精品解析：2024年广东省河源市龙川县龙母中学中考一模数学试题

2024年广东省河源市龙川县龙母中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】B 【解析】 【分析】根据一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”， ∴合格面粉的质量的取值范围是：（25−0.25）千克～（25＋0.25）千克， 即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克， 故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格． 故选B． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是这个图形的对称轴，根据定义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项，根据幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项的运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，不符合题意； D、与不是同类项不能合并，不符合题意， 故选：B． 4. 如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平角的定义，求得，利用两直线平行，同位角相等计算． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的余弦值，结合，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， 则 故选：D 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：，即． 故选：D． 7. 一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵一组数据：3，4，4，6，的中位数为，若添加一个数据6，则这组数据变为3，4，4，6，6其中位数为4， ∴不发生变化的统计量是中位数，其他统计量均会发生变化， 故选B 【点睛】本题考查了求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 根据题意，可列方程组为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 9. 如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小立方体的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形． 【详解】解：根据主视图与俯视图可知，搭成该几何体小立方体的个数是（个． 故选：D． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力． 10. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若一个正数a的平方根是与，则a的值是_______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据正数a的平方根是与，得出，求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵一个正数a的平方根是与， ∴， 解得：， 则， ∴， 故答案为：144． 12. 掷一枚六个面分别标有的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体骰子不大于4，可能为四种情况，求出概率即可． 【详解】解：向上一面的数不大于4， 可能为四种情况， 故向上一面的数不大于4的概率是： 故答案为：． 【点睛】本题考查可能性的概率，正确理解问题中含义是解答的关键． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是_____ 【答案】 【解析】 【分析】用阴影部分所在的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，得到阴影部分的面积，再根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 阴影部分的面积为， ∴新正方形的边长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，E是BC的中点， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 15. 如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮的直径为，车架 经过圆心，地面水平线与车轮相切于点，连接，．小明测出车轮的直径米，米，则的长为__________米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握切线的性质，直接所对圆周角等于，相似三角形的判定和性质，勾股定理的知识是解题的关键． 连接，作延长线于点，可证，可得的长，根据勾股定理可得的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长，作延长线于点， ∵与切与点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，则，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴的长为， 故答案为： ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：．其中， 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把，代入化简后的代数式即可. 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项”是解本题的关键. 17. 已知关于x的方程，且方程的一个根为1，求a的值及方程的另一根． 【答案】，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程解的定义．将方程的根代入方程得到a的方程，解关于a的方程即可得出a的值，将a的值代入原方程，得到x的方程，解方程即可得出另一个根． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为1， ∴， 解得：， 把代入方程得：， 即， 解得：，， ∴方程的另一个根为． 18. 已知：如图，线段． 求作：点，使得点在线段上，且． 作法：①作射线，在射线上顺次截取线段，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点； ③连接，连接交于点，在线段上截取线段． 所以点就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据） ∴，即， ∴_______， ∵， ∴ ∴， ∴． 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；； 【解析】 【分析】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题目所给作图步骤进行作图即可； （2）先得出四边形是平行四边形，则，进而得出，结合推出，即可求证． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∴，即， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；； 19. 我区某校为了丰富学生学习生活，开设英语阅读、城墙文化、篮球等三项活动课程以提升学生的素养，学工处随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）将条形统图补充完整； （2）本次抽样调查样本容量是 ； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢篮球的人数． 【答案】（1）见解析 （2）100 （3）360人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，找出所需数据是解题关键． （1）由女生喜欢城墙文化的人数和所占的百分比求出女生的人数，进而求出喜欢英语阅读的女生人数，即可补全条形统计图； （2）求出条形统计图中所有男生、女生的人数之和，即可得出答案； （3）用总人数乘以喜欢篮球的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：调查的女生人数：（人）， 女生喜欢英语阅读的人数：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：本次抽样调查的样本容量是； 故答案为：100； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校学生中喜欢篮球的人数为360人． 20. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套，当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）购进种多媒体套，种多媒体套 （2）购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、 一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【小问1详解】 设种多媒体套，种多媒体套， 由题意可得：，解得 ， 答：购进种多媒体套，种多媒体套； 【小问2详解】 设利润为元, 由题意可得：， ∴随的增大而减小， ， ∴当 时，取得最大值，此时 ， 答：购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元． 21. 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）由是的直径，，得，，由，得，则，求得，由，得，则，求得，则，，再证明，得，求得． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的直径，的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长是． 22. 已知，在等腰中，，，点为中点，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，延长交于点，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将沿翻折得，点对应点，点为线段与线段的交点，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，交于点，连接，，根据等边三角形的判定和性质得出与为等边三角形，再由全等三角形的判定得出，，，利用其性质即可证明； （3）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，，点为中点，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 过点作交的延长线于点，交于点，连接，， ，，， ，，， ，， 由（1）得， ，， ， ， 与为等边三角形， ，， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 ①当时，如图所示， ， ，， ，，， ， 将沿翻折得， ，，即， 解得：， ， 由（1）得，， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图所示， ， ， 与题意矛盾，舍去； ③当时，如图所示， ， ， ， ，， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）6；（3） 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，然后解方程组求出b、c的值即可； （2）根据抛物线解析式求得点C的坐标，易得线段OC，AB的长度，所以由三角形面积公式解答即可； （3）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得， ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3． ∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6； （3）设BC的解析式为y＝kx+t， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 , ∴BC的解析式为y＝x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， ∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+， 当n＝时，PM最大＝． 【点睛】此题考查待定系数法确定函数关系式，图象与坐标轴交点的坐标，函数最大值的求法，（3）是此题的难点，根据垂直x轴得到P、M两点的横坐标相等，故两点间的距离是两点纵坐标的差，由此得到解题的思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省河源市龙川县龙母中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A. B. C. D. 7. 一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小立方体的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若一个正数a的平方根是与，则a的值是_______． 12. 掷一枚六个面分别标有正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是______． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是_____ 14. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 15. 如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮的直径为，车架 经过圆心，地面水平线与车轮相切于点，连接，．小明测出车轮的直径米，米，则的长为__________米 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：．其中， 17. 已知关于x的方程，且方程的一个根为1，求a的值及方程的另一根． 18. 已知：如图，线段． 求作：点，使得点在线段上，且． 作法：①作射线，在射线上顺次截取线段，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点； ③连接，连接交于点，在线段上截取线段． 所以点就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理依据） ∴，即， ∴_______， ∵， ∴ ∴， ∴． 19. 我区某校为了丰富学生学习生活，开设英语阅读、城墙文化、篮球等三项活动课程以提升学生的素养，学工处随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）将条形统图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是 ； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢篮球人数． 20. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套，当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 21. 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 22. 已知，在等腰中，，，点为中点，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，延长交于点，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将沿翻折得，点对应点，点为线段与线段的交点，当为等腰三角形时，直接写出的值． 23. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $