）已知 ，求证：是的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】先由推得，再由推得，即可得证. 【详解】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即； 再证必要性： ∵， ∴， ∴； 综上：是的充要条件. 考点九 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 72．【多选】（2024秋·安徽合肥·高一校考期末）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】由充分不必要条件转化为两个集合的包含关系求解. 【详解】若是的充分不必要条件， 则. 故选：BC. 73．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）. 【答案】0（答案不唯一，满足且均可）. 【分析】利用充分不必要条件的定义求解. 【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且， 所以且，故可取0， 故答案为：0（答案不唯一，满足且均可） 74．【多选】（2024秋·广东江门·高一校考阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据是的充分不必要条件可得，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则，故， 故a的值可取， 故选：BCD. 75．（2024·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 76．（2024·高一单元测试）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可 【详解】（1）当时，集合， 因为，所以. 所以， （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以是的真子集，而不为空集， 所以，因此. 77.（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，或， 故或= （2）是的充分不必要条件， 故是的真子集， 因为，故要满足是的真子集， 则或， 解得：或 故实数的取值范围是. 78．（2024秋·江苏扬州·高一期末）已知集合，在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. (1)当时，求； (2)若______，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2)见详解 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解作答. （2）选①，可得，利用包含关系列式求解作答；选②，可得，利用包含关系列式求解作答；选③，利用交集的结果列式求解作答. 【详解】（1）当时，，而， 所以，，或. （2）选①，由可知：， 当时，则，即，满足，则， 当时，，由得：，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 选②，因“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，则，即，满足，则， 当时，，由得：，且不能同时取等号，解得. 综上所述，实数的取值范围为或. 选③，当时，则，即，满足，则， 当时，由得：或，解得或， 又，所以或. 综上所述，实数的取值范围为或. （二）依据必要不充分条件求参数 79．（2024·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案. 【详解】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或， 故选：D. 80.（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】因为，，因为是的必要不充分条件， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 81．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可 【详解】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知 故选：C 82．（2024·高一课时练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________． 【答案】 【分析】令或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】令或，， 若“或”是“”的必要不充分条件， 则集合是的真子集， 所以， 所以实数的最大值为， 故答案为：. 83．（2024·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由题意可得是的真子集，从而有或，求解即可. 【详解】因为p是q的必要不充分条件， 所以是的真子集， 故有或 解得. 又，所以实数m的取值范围为． 84．（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次方程的解的个数可得，设，又是的必要不充分条件，则，列不等式组可得或求解即可. 【详解】解：∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件， 对于，依题意，知，∴， 设，， 由题意知，∴，或，解得， 故实数 的取值范围是：． 【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题. 85.（2023秋·高一单元测试）不等式的解集是，关于的不等式的解集是 (1)若时，求； (2)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1); (2). 【详解】（1）解：不等式的解集为，关于的不等式的解集为 ， 时，， ． （2）解：当时，的解集为； 若是的必要不充分条件， ，，则； 故的取值范围是． 86.（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知集合，. (1)若，求实数k的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则； 由，则，即，解得. （2）p是q的必要不充分条件等价于. ①当时，，解得，满足. ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得. 综上，实数k的取值范围是. （三）依据充要条件求参数 87．（2024秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______. 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 88．（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 89．（2024秋·陕西西安·高三校考期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=_________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_______（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 /0.5 【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解. 【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即 ，又因为，且，则，需要，解得，即 故答案为：； 90．（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 91．（2024秋·高一单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】答案见解析 【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案. 【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得， 所以，实数m的取值范围是； 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，解得， 所以，实数的取值范围是； 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解， 所以，不存在满足条件的实数. $$